1. Caratteristiche dell'insegnamento
Programma di Massima del Corso: (gli studenti di fisica non devono portare alcune dimostrazioni, vedere programma dettagliato)
Successioni e Serie di funzioni: Convergenza puntuale uniforme e totale, passaggio al limite nell' integrale e nella derivata, criteri di convergenza uniforme. Serie di potenze e funzioni analitiche. Esponenziale di matrice. Serie di Fourier: definizioni base, disuguaglianza di Bessel, lemma di Riemann-Lebesgue. Convergenza puntuale della serie di Fourier per funzioni regolari a tratti.
Basi di topologia in R^n. Funzioni di più variabili, limiti e continuità. Insiemi aperti, chiusi, connessi, compatti. Teorema di Heine-Borel, Weierstrass e Heine-Cantor. Funzioni di più variabili: differenziabilità funzioni C^k, Definizione di tensore delle derivate p-esime. Formula di Taylor con resto integrale, resto di Lagrange, resto di Peano. Massimi e minimi locali. Il teorema della funzione implicita.
Testi consigliati
L'insegnamento si basa sui testi:
[Ch] Chierchia Analisi Matematica -n
[G2] Giusti Analisi Matematica 2
[MFS] Marcellini Fusco Sbordone Analisi Matematica 2
[BDG] Michiel Bertsch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli, Analisi matematica, McGraw Hill, Milano, 2011 (seconda edizione);
Modalità degli esami
L'esame consiste in una prova scritta (o alternativamente due prove intermedie) e in un successivo colloquio orale.
Il superamento della prova scritta (con voto ≥17) consente di sostenere il colloquio orale in un appello qualsiasi dello stesso anno accademico.
Orario delle lezioni:
Le lezioni si svolgono in aula M3: martedi 11-13 ,mercoledi 11-13, giovedi 11-13 +16/18
22/09/2025 inizio lezioni del I semestre
dal 10/11 al 15/11/2025 periodo riservato agli esoneri – interruzione lezioni
17/11/2025 ripresa lezioni (fino al 22/12/2025 compreso)
07/01/2026 ripresa dell’attività didattica
dal 12/01 al al 21/02/2026 sessioni appelli d’esame
Questo diario delle lezioni fungerà da programma dettagliato del corso.
Degli argomenti contrassegnati con (*) non verrà chiesta la dimostrazione in sede di esame agli studenti di fisica.
1. Lezione 23/9: Convergenza puntuale di successioni e serie di funzioni. Esempi. Definizione di convergenza uniforme e di norma-infinito. Esempi. Teorema: la convergenza uniforme preserva la continuità. Appunti
2. Lezione 24/9: Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale(*). Esempi. Motivazioni ed enunciato del teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata. Dimostrazione del teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata, sotto l’ipotesi aggiuntiva che le funzioni della successione siano di classe C^1. Appunti
3. Lezione 25/9: Condizione sufficiente per la convergenza uniforme: criterio di monotonia in n del Dini(*). Condizione sufficiente per la convergenza uniforme: criterio di monotonia in x. Serie di funzioni: definizione di convergenza totale. La convergenza totale implica la convergenza uniforme. Appunti
4. Lezione 30/9: Esempi ed esercizi su convergenza uniforme puntuale e totale. Esempio: serie uniformemente ma non totalmente convergente. Serie di potenze: definizione ed esempi. Raggio di convergenza. Le serie di potenze convergono totalmente in ogni intervallo compatto contenuto in (x_0-R, x_0+R). Appunti. Versione Alternativa. Esercizi 1. 2. 3. 4
1. Esercitazione 1/10. Convergenza uniforme, serie di potenze. (corsi)
5. Lezione 2/10: Le serie di potenze sono funzioni di classe C^infinito. Criterio della radice per serie numeriche (con il limsup al posto del limite). Esempi ed esercizi. Calcolo del raggio di convergenza. Derivate delle serie di potenze. Ogni serie di potenze coincide con la propria serie di Taylor in x_0. Esempio di calcolo della somma di una serie di potenze come applicazione della teoria. Esempio di funzione di classe C^infinito che non coincide neppure localmente con la propria serie di Taylor. Definizione di funzione sviluppabile in serie di potenze in x_0 e di funzione analitica su un intervallo. Manipolazione di serie di potenze. Appunti
6. Lezione 7/10. Teorema(*): le serie di potenze sono funzioni analitiche in (x_0-R, x_0+R). Criterio di analiticità (condizione sufficiente).Definizione di funzione periodica, Motivazione e definizione di coefficienti di Fourier e serie di Fourier. (vedi anche Versione Alternativa). Eulero&Prostaferesi
7. Lezione 8/10: Definizione di funzione continua a tratti. Le funzioni periodiche continue a tratti sono integrabili e il loro integrale su un periodo non dipende dalla scelta dell'intervallo. Disuguaglianza di Bessel. Definizione funzione regolare a tratti. Appunti
8. Esercitazione 9/10: Lemma di Riemann-Lebesgue. enunciato del Teorema di convergenza puntuale della serie di Fourier per funzioni regolari a tratti. Esempi ed esercizi. (procesi)
