1. Caratteristiche dell'insegnamento
Programma di Massima del Corso: (gli studenti di fisica non devono portare alcune dimostrazioni, vedere programma dettagliato)
Equazioni differenziali: Teorema di esistenza e unicità, tempi di esistenza. (Teo. 8.8 [Ch])
Dipendenza Lipschitziana dai dati iniziali (Prop. 8.10.[Ch])
Applicazioni del teorema della funzione implicita: Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, massimi e minimi vincolati. (prop. 7.9 [Ch]) Teorema della funzione inversa, diffeomeorfismi locali. [Ch]
Teoria dell'integrazione: 1. Integrale di Riemann in Rn
Ripasso sull’integrale di Riemann in una dimensione ([G], par. 12.1). Rettangoli in R2,
funzioni a supporto compatto, definizione di
funzione integrabile secondo Riemann in R2 (quindi Rn).
Definizione di insieme misurabile ([G], Def. 12.3), un insieme è misurabile se e solo se la sua
frontiera ha misura nulla ([G], Prop. 12.1). Insiemi normali rispetto agli assi cartesiani.
Una funzione continua su un insieme misurabile è integrabile ([G], Teo. 12.1). Teorema
di riduzione di Fubini ([G], Teo. 12.2).
Formula del cambio di variabile negli integrali (schema di dimostrazione) Coordinate polari,
cilindriche, sferiche. Esempi: calcolo di alcuni baricentri e momenti di inerzia.
2. Curve, superfici, flussi e teorema della divergenza.
Richiami sul prodotto vettoriale. Esempi di varietà. Curve regolari e superfici regolari.
Cambi di coordinate. La lunghezza di una curva. Definizione di superficie regolare ([G], Def. 15.4).
Piano tangente e versore normale. Area di una superficie ([G], Def. 15.6).
Integrali superficiali. Flusso di un campo
vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Enunciato del teorema della divergenza.
Dimostrazione del teorema della divergenza (per domini normali in R^2 e R^3).
Il teorema del Rotore (dimostrato per domini normali in R^2).
3. Forme differenziali e lavoro.([G])
1-Forme differenziali Integrale di una 1-Forma differenziale (lavoro
di un campo vettoriale), forme chiuse ed esatte. Una forma è esatta se e solo se l’integrale
su una qualsiasi curva chiusa è nullo. Esempio di forma chiusa non esatta.
Insiemi semplicemente connessi. Una forma chiusa su un semplicemente connesso è esatta.
Insiemi stellati una forma chiusa su un dominio stellato è esatta.
Testi consigliati
L'insegnamento si basa sui testi:
[Ch] Chierchia Analisi Matematica -n
[G] Giusti Analisi Matematica 2
altri testi consigliati
[MFS] Marcellini Fusco Sbordone Analisi Matematica 2
[BDG] Michiel Bertsch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli, Analisi matematica, McGraw Hill, Milano, 2011 (seconda edizione);
Modalità degli esami
L'esame consiste in una prova scritta (o alternativamente due prove intermedie) e in un successivo colloquio orale.
Il superamento della prova scritta (con voto ≥17) consente di sostenere il colloquio orale in un appello qualsiasi dello stesso anno accademico.
Attenzione: per accedere agli esoneri e alle prove scritte è necessario prenotarsi su GOMP. Chi dovesse riscontrare dei problemi tecnici mi avverta tassativamente prima della scadenza delle prenotazioni.
Per verbalizzare l'esame è necessario prenotarsi su GOMP per una prova scritta.
Orario delle lezioni:
Le lezioni si svolgono in aula M3: lunedi 11-13 ,mercoledi 9-11 + 18.19:30, venerdi 11-13
23/02/2026 inizio lezioni del II semestre
dal 03/04 al 07/04/2026
dal 20/04 al 24/04/2026 periodo riservato agli esoneri – interruzione lezioni
1 Esonero 23/04/2026. ore 14:00. Aula M1
06/06/2026 termine lezioni
dal 08/06 al 13/06/2026 settimana riservata agli esoneri
II esonero 11/06/2026 ore 11:00 Aula M2
Questo diario delle lezioni fungerà da programma dettagliato del corso.
Degli argomenti contrassegnati con (*) non verrà chiesta la dimostrazione in sede di esame agli studenti di fisica.
