A.A. 2023/2024 Analisi Matematica I (Gruppo DIM-NES) - Corsi di Laurea  in Ingegneria Meccanica ed  Ingegneria Aerospaziale - Canale SG2

Programma del corso di Analisi Matematica I 2023/2024 

Registro delle lezioni

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Lezione 1 (11/09/2023): Cenni di teoria degli insiemi. Insiemi numerici, inadeguatezza dei numeri razionali per misurare le lunghezze.

Lezione 2 (12/09/2023): Definizione assiomatica dell'insieme dei numeri reali. Assioma di Dedekind (o di continuità): le sezioni di R ammettono un unico elemento separatore. L'insieme dei numeri razionali non soddisfa l'assioma di Dedekind. Maggioranti e minoranti di un insieme numerico. Insiemi limitati. Massimo e minimo di un insieme numerico. Estremo superiore ed inferiore di un insieme numerico: definizione e principali proprietà. Esempi. Formulazione equivalente dell'assioma di continuità: ogni sottoinsieme di R non vuoto e limitato superiormente (inferiormente) ammette estremo superiore (inferiore) (s.d.).

Lezione 3 (13/09/2023): Proprietà di Archimede: l'insieme N dei numeri naturali non è limitato superiormente. L'insieme Q è denso in R (s.d.). Sommatorie e loro proprietà formali. Applicazioni: la somma dei primi n numeri naturali. Somma della progressione geometrica. Fattoriale e coefficienti binomiali. Il binomio di Newton. Il principio di induzione.

Lezione 4 (20/09/2023): Applicazioni del principio di induzione: disuguaglianza di Bernoulli, cardinalità dell'insieme delle parti di un insieme con n elementi e teorema binomiale. Intervalli. Il valore assoluto di un numero reale. La diseguaglianza triangolare per i numeri reali. Disequazioni elementari col valore assoluto. Esercizi. 

Lezione 5 (21/09/2023): Radice n-esima. Disequazioni elementari con le potenze ad esponente intero. Potenze ad esponente razionale, potenze ad esponente reale. Logaritmi.

Lezione 6 (25/09/2023): Disequazioni esponenziali e logaritmiche elementari. Numeri complessi: definizioni, somma e prodotto. L'insieme dei numeri complessi ha una struttura di campo non ordinabile. Forma algebrica dei numeri complessi, parte reale, parte immaginaria, rappresentazione nel piano di Gauss. Coniugato di un numero complesso, proprietà. Esercizi: forma algebrica del rapporto di numeri complessi.

Lezione 7 (26/09/2023): Modulo di un numero complesso, proprietà. Disuguaglianza triangolare. Esercizi: risoluzione di alcune equazioni nel campo complesso utilizzando parte reale ed immaginaria. Richiami di trigonometria. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Formule di De Moivre: prodotto, divisione, potenze. Interpretazione geometrica del prodotto di numeri complessi. Applicazioni: calcolo di potenze. Esempi ed esercizi. 

Lezione 8 (27/09/2023): Risoluzione di alcune equazioni utilizzando la forma trigonometrica dei numeri complessi. Esponenziale complesso e forma esponenziale. Radici n-esime. Teorema sull'esistenza delle radici n-esime. Esercizi: calcolo di radici n-esime e rappresentazione nel piano di Gauss. Interpretazione geometrica delle radici n-esime. Equazioni polinomiali di secondo grado a coefficienti complessi, esercizi. Teorema fondamentale dell'Algebra (s.d.) Polinomi e loro fattorizzazione, il caso dei polinomi a coefficienti reali.

Lezione 9 (02/10/2023): Funzioni reali di variabile reale, generalità, dominio, codominio, immagine, grafico. Funzioni limitate superiormente, limitate inferiormente, limitate. Estremo superiore ed estremo inferiore. Massimo e minimo assoluti. Funzioni monotone, funzioni periodiche. Esempi vari. Funzioni elementari, proprietà e grafico: funzione potenza con esponente naturale.

Lezione 10 (03/10/2023):  Funzioni elementari, proprietà e grafico: funzione radice n-esima, funzione potenza con esponente intero relativo, funzione valore assoluto, funzione parte intera, funzione potenza con esponente reale, osservazione sulle potenze ad esponente razionale, funzione esponenziale, funzione logaritmo, funzione seno, funzione coseno, funzione tangente, funzione segno. Funzioni composte, esempi. Funzioni invertibili e funzioni inverse. Funzioni iniettive e suriettive.

Lezione 11 (04/10/2023): Teorema di invertibilità delle funzioni strettamente monotone. Grafico della funzione inversa. Esempi di funzione inversa: potenza con esponente naturale e radice n-esima sono una l'inversa dell'altra nel caso di esponente dispari, il caso esponente pari, esponenziale e logaritmo. Applicazioni del Teorema di invertibilità delle funzioni strettamente monotone: le funzioni trigonometriche inverse, arcoseno, arcocoseno, arcotangente, risoluzione delle equazioni trigonometriche elementari sin(x)=y, cos(x)=y e tan(x)=y usando le funzioni trigonometriche inverse. Disequazioni trigonometriche elementari. 

Lezione 12 (09/10/2023): Esercizi sulla determinazione dei campi di esistenza. Formule parametriche per la risoluzione di alcune disequazioni goniometriche. 

Lezione 13 (10/10/2023): Il problema dell'approssimazione dell'area del cerchio mediante poligoni regolari inscritti. Successioni numeriche. Esempi. Definizione di limite di una successione. Intorni. Unicità del limite. Successioni limitate. Limitatezza delle successione convergenti. Il viceversa non è vero in generale. Successioni divergenti, infiniti ed infinitesimi.

Lezione 14 (11/10/2023):  Successioni monotone. Teorema sulle successioni monotone: le successioni monotone sono regolari. Esempio di una successione convergente ma non monotona. Alcune conseguenze: studio della successione geometrica. Il numero di Nepero e definito come limite di una successione convergente.

Lezione 15 (16/10/2023): Algebra dei limiti di successioni convergenti (s.d.). Metodi di confronto: il teorema della permanenza del segno. Metodi di confronto: teorema del confronto a due e seconda forma del teorema della permanenza del segno; Teorema del confronto a tre o dei carabinieri, conseguenze: il prodotto di una successione limitata per una infinitesima è infinitesimo; calcolo di alcuni limiti notevoli con la radice n-esima. Metodi di confronto: teorema del confronto a due per successioni divergenti (s.d.). Aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito (s.d.). Forme indeterminate.

Lezione 16 (17/10/2023): Confronti tra infiniti, successioni asintotiche. Gerarchia di infiniti, il criterio del rapporto per le successioni. Esercizi sui limiti di successione. 

Lezione 17 (18/10/2023): Limite di funzione: punti di accumulazione, definizione successionale del limite di funzione. Non esistenza del limite, esempi. Limite destro, limite sinistro, esistenza del limite in termini di limite destro e sinistro. Intorni. Definizione topologica (o "epsilon-delta") di limite di funzione. Teorema: le definizioni successionale e topologica di limite sono equivalenti. Teoremi sui limiti di funzione: unicità del limite, teorema della permanenza del segno (s.d.), teoremi di confronto e teorema dei carabinieri (s.d.). Algebra dei limiti finiti (s.d.), aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito (s.d.), forme indeterminate. Limiti notevoli del seno, coseno, tangente, numero e. 

Lezione 18 (23/10/2023):  Funzioni continue, definizione. Definizione topologica, successionale. Punti isolati, ogni funzione è continua per definizione in un punto isolato del dominio. Teorema: algebra delle funzioni continue (s.d.), Teorema: la composizione di funzioni continue è continua (s.d.) Teorema: le funzioni elementari sono continue nei rispettivi insiemi di definizione. Limiti notevoli: logaritmo, funzione esponenziale, funzione potenza, arcotangente e arcoseno. Classificazione dei punti di discontinuità: discontinuità eliminabili e prolungamento per continuità, discontinuità di prima specie o salto, discontinuità di seconda specie, esempi. Teorema: Gerarchia di infiniti (s.d.)

Lezione 19 (24/10/2023): Esercizi sul calcolo di limiti di successione e di funzione.

Lezione 20 (25/10/2023): Teorema della permanenza del segno per le funzioni continue. Teorema degli zeri. Applicazione: Teorema dei valori intermedi. Massimo e minimo/punti di massimo/minimo per una funzione. Teorema di Weierstrass: discussione delle ipotesi con esempi, dimostrazione. Strumenti per la dimostrazione del Teorema di Weierstrass: successioni estratte, Teorema di Bolzano-Weierstrass (senza dim.), Lemma sull'esistenza di una successione minimizzante. Proposizione: una funzione continua in [a,b] assume tutti i valori compresi tra il suo minimo ed il suo massimo in [a,b]. Asintoti, definizioni. 