8. Lezione 14/10: Dimostrazione del teorema di convergenza puntuale.
9. Lezione 15/10: Le funzioni regolari a tratti e continue soddisfano il teorema fondamentale del calcolo integrale. Teorema di convergenza totale della serie di Fourier per funzioni regolari a tratti e continue. Uguaglianza di Parseval. Esempi di calcolo della somma di serie numeriche mediante le serie di Fourier.
10. Esercitazione 16/10 + numeri complessi(procesi)
11. Lezione 21/10 (Corsi) Seno e coseno definiti per serie, la formula di Eulero, esercizi
12. Esercitazione 22/10 (Corsi) Esercizi sugli sviluppi in serie di Fourier.
13. Lezione 23/10 (Corsi) Lo spazio vettoriale R^n, prodotto scalare, norma euclidea, distanza. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz in R^n. Proprietà immediate della norma e della distanza. Disuguaglianza triangolare in R^n. Definizione di palla aperta di centro x e raggio r. Definizione di punto interno a un sottoinsieme di R^n. Definizione di sottoinsieme aperto (e di sottoinsieme chiuso) di R^n nella topologia euclidea e proprietà. Definizione astratta di topologia. Definizione di spazio metrico e di spazio normato. Definizione di prodotto scalare su uno spazio vettoriale reale. Esempi. Definizione di norma su uno spazio vettoriale reale. Esempi: norme p su R^n e su spazi di funzioni continue. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz per prodotti scalari "astratti". Ogni prodotto scalare induce una norma. Norme equivalenti. Definizione di chiusura, interno, frontiera di un sottoinsieme di R^n. Definizione di intorno di un punto. Successioni di Cauchy e successioni convergenti in R^n: equivalenza delle due nozioni. Esercizio: la convergenza di una successione in R^n è equivalente alla convergenza di tutte le sue n componenti, viste come successioni in R. Caratterizzazione degli insiemi chiusi mediante convergenza di successioni.
14. Lezione 28/10 Definizione di limite e di continuità per funzioni di più variabili. Equivalenza tra continuità e continuità per successioni. Somma, composizione, prodotto (scalare) e reciproco (nel caso scalare) di funzioni continue di più variabili sono funzioni continue. Topologia indotta dalla topologia euclidea su un sottoinsieme E di R^n. Teorema ("definizione topologica di continuità"): una funzione da E a R^m è continua se e solo se la controimmagine di ogni insieme aperto (nella topologia euclidea sul codominio R^m) è un insieme aperto (nella topologia indotta sul dominio E). Osservazione: la continuità di una funzione a valori vettoriali in R^m è equivalente alla continuità di tutte le sue m componenti, funzioni scalari a valori in R. Una funzione è continua in un punto interno al dominio se e solo se essa è continua lungo tutte le curve passanti per il punto. Esempi
15. Lezione 29/10. Ancora sulla continuita' e limiti. Alcuni esempi e trucchi. Esempio: Continuita' per rette non implica continuita'.
16 Lezione 30/10. Esercizi sulla continuita'. Continuita' in coordinate polari (*). Grafici di funzioni R^2 -> R. Curve di livello. Funzioni lineari.
17. Lezione 4/11. Funzioni quadratiche. Definizione di compatto. Teorema di Heine-Borel