Funciones Cuadráticas

Semana 4

Función Cuadrática

Una función cuadrática es una relación matemática que se representa con una ecuación de segundo grado, donde la variable independiente (generalmente x) está elevada al cuadrado. Su gráfica siempre es una curva en forma de “U” llamada parábola.

Forma general de la función cuadrática

La forma general de una función cuadrática es:

y = ax² + bx + c

Donde:

a: coeficiente cuadrático (indica la forma y la apertura de la parábola),
b: coeficiente lineal (influye en la posición del vértice),
c: término independiente (es el punto donde la parábola corta al eje y).

Ejemplo:

f(x)=2x2−4x+1

En esta función:

a = 2
b = −4
c = 1

Es una parábola que se abre hacia arriba porque a>0, y corta al eje y en el punto (0,1).

GeoGebra

Representación gráfica

La gráfica de una función cuadrática es una curva en forma de U llamada parábola. Para representarla correctamente, es necesario conocer varios elementos clave:

Vértice

Es el punto más alto o más bajo de la parábola, según la dirección de su apertura.
🔹 Si la parábola se abre hacia arriba, el vértice es un mínimo.
🔹 Si se abre hacia abajo, el vértice es un máximo.

La fórmula para hallar el vértice es: x = −b / 2a

Luego, reemplazamos ese valor de x en la función para encontrar y.

Eje de Simetría

Es una línea vertical imaginaria que pasa por el vértice y divide la parábola en dos partes iguales.
Su ecuación también es: x = −b / 2a

Concavidad

Indica hacia dónde se abre la parábola y depende del signo de:

Si a>0: la parábola se abre hacia arriba.
Si a<0: la parábola se abre hacia abajo

Construcción con tabla de valores

Una manera práctica de graficar la parábola es usando una tabla de valores:

Se elige un conjunto de valores de x cercanos al vértice.
Se calculan los respectivos valores de y.
Se ubican los puntos (x,y) en el plano cartesiano y se traza la curva

Propiedades de la Parábola

Máximos y mínimos

Una parábola tiene un mínimo si se abre hacia arriba.
Tiene un máximo si se abre hacia abajo.

Este valor ocurre en el vértice, y nos indica el punto más bajo o alto de la gráfica.

Intersecciones con los ejes

Intersección con el eje Y: ocurre cuando x=0, y se obtiene fácilmente evaluando f(0)=c
Intersecciones con el eje X: son los puntos donde la parábola corta el eje horizontal, es decir, donde y=0.
Para encontrarlas, se resuelve la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0

🎥📘 Actividad Interactiva: Funciones Cuadráticas con GeoGebra, Wordwall y WolframAlpha

Queridos estudiantes:

En esta actividad utilizaremos tres herramientas digitales: GeoGebra, Wordwall y WolframAlpha.

El objetivo es explorar el comportamiento de la función cuadrática y = ax² + bx + c a través de la experimentación gráfica, ejercicios de refuerzo y análisis algebraico asistido.

🔎 Parte 1: Representación gráfica en GeoGebra

1. Ingresa a GeoGebra Calculadora Gráfica: https://www.geogebra.org/classic?lang=es

2. Escribe la función cuadrática: y = ax² + bx + c
3. Crea deslizadores para los valores de a, b y c:
- a: de -5 a 5
- b: de -10 a 10
- c: de -10 a 10
4. Observa cómo cambia la gráfica según:
- La concavidad (si abre hacia arriba o hacia abajo).
- La posición del vértice.
- La intersección con el eje Y.
5. Activa en la vista gráfica el vértice, eje de simetría e intersecciones con los ejes.

✏️ Preguntas para responder en tu cuaderno:

· - ¿Qué sucede con la parábola si a > 0? ¿Y si a < 0?

· - ¿Cómo cambia la posición del vértice al variar b?

· - ¿Qué representa c en la gráfica?

· - ¿Cuál es la ecuación del eje de simetría?

🎮 Parte 2: Juego interactivo en Wordwall

1. Accede al siguiente enlace:
👉 Juego: Identifica la parábola correcta (https://wordwall.net/es/resource/xxxxx)
2. Resuelve el juego seleccionando la gráfica correcta según la ecuación dada.
3. Presta atención a:
- La forma de la parábola.
- El signo del coeficiente a.
- El vértice y el punto de corte con el eje Y.

✏️ Desafío:

Juega hasta obtener 100% de aciertos. Luego escribe en tu cuaderno:

· - ¿Qué tipo de parábolas te resultaron más fáciles de identificar?

· - ¿Cómo te ayudó el valor de a a reconocer la gráfica?

📊 Parte 3: Análisis algebraico con WolframAlpha

1. Ingresa a: https://www.wolframalpha.com

2. Escribe la instrucción:
Graph y = ax² + bx + c
(Reemplaza a, b y c con números reales, por ejemplo: y = 2x² - 4x + 1)
3. Observa los resultados:
- La gráfica generada.
- El vértice de la parábola.
- Las raíces (si existen).
- El dominio y rango.

✏️ Tareas:

· - Anota una ecuación con a > 0 y otra con a < 0.

· - Copia en tu cuaderno el vértice, raíces y el eje de simetría de cada una.

· - Escribe el dominio y rango que muestra WolframAlpha.

📌 Evidencia para entregar

· - Captura 1: Gráfica de GeoGebra con vértice visible.

· - Captura 2: Pantalla final del juego en Wordwall.

· - Captura 3: Resultados en WolframAlpha con vértice y raíces.

· - Foto del cuaderno con tus respuestas escritas.

📤 Entrega: Sube las capturas y la foto al grupo de WhatsApp de la clase

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