Lezione 21 (30/10/2023): Proposizione: una funzione continua ed invertibile su un intervallo è strettamente monotona nell'intervallo. Applicazione del teorema dei valori intermedi: criterio di invertibilità delle funzioni continue. Calcolo differenziale: derivata di una funzione nei punti interni di un intervallo, significato geometrico, derivata destra e derivata sinistra agli estremi di un intervallo chiuso. Interpretazione geometrica della derivata ed approssimazione lineare, esempio: calcolo approssimato della radice quadrata di un numero. Proposizione: la derivabilità in un punto implica la continuità nel punto. Il viceversa, in generale, non è vero: l'esempio della funzione modulo, punti angolosi. Derivazione delle funzioni elementari: potenza con esponente naturale, seno, funzione esponenziale. 

Lezione 22 (31/10/2023): Teorema sull'algebra delle derivate. Derivazione delle funzioni elementari: funzione tangente. Teorema sulla derivata della funzione inversa. Applicazioni: calcolo delle derivate delle funzioni logaritmo, arcoseno, arcocoseno ed arcotangente. Teorema di derivazione delle funzioni composte (regola della catena). Derivazione delle funzioni elementari: funzione potenza con esponente reale. Applicazioni delle derivate: definizione di massimo e minimo locale (o relativo), Teorema di Fermat, punti stazionari, punti stazionari che non sono né di minimo né di massimo relativo: punti di flesso a tangente orizzontale.

Lezione 23 (14/11/2023): Ricerca di massimo e minimo assoluto per funzioni continue in intervalli chiusi e limitati, esercizio. Il Teorema di Rolle ed il Teorema di Lagrange (o del valor medio). Applicazioni del Teorema di Lagrange: criterio di monotonia (o test di monotonia) per funzioni derivabili. Caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo. Classificazione dei punti stazionari.

Lezione 24 (15/11/2023): Applicazioni del Teorema di Lagrange: calcolo della derivata destra/sinistra mediante il limite destro/sinistro della derivata. Il Teorema di de l'Hôpital (dimostrazione solo nel caso di forme indeterminate del tipo 0/0). Esercizi: calcolo di limiti con il Teorema di de l'Hôpital. Applicazioni del Teorema di de l'Hôpital: gerarchia degli infiniti. 

Lezione 25 (20/11/2023): Derivate successive, derivata seconda. Teorema: criterio per la classificazione dei punti stazionari mediante la derivata seconda. Funzioni convesse/concave, strettamente convesse/strettamente concave. Il grafico di una funzione convessa (concava) è sempre al di sotto (al di sopra) delle sue corde. Teorema sulle proprietà delle funzioni convesse/concave: continuità, derivabilità da destra e da sinistra in ogni punto (s.d.). Teorema: il grafico di una funzione convessa (concava) e derivabile è sempre al di sopra (al di sotto) delle sue tangenti. Criterio di convessità (concavità) per funzioni derivabili due volte: f è convessa (concava) se e solo se la derivata prima è crescente (decrescente) se e solo se la derivata seconda è non negativa (non positiva). Applicazioni ad alcune funzioni elementari. Classificazione dei punti di non derivabilità: flessi a tangente verticale, cuspidi. Punti di flesso e derivata seconda. 

Lezione 26 (21/11/2023): Esercitazione: studio di funzione.

Lezione 27 (22/11/2023): Approssimazione di funzioni mediante polinomi, Polinomio di Taylor di ordine n e centro x0 e sue proprietà. Simboli di Landau: gli "o-piccolo" e loro proprietà. Formula di Taylor di ordine n con resto di Peano. Sviluppi di MacLaurin di alcune funzioni elementari. Applicazioni al calcolo dei limiti.

Lezione 28 (27/11/2023): Applicazioni della Formula di Taylor di ordine n con resto di Peano: calcolo dei limiti di funzione, sviluppi di funzioni composte, ordine di infinitesimo, classificazione dei punti stazionari utilizzando le derivate successive (dim. facoltativa).

Lezione 29 (28/11/2023): Formula di Taylor all'ordine n con resto di Lagrange. Applicazioni: calcolo approssimato con precisione assegnata di sin(1) e del numero di Nepero, irrazionalità del numero di Nepero. Integrale secondo Riemann: integrale come limite di somme, partizioni, somme integrali di Riemann inferiori e superiori, integrale superiore ed inferiore, definizione di integrale definito secondo Riemann. Criterio di integrabilità (senza dimostrazione). Proposizione: una funzione monotona in [a,b] è integrabile in [a,b] secondo Riemann. Uniforme continuità, relazione con la continuità, Teorema di Heine-Cantor (senza dimostrazione). 

