HF 4

On revient au plan des nombres imaginaires

Z = 5+2i. -> le module = racine carrée de (5²+2²) = (25+4) =  racine carrée de 29 = 5,39.

Z = 5+2i. -> le module = 5,39. Arctg 2/5 = 21,8 ° d'angle ou 0,38 rad.

Z = 5+2i = 5,39  L 21,8° = 5,39  L 0,38 rad.

La somme de 2 nombres imaginaires

La somme

(5+2i) + (1+2i) = (6+4i)

(a+bi) + (d+ei) = [(a+d) + (b+e)i]

vecteur a + vecteur b = vecteur c.

La différence

(5+2i) - (1+2i) = (4+0i) = 4

(a+bi) - (d+ei) = [(a-d) + (b-e)i].

vecteur a - vecteur b = vecteur d.

Le produit de 2 nombres complexes

(a+bi)*(c+di) = (ac+adi+cbi+(bi*di)) = ac-bd+adi+cbi = (ac-bd)+(ad+cb)i.

(1+2i)(3-5i) = 3-5i+6i-10i² = 3-5i+6i+10 = 13+i.

Module de (1+2i) = √(1+4) = √5 L 63,435°.

Module de (3-5i) = √(9+25) = √34 L. -59,036°.

Module de (13+i) = √(169+1) = √170 L 4,4°.

Le produit des modules  √5 * √34 = √170.

La somme des angles 63,435 - 59,036 = 4,39°.

Conclusion pour faire le produit de nombres complexes, on multiple entre eux leur module et on additionne leur angle. 

Conclusion pour faire le produit de nombres complexes, on va multiplier entre eux leur module et on va additionner leur angle. 

(5+2i)i =(5+2i)(0+i) = (0+5i+2i²) = (5i-2) = -2+5i.

(5+2i)i³ = (5i³+2i4) = -5i+2 = 2-5i.

Le conjugué de (+5+2i) = (+5-2i)

La somme de 2 conjugués (+5+2i)+(+5-2i) = (+10-7i+7i+0) = 10 -> réel pur.

Le produit (+5+2i) * (+5-2i) = (+25-10i+10i-4i²)= 25+4 = 29 -> réel pur.

(+5+2i) -> module = √(25+4) = √29 L 21,8°.

(+5-2i) -> module = √(25+4) = √29 L -21,8°.

Produit -> √29 *√29 et L 21-21,8 -> 29 L 0°  réel pur.

Une division de 2 nombres complexes

(1+2i) / (3-5i) = (1+2i)*(3+5i) / [(3-5i)*(3+5i)] = (-7+11i) / (34) = (-7/34)+(11/34)i.

(1+2i) / (3-5i) = -0,206 + 0,324i.

Le module de -0,206 + 0,324i = 0,3835

L'angle Atn ((11/34)/(-7/34)) = -57,529° = -57,53° +180° = 122,471°.

Le module de (1+2i) = √(1+4) = √5 L atn (2/1) = √5 L 63,435°.

Le module de (3-5i) =√(9+25) = √34 L atg (-5/3) = √34 L -59,036°.

Le module de √5 / √34 =  √ (5/34) = 0,383.

L'angle 63,43 - (-59) = 63,435+59,036 = 122,471°.

Conclusion pour faire la division de 2 nombres complexes, on va diviser entre eux leur module et on va soustraire leur angle. 

Une puissance d'un nombre imaginaire

(5+2i)³ = 65+142i.

Le module √(4225+20164) = √(24389) = 156,17.

L'angle Atn (142/65) = 65,4 °.

Le module √(5²+2²) = √29 = (√29)3 = 156,17.

L'angle Atn (2/5) = 3*21,8° = 65,4°.

Conclusion pour faire une puissance de n d'un nombres complexes, on va faire la puissance n de leur module et on va multiplier l'angle par n. 

(5+2i)n  = (√29)n  L  n * 21,8 =  (√29)n.cis (n*21,8). Je remplace L par cis.

La racine ne d'un nombre imaginaire

(a+bi)1/n = ρ1/n .cis (θ / n).

Maintenant, on va voir l'abaque de Smith

L'axe vert est l'axe des résistances pures.

Chaque résistance pure possède son propre cercle -> le plus grand cercle est donc la résistance pure de 0 ohm. Il n'y a pas de résistance pure négative, et donc il n'existe rien de plus grand que le cercle de résistance de 0 ohm pure.

Tous ces cercles de résistance pure sont tangents au point infini situé à droite.

Tous les centres de ces cercles de résistances pures sont situés sur l'axe vert horizontal.

Entre le demi-cercle rouge supérieur de cet abaque de Smith et l'axe vert horizontal, on aura le plan des nombres imaginaires inductifs. 

On partira du réel  0 + 0i (court-circuit) vers l’infini (circuit ouvert +infini) dans le sens des aiguilles d'une montre. 

Le point central 1 du cercle vaut 50 ohms. Nous allons normaliser ce point central à 1, en divisant 50 / 50 = 1.

Le point central 1 du cercle vaut 75 ohms. Nous allons normaliser le point central à 1, en divisant 75 / 75 = 1.

Le demi-cercle bleu inférieur de cet abaque de Smith représente l'axe des imaginaires -i et l'on part du réel  0 + 0i (court-circuit) vers l’infini (circuit ouvert +infini) dans le sens contraire des aiguilles d'une montre. 

Il faut toujours garder en tête la normalisation pour l'axe des réels, qui est une division par 50 ou par 75 suivant l'impédance de la ligne de transmission.