1. Lezione 23/2: Equazioni differenziali. Esempi, problemi di Cauchy. Teorema di esistenza ed unicita` locale. ([C] Teorema 8.8 pag. 161-163 tranne esempi 8.2 e 8.6). Appunti e esercizi
2. Lezione 25/2: Prolungamento di una soluzione. (pag. 168). Tempi di esistemza. Intervallo massimale di esistenza e unicità. Controesempi, il pennello di Peano.
3. Lezione 27/2: Il lemma di Gronwall, dipendenza Lipschitz dai dati iniziali.
4. Lezione 2/3 Studio di funzioni ristrette alla superficie di livello di una funzione C^1. Punti regolari e teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
5. Lezione 4/3. Massimi e minimi di una funzione su un insieme chiuso definito da una o piu' equazioni o disequazioni. Un po di trucchi.
6. Esercitazione 1 (Bessi) 6/3 Esercizi su massimi e minimi vincolati. Studio di insiemi definiti implicitamente.
7.Lezione. 9/3 Moltiplicatori di Lagrange, caso di piu' vincoli. Il teorema della funzione inversa, cambi di variabile. Coordinate polari e coordinate cilindriche. Coordinate sferiche.
8. Esercitazione 2 (Bessi) 11/3 Esercizi su massimi e minimi vincolati (caso con piu' vincoli). Equazioni differenziali a variabili separabili. Studio del problema di Cauchy ed esempi di determinazione dell'intervallo massimale di esistenza ed unicità.
9. Lezione. 13/3 Coordinate cilindriche. Coordinate sferiche. Integrazione di Riemann in R^n. Funzioni semplici e loro integrale. Funzioni integrabili.
10. Lezione. 16/3 Integrabilita' delle funzioni continue sui rettangoli. Misura di Peano-Jordan. Gli insiemi misurabili. Insiemi normali. appunti ed esercizi,
11. Lezione 18/3. Caratterizzazione degli insiemi misurabili. Il teorema di Fubini.
12. Esercitazione 3 (Bessi) 20/3. un po di volumi baricentri etc...
13. Lezione. 25/3. Solidi di rotazione. Calcolo di massa, baricentro e momento d'inerzia. appunti ed esercizi
14. Lezione. 27/3. Cambiamenti di coordinate ed integrazione.
15. Lezione 30/3 Ancora sui cambiamenti di coordinate. Gli integrali impropri.
16. Esercitazione 4. 1/4 (Bessi) ancora integrali
17. Lezione 8/4. Curve regolari, lunghezza di una curva, parametrizzazione dell'ascissa. curvilinea. appunti la curva di Peano,
18, Lezione 10/4: ancora sulle curve regolari. Cambiamenti di coordinate.
29. Lezione 13/4: Superfici regolari, area superficiale. appunti
20. Esercitazione 5. 15/4 (Bessi) Integrali su curve e superfici.
21. Lezione 17/4 Integrali superficiali. Orientamento e orientabilita'. appunti
Esonero. 23/4
22. Lezione 27/4 Lavoro di un campo vettoriale lungo un cammino. Flusso attraverso una superficie appunti
23. Esercitazione 6. 29/4 (Bessi)
24. Lezione 4/5 Formule di Gauss-Green. appunti
25. Esercitazione 7. 6/5 (Bessi)
26. Lezione 8/5 Teorema della divergenza in dimensione due e tre. appunti
27. Lezione 11/5. Il teorema del rotore. appunti
28. Esercitazione 8. 13/5 (Bessi)
29. Lezione 15/5 Uno forme e campi vettoriali. L'integrale di una uno forma su un cammino. appunti
30. Lezione 18/5. Uno forme chiuse ed esatte. Caratterizzazione delle uno forme esatte. appunti
31. Lezione 20/5. Uno forme chiuse e teorema del rotore. Equivalenza con le uno forme esatte su domini semplicemente connessi. Caso di domini non-semplicemente connessi. appunti
32. Lezione 22/5. Domini stellati ed equivalenza fra uno forme chiuse ed esatte (senza dim). Esercizi ed esempi. appunti
33. Lezione 25/5
34. Esercitazione 9. 27/5 (Bessi)
35. Lezione 28/5
36. Lezione 1/6
37. Lezione 3/6
38. Lezione 5/6
vanno recuperate 2 ore!
II esonero