Lezione 30 (29/11/2023): Teorema di Riemann: una funzione continua in [a,b] è ivi integrabile secondo Riemann. Proprietà dell'integrale definito: linearità, additività rispetto all'intervallo di integrazione, confronto. Primitive, caratterizzazione delle primitive di f nell'intervallo [a,b], integrale indefinito. Calcolo degli integrali definiti: la Formula fondamentale del calcolo integrale, esempi. Teoremi della media integrale.

Lezione 31 (04/12/2023): Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Esempio di funzione limitata che non è integrabile secondo Riemann: la funzione di Dirichlet. Metodi di integrazione: integrazione per sostituzione. Applicazioni della prima formula di integrazione per sostituzione: ricondurre un integrale ad un integrale "da tabella" immediato. Esercizi. Calcolo di alcuni integrali di funzioni razionali.

Lezione 32 (05/12/2023):  Metodi di integrazione: la formula di integrazione per parti. Esempi ed esercizi: alcuni casi notevoli di uso della formula di integrazione per parti. Integrali definiti di funzioni con il modulo, integrale definito di funzioni pari/dispari su intervalli simmetrici rispetto a 0, integrazione di alcune funzioni goniometriche, uso delle formule di prostaferesi per il calcolo di alcuni integrali di funzioni goniometriche.

Lezione 33 (06/12/2023):  Integrazione delle funzioni razionali, decomposizione in fratti semplici, esercizi. Metodo alternativo alla decomposizione in fratti semplici in presenza di radici multiple: decomposizione di Hermite.

Lezione 34 (11/12/2023): Integrazione per sostituzione: funzioni razionali della funzione esponenziale, funzioni razionali di seno e coseno, formule parametriche. Le funzioni iperboliche e loro proprietà. Integrazione delle funzioni irrazionali (i radicandi sono polinomi di grado 2): sostituzioni con funzioni goniometriche ed iperboliche. 

Lezione 35 (12/12/2023): Integrazione delle funzioni irrazionali (radicandi di grado uno): radicali con lo stesso indice e con indici diversi. Integrali impropri: integrazione di funzioni non limitate, integrazione su intervalli illimitati. Criterio del confronto, del confronto asintotico per funzioni con segno costante (s.d.). Esempi ed esercizi. 

Lezione 36 (13/12/2023): Esercizi sugli integrali impropri. Integrali impropri di funzioni di segno qualunque, criterio dell'assoluta integrabilità. Serie numeriche: Definizione, ridotta n-esima e successione delle somme parziali. Carattere di una serie: serie convergenti, divergenti, indeterminate. Condizione necessaria per la convergenza. La condizione non è sufficiente: esempi. Regolarità delle serie a termini di segno costante. La serie geometrica. Applicazione: frazione generatrice di un numero decimale illimitato periodico. La serie di Mengoli e le serie telescopiche. 

Lezione 37 (18/12/2023): La serie armonica e la serie armonica generalizzata. Criteri di convergenza per serie numeriche a termini di segno costante: criterio del confronto, esempi, criterio del confronto asintotico, esempi. Caso speciale del confronto con la serie armonica generalizzata: il criterio degli infinitesimi, esempi. La serie di Abel. 

Lezione 38 (19/12/2023): Il criterio del confronto integrale (s.d.). Criteri di convergenza per serie numeriche a termini di segno costante: il criterio della radice e del rapporto (confronto con la serie geometrica). Esempi ed esercizi. La serie esponenziale. Serie a termini di segno qualunque: serie assolutamente convergenti. Criterio dell'assoluta convergenza: una serie assolutamente convergente è convergente. Esempi di serie convergenti ma non assolutamente convergenti. I criteri del confronto, della radice e del rapporto in combinazione con il criterio dell'assoluta convergenza. Caso speciale di serie a termini di segno qualunque: le serie a termini di segno alterno. Condizione sufficiente per la convergenza di una serie a termini di segno alterno: il criterio di Leibniz (s.d.). La serie armonica alternata, stima del numero ln(2). Esercizi vari sulle serie. 

Lezione 39 (20/12/2023): Esercizi vari sulle serie numeriche.