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Un tension sinusoïdale est représentée par son amplitude (4) et par sa période (6,3 mS).
Le 50 Hz a une période de 1 / f = 1 / 50 = 20 mS.
1 KHz -> 1 / 1000 = 1 mS.
1 MHz -> 1 / 10-6 = 1 uS.
1 Ghz -> 1 / 10-9 = 1 nS.
Les hautes fréquences, c'est un peu plus difficile à comprendre !
Pour du 50 Hz alternatif sinusoïdale un condensateur non polarisé de 400 V de 10 nF va réagir comme une espèce de résistance dans le circuit.
On dira qu'un condensateur possède à 50 Hz une certaine impédance de 318 K ohms.
On la nommera Zc.
Si on avait uniquement une résistance alors l'impédance nommée 'Z' deviendrait égale à R.
Dans un circuit purement résistif en alternative sinusoïdale, il n'y aura pas de déphasage entre U et I.
Le condensateur produit un déphasage entre U et I en alternatif sinusoïdale.
Une self produit un déphasage entre U et I en alternatif sinusoïdale.
On sait très bien qu'en alternative sinusoïdale une self et un condensateur parfaits produisent un déphasage de 90° d'angle.
Nous savons qu'une self s’oppose aux variations et donc le courant sera en retard de 90° par rapport à sa tension.
Nous savons qu'un condensateur laisse passer la HF et pas le courant continu d'où le courant sera en avance de 90° par rapport à sa tension.
Ah! Alors, c'est complexe. Oui, et même imaginaire.
Et si i² = -1.
La racine carrée de -1 c'est impossible, eh oui, c'est pour cela qu'on l'imagine.
C'est assez complexe, alors on a imaginé le plan de nombres complexes.
L'axe vertical est l'axe des imaginaires purs et l'axe horizontal est l'axe des réels.
Au-dessus de l'axe des réels, vous avez les nombres complexes positifs.
En dessous de l'axe des réels, vous avez les nombres complexes négatifs.
Le plan des complexes est orthonormé (les 2 axes sont perpendiculaires et leurs unités possèdent une même longueur). L'idée est déjà évoquée en l'an 1770.
Dans la résolution des équations du second degré, on en parlait déjà vers les années de 770.
ex) (x²+2) => (x² = -2) -> x = la racine carrée de -2.
Et en 1865 arrivèrent les vecteurs et les calculs matriciels
Tout bon pour Einstein en 1920.
Revenons au plan des complexes, tous les points de ce plan complexe représentent un nombre complexe.
Un nombre complexe est de la forme = (a + bi ), et a ainsi que b sont des nombres réels.
Et (a + bi ) = (a + ib ) = (a + Jb ) avec i = j. Pour les maths, on utilisera i et en électronique, on utilisera plutôt j.
Je vais utiliser la lettre i.
Vous lavez compris, il y a une infinité de points dans un plan orthonormé et il y aura aussi une infinité de nombres complexes dans ce même plan.
Et en 1940 viendra l'abaque de Smith très utilisé par les électroniciens en HF.
Le calcul de l'impédance de notre condensateur de 10 nF à 50 Hz => plus la fréquence est élevée et plus petite sera son impédance, plus le condensateur est grand et plus petite sera son impédance. La capacité nommée 'C' sera au dénominateur ainsi que la fréquence.
zc = 1 / [(2*Pi*f * C)*i ] = - 1 (6,28*50*10-8 ) = - 318,3 K ohms.
1 / i = i / i² = i / -1 = - i. On obtient un imaginaire pur (négatif).
zc = 0 - 318300i.
Le calcul de l'impédance d'une self de 10 mH à 50 Hz => plus la fréquence est base et plus petite sera son impédance, plus la self est élevée et plus grande sera son impédance. La self sera au numérateur ainsi que la fréquence.
ZL = [(2*Pi*f)*L]*i = (6,28*50*10-2 )*i = +3,142 ohms.
ZL = 0 + 3,142i.
Vous remarquerez dans la parenthèse d'un point du plan complexe, on y place d'abord le réel des x puis l'imaginaire. Le nombre complexe ZL = 0 + 3,142i.
Exercices)
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Zt = Zc + ZL =
Zc = - 1 / [(2*Pi*f)*10-6= -1 / (6283,2 *10-6 ) = - 159,2 ohms. Calcul en ligne ici.
Et maintenant calculez-moi la valeur de L pour avoir une impédance de +159,2 ohms.
ZL = +159,2 = (2*Pi*f)*L = 6283,2 * L -> L = 159,2 / 6283,2 = 25,3 mH.
Zt = Zc + ZL = - 159,2 + 159,2 = 0 ohms ??? Calcul impédance d'une self ici.
Si le condensateur est parfait ainsi que la self, le signal sinusoïdal de 10 mV branché sur la borne n° 1 du condensateur va se retrouver intégralement à la sortie de la borne n° 2 de la self.
Il sera alors mesuré sur cette sortie avec un oscilloscope de haute impédance d'entrée et l'on retrouvera la même amplitude et la même phase qu'il y avait sur l'entrée de ce circuit.
Bien sûr, des circuits parfaits n'existent pas.
Il y a une symétrie entre Zc et ZL. Leurs impédances sont diamétralement opposées.
Et Zc et ZL sont des imaginaires purs, ils se situent sur l'axe des imaginaires.
Vous voyez, les impédances des selfs sont au-dessus de l'axe des X (réels) et les impédances des capacités en dessous de cet axe des x (réels).
Vous allez retrouver cela aussi sur le diagramme de Smith.
Sur la figure ci-dessus Z = 5 + 2i.
Et le segment nommé 'a' qui est une hypoténuse qui sera nommée module du nombre complexe -> Z. Et le module de Z va s'écrire |Z|.
Z = 5 + 2i. |Z| = ?
Et 'a' = à la racine carré de (5² + 2²), -> "Pythagore" = à la racine carré de (25+4) = à la racine carré de 29 = 5,4 = |Z|.
Il existe un cercle dont le rayon est 'a' et son centre est (0 ; 0i) tous les points de cette circonférence auront le même module en valeur absolue |Z|= 5,4.
OA = hyp *[cos (α)].
AB = hyp *[sin (α)].
Z = OA + (AB)i. Z = hyp *[cos (α)] + hyp *[sin (α)]*i.
Z = hyp * (cos (α) + [sin (α)]*i ).
Z =|Z| * (cos (α) + [sin (α)]*i ) =|Z| * e(α*i).
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Et α s'exprime en radians.
Sur la figure ci-dessus le nombre complexe nommé Z = 5 + 2i. Le module de Z est +5,4.
Il serait bien de définir un nombre complexe avec seulement son module et l'angle qu'il forme avec l'axe des réels.
La tangente est le côté opposé divisé par le côté adjacent.
Et la tan (de l'angle alpha) = 2/5.
Arctan (2/5) = 0,38 radian ou 21,8° d'angle.
La longueur de la circonférence qui est égale à la longueur du rayon forme un angle de 1 radian.
Sur une circonférence, il y a 6,28- > (2*Pi) radians.
Et 1 radian = 360° / (2*Pi) = 360 / 6,28 = 57,3° d'angle.
La longueur d'une circonférence vaut (2*Pi)*r = Pi*d.
Z = |z| * e(α*i) = 5,4 * e(0,38i).
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Z = |z| L (21,8 °) = |z|*e(α*i)= 5,4 * e(0,38i).
Et α s'exprime en radians.
En science exacte les angles s'expriment toujours en radians!
Calculez l'impédance du circuit ci-dessus.
100 MHz = 108 Hz -> 2*Pi*f = 628 * 106 rad / s.
Il y a 6,28 radians sur une circonférence, et la fréquence est en quelque sorte des tours / sec -> 6,28 * 108 radians / sec -> 1 tour pour une seule période.
-1- L2+L3 = 110 uH.
-2- C2 en série avec C3 -> les épaisseurs des isolants augmentent donc la capacité équivalente sera plus petite que la plus petite des capacités.
1/ C éq = 1 / C2 + 1 / C3 = 1/100 + 1/56 = (56+100) / (56*100) = 156 / 5600.
C éq = 5600 / 156 = 36 nF.
-3- la branche du dessus -> 2*Pi*f*L1 - 2*Pi*f*C éq = 2*Pi*f* ( 10-3 - ( 36*10-9)) =
628 *103 * (1-(36*10-6)) = 628 K ohms.
-4- la branche du dessous ->2*Pi*f*L éq - 2*Pi*f*C1 = 2*Pi*f* (110*10-6)- (100*10-9) =.
628 * (110-(100*10-3)) = 628 * (110-10-1) = 628*110 = 69*103= 69 K ohms.
-5- on a 2 self en parallèle -> 1 / L éq = 1 /628 + 1/69 = 69+628 / 69*628 =>
L éq = 69*628 / 69+628 = 43300 / 697 = 62 K ohms.
-6- le résultat = +62 K ohms car 247 ohms, c'est négligeable.
Le résultat est une self d'impédance d'environ 62 K ohms.
On remarque que les impédances des capacités et de la résistance sont négligeables par rapport aux selfs.
Calculez l'impédance du circuit ci-dessus.
1 MHz = 106 Hz -> 2*Pi*f = 628 * 104 rad / s.
-1- la branche du dessus -> 2*Pi*f*L1 - 2*Pi*f*C éq = 2*Pi*f* ( 10-3 - ( 36*10-9)) =
628 * 104 *10-3 *(1-(36*10-6)) = 628 *10 = 6,28 K ohms.
-2- la branche du dessous ->2*Pi*f*L éq - 2*Pi*f*C1 = 2*Pi*f* (110*10-6)- (100*10-9) =.
628 * 104 *10-6 *(110-(100*10-3)) =
6,28 * 106 *10-6 *(110-(100*10-3)) =6,28 * (110-10-1) =6,28 * 110 = 690 ohms.
-3- 2 selfs en parallèle -> 1/L éq = 1/690 + 1/6280 -> L paral = 4333200 / 6970 = 622 ohms. Et L = 622 / 628 * 104 = 0,99 *10-4 = 0,099 * 10-3 = 99 uH.
ZLC = 247+622i. -> |ZLC| = 670 L 68,3 °.
|ZLC| = racine carrée de 247² + 622² = racine carrée de (61 009 + 386 884) =
racine carrée de 447 893 = 669,248.
arctan 622 / 247 = 68,3 °.
Si on raccorde la borne n° 2 de R à la masse, voici ce qu'il y aura comme tension sur la résistance.
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