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Le plan des nombres complexes inventés en 1805.
Dans la résolution des équations du second degré, on en parlait déjà vers les années de 770.
À titre d’exemple, (x²+2) => (x² = -2) -> x = ± la racine carrée de -2.
z*(x²+2) et si z est un nombre naturel non nul.
On aura une famille de paraboles.
Les solutions imaginaires concernent toutes les paraboles qui ne rencontrent jamais l’axe des X.
x=-i√2
x= i√2
Et i est utilisé en Math.
Et J est utilisé en électronique.
L'ensemble des nombres complexes est noté par le symbole C.
Le plan des complexes est un plan orthonormés.
L'axe vertical est l'axe des imaginaires purs et l'axe horizontal est l'axe des réels.
Au-dessus de l'axe des réels, vous avez les nombres complexes positifs.
En dessous de l'axe des réels, vous avez les nombres complexes négatifs.
À tous points différents du plan correspond un couple différent dit nombre complexe M(a;b).
La forme algébrique d’un nombre complexe nommé z vaut a+bi.
Z = a+bi -> M(a;b).
On dira que a est la partie réelle de z et que b est la partie imaginaire de z.
Et a et b sont des réels !
Voici des complexes tels que z0= 5+3i, z1= +5i, z3= +4, z4= -4+3i, z5= -3-2i.
Le module d’un nombre complexe est la distance entre le point de z0 et l’origine des 2 axes. C’est hypoténuse d’un triangle rectangle.
Si z0= 5+3i alors son module |z0| = √ (52+32) = √ ( 25+9) = √ 34 = 5,831.
Un peu de trigonométrie
Le rayon = 1.
Le sin (θ) = côté opposé / hypoténuse.
Le sinus de l’angle θ est le côté opposé de cet angle θ. Le sinus de l’angle θ est ≤ =1.
Le cos (θ) = côté adjacent / hypoténuse.
Le cosinus de l’angle θ est le côté adjacent de cet angle θ. Le cos de l’angle θ est ≤ =1.
Sin (45°) = cos (45°).
La tangente de l’angle θ est le côté opposé / le côté adjacent.
La cotangente de l’angle θ est le côté adjacent / le côté opposé.
cos² (θ) +sin² (θ) = 1² = 1 = e0.
La tangente de l’angle du |z0| = côté opposé / côté adjacent.
Si z0= 5+3i alors son argument = arctg (3/5) = 30,96°= 0,54 rad.
Z0 = 5+3i peut s’exprimer avec son module et son argument.
Si z0= 5+3i alors son module |z0| = √ (52+32) = √ ( 25+9) = √ 34 = 5,831.
Z0 = |Z0| arg = 30,96°.
Z0 = 5,831 arg = 30,96°.
Revenons au plan des complexes.
Comme Cos (θ) = 5 / hypoténuse et que sin (θ) = 3 / hypoténuse.
Le nombre complexe Z = 5 +3i = hypoténuse * cos (θ) + hypoténuse * i * sin (θ).
Le nombre complexe Z = hypoténuse * cos (θ) + (i * hypoténuse * sin (θ)).
Le nombre complexe Z = hypoténuse * {cos (θ)+ (i *sin (θ))}.
Le nombre complexe Z = |Z|* {cos (θ)+ (i* sin (θ))}.
Le module de Z est toujours positif quelque soie la valeur de l’angle (θ).
Multiplier Z par i, c’est le faire tourner |Z| de 90°.
Le nombre complexe Z = |Z|* i * {cos (θ)+ (i * sin (θ))}.
Le nombre complexe Z = |Z|* {i*cos (θ)+ (i²* sin (θ))}.
Le nombre complexe Z = |Z|* {i*cos (θ) - sin (θ)}.
Le nombre complexe Z = |Z|* (-sin (θ) + i*cos (θ)).
Ou bien le nombre complexe Z = |Z|* {cos (θ+(π/2))+i*sin (θ+(π/2))}.
Du I quadrant, on passera au IIe quadrant.
Z = |Z|* {-sin (θ)+(i* cos (θ))}. Certifié par les formules de la trigonométrie.
Nous allons encore une fois multiplier par i.
Z = |Z|* i*{-sin (θ)+ (i* cos (θ))} =|Z|*{(-i*sin (θ))+ i²* cos (θ)}.
Z = |Z|*{-cos (θ)-(i*sin (θ))}.
Du IIe quadrant, on passera au IIIe quadrant.
Nous allons encore une fois multiplier par i.
Z =|Z|*{(-i*cos (θ)- (i²*sin (θ))} =|Z|*{sin (θ)- (i*cos (θ))}.
Du IIIe quadrant, on passera au IVe quadrant.
Nous allons encore une fois multiplier par i.
Z =|Z|*{(i*sin (θ)- (i²*cos (θ))}=|Z|*{cos (θ)+(i*sin (θ))}.
Du IVe quadrant, on passera de nouveau au I quadrant.
Le nombre complexe Z = |Z|* {cos (θ)+ (i* sin (θ))}.
La résolution d’une équation différentielle par le biais de l’intégration nous donne une certaine constante et une exponentielle.
En 1735 Euler → {cos (θ)+ (i* sin (θ))}= eiθ .
Le nombre complexe Z = |Z|* {cos (θ)+ (i* sin (θ))}.
Le nombre complexe Z = |Z|*eiθ.
----- La somme algébrique de 2 nombres complexes → (a+ib)+(c+id) = (a+c)+i(b+d).
À titre d’exemple (4;1)+(3;2) = ((4+3)+(1+2)i.= (7;+3).
On remarquera que l’on a une somme vectorielle en 1882.
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