On a dû faire cela pour simplifier l'abaque de Smith.

Au point central 1 -> (1 + 0i). On va le dénormaliser pour une impédance de 50 ohms -> Au point central 1, on aura en réalité ->50*(1 + 0i) = 50 + 0i.

Après avoir étalonné votre NanoVNA, si le circuit est ouvert, vous aurez alors le point vert de droite.

Si le circuit est en court-circuit, vous aurez alors le point vert de gauche.

Si le circuit est fermé avec une résistance de 50 ohms, vous aurez alors le point vert du milieu.

Pour la suite, on va rester sur la normalisation à 50 / 50 = 1 -> le point vert central.

Sur l'axe vert horizontal des résistances pures, il est impossible d'avoir une échelle linéaire. 

Les imaginaires purs auront aussi chacun le propre cercle.

Mon Dieu que des cercles, pourquoi ?

Dans le plan des complexes, le théorème de Pythagore -> r² = a² + b² = équation du cercle au centre.
Le module d'un complexe (a+bi) = la racine carrée de (a² + b²).

Si on garde un module constant et que l'on fasse varier l'angle au centre de 0° à 360°

on obtient alors un cercle. Et comme les résistances négatives n'existent pas.

On est réduit à l'un des demi-plans situé à droite.

D'où un tour complet de l'abaque de Smith correspond à une demi-longueur d'onde pour 180°.

On aura encore des cercles pour les admittances en fait une admittance (Y) vaut l'inverse d'une impédance (1 / Z), mais cette fois à gauche de l'abaque de Smith.

C'est très intéressant, car ainsi on pourra travailler avec uniquement des sommes ou des différences.

Rechercher les impédances des points de couleurs différentes sur l'abaque suivant 

Le point vert (0,5 +1i) -> pour le 50 ohms -> (50/2 + 50*1i) = (25+50i) = une self.

Le point mauve (0,2+0,2i) -> pour le 50 ohms -> (50*0,2+50*0,2i) = (10+10i) = une self.

Le point bleu (1-0,5i) -> pour le 50 ohms -> (50*1-50*0,5i) = (50-25i) = une capacité.

Le point rouge (0-0,5i) -> pour le 50 ohms -> (50*0-50*0,5i) = (0-25i) = une capacité pure.

Rechercher les admittances des points de couleurs différentes sur le même abaque 

Le point vert (25+50i) -> 1 / (25+50i) -> 1* (25-50i) / (25+50i)*(25-50i) = (25-50i) / 3125 = 25(1-2i) / 3125 = (1-2i) / 125 = une capacité.

Le point mauve (10+10i) -> 1 / (10+10i) -> 1* (10-10i) / (10+10i)*(10-10i) = (10-10i) / 200 = 10 (1-1i) / 200 = (1-1i) / 20 une capacité.

Le point bleu (50-25i) -> 1/(50-25i) -> (50+25i) / (50-25i)*(50+25i)  = (50+25i) / 3125 = 25(2+1i) / 3125 = (2+1i) / 125 = une self.

Le point rouge (0-25i) -> 1/(0-25i) -> (0+25i) / (0-25i)*(0+25i) = (0+25i)  / 625 = +0,04i = une self pure. 

Si vous avez des éléments en série, vous faite la somme des impédances.

Si vous avez des éléments en parallèle, vous faite la somme des admittances.

Il nous reste les cercles de même ROS, leur centre se trouve toujours au point en 1+0i.

On peut les tracer sur l'abaque de Smith avec un compas.

Quand une ligne de transmission est parfaitement adaptée, si la résistance d’une source sinusoïdale est de 50 ohms  et arrive au câble coaxial de 50 ohms vers la résistance de 50 ohms du récepteur alors aucun signal ne reviendra à la source. 

Le récepteur va manger tout le signal sinusoïdal.

Le ROS = (Vin + Vr) / (Vin - Vr) = Vin / Vin  = 1.

Par contre, s'il y a une désadaptation quelque part dans le circuit une partie du signal retournera à la source.

Il y aura Vin (signale source) et Vr (signal de retour vers la source).

Le ROS = (Vin + Vr) / (Vin - Vr). On n'aura plus une sinusoïde mais une somme de sinusoïdes !

Le ROS va varier de 1 à l'infini, suivant le signal de retour. et Si Vr = 0 -> le ROS = 1 et si Vr = Vin -> le ROS = l'infini .

Le ROS = (Vin + Vin) / (Vin - Vin) = 2Vin / 0 = + l'infini.

Le cercle extérieur le plus grand sera pour un ROS à l'infini, donc pour Vin = Vr. 

Un ROS de 0,2 n'existe pas, mais  ρ le module du coefficient de réflexion qui vaut Vr / Vin est de 0,2 pour un ROS de 5 -> 1/5 = 0,2.

Lorsqu'une ligne de transmission est parfaitement adaptée le ROS = 1 = ρ. 

Avec le ROS qui peut avoir la valeur de 1 si Vr = 0 et l'infini si Vin = Vr 

Et donc le ROS -> de 1 à l'infini.

Et  ρ = Vr / Vin qui va de 0 si Vr = 0 et à 1 si Vr = Vin.

Et donc  ρ -> de 0 à 1.

Si une ligne de transmission est ouverte quelque part, il existe des appareils électroniques qui branché sur cette ligne de transmission peuvent vous indiquer à quelle distance, il y a ce problème. 

Si une ligne de transmission est en court-circuit quelque part, il existe des appareils électroniques qui branché sur cette ligne de transmission peuvent vous indiquer à quelle distance, il y a ce problème.