Урок 9.

Алгебра логики — раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые с точки зрения их логических значений (истинности или ложности), и логические операции над ними.

Логическое высказывание — это повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Например, предложение «Джордж Буль — основоположник алгебры логики» истинно, а «Солнце — спутник Земли» ложно.

Употребляемые в обычной речи логические связки «не», «и», «или», «если…то», «тогда и только тогда» и др. позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Высказывания, образованные из других высказываний, называются составными. Высказывание, никакая часть которого не является высказыванием, называется элементарным. Например, из двух простых высказываний (каких?) можно получить следующее составное высказывание: «Алгебра логики является основой строения логических схем компьютеров и служит математической основой решения сложных логических задач». Истинность или ложность составных высказываний зависит от истинности или ложности образующих их высказываний и определённой трактовки связок (логических операций над высказываниями).

Логическая переменная — это переменная, которая обозначает любое высказывание и может принимать логические значения «истина» или «ложь». Для логических значений «истина» — «ложь» могут использоваться следующие обозначения: И — Л, true — false, да — нет, 1 — 0.

Логическая операция полностью может быть описана таблицей истинности, указывающей, какие значения принимает составное высказывание при всех возможных значениях образующих его элементарных высказываний.

В алгебре логики имеется несколько логических операций. Рассмотрим основные:

— отрицание (инверсия, логическое НЕ)

Высказыванию ставится в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному.

— конъюнкция (логическое умножение, логическое И)

Высказывание истинно тогда и только тогда, когда истинны оба исходных высказывания.

— дизъюнкция (логическое сложение, логическое ИЛИ)

Высказывание ложно тогда и только тогда, когда ложны оба исходных высказывания.

— Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся ложным тогда и только тогда, когда первое высказывание (посылка) истинно, а второе (следствие) — ложно, называется импликацией (от лат. implicatio — сплетение, тесная связь) или логическим следованием.

Операция импликации обозначается стрелочкой и задается следующей таблицей истинности:

В разговорной речи импликации соответствуют предложения, содержащие связку «если…, то». Как правило, эту связку мы используем, когда хотим показать зависимость одного события от другого.

Импликацию можно заменить на выражение, использующее ранее изученные операции НЕ и ИЛИ:

— Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся истинным, когда оба исходных высказывания истинны или оба исходных высказывания ложны, называется эквиваленцией или равнозначностью.

В разговорной речи эквивалентности соответствует связка «тогда и только тогда, когда», а в математике — «необходимо и достаточно».

Задания для решения на оценку>>: