Programma di Massima del Corso:
Parte 1: Integrale di Lebesgue in R^n Definizione delle funzioni L^1. Teoremi sull’integrazione di limiti (convergenza monotòna, convergenza dominata, Lemma di Fatou). Completezza di L^1 (Teorema di Riesz-Fischer) Integrali iterati e teorema di Fubini. Funzioni misurabili e misura di Lebesgue. Convoluzione e regolarizzazione.
Parte 2: Trasformata di Fourier in L^1. Lo spazio di Hilbert L^2 (su domini limitati e su R^n) Trasformata di Fourier nello spazio di Schwartz. Distribuzioni temperate. La trasformata di Fourier in L^2. Il teorema di Plancherel
Parte 3: Fondamenti della teoria delle equazioni differenziali ordinarie Esempi e classi di equazioni differenziali ordinarie. Teorema di esistenza e unicità locale (Picard-Lindelof); dipendenza Lipschitz dai dati iniziali. Soluzioni massimali e globali; criteri di globalità. Lemma di Gronwall e teoremi di confronto. Sistemi lineari (struttura lineare, wronskiano); sistemi non omogenei (variazioni delle costanti). Sistemi lineari a coefficienti costanti (soluzione esponenziale). Il teorema di Floquet.
Modalita di esame:
L'esame consiste in una prova scritta ed un colloquio orale. Gli studenti che hanno seguito il corso devono anche consegnare una serie di esercizi assegnati in classe (per chi non abbia seguito il corso, per favore contattatemi per farvi assegnare degli esercizi sulla teoria della misura astratta).
Per il colloquio orale: Mi aspetto che voi abbiate una visione generale di tutto il materiale presentato e che scegliate degli argomenti specifici su cui volete incentrare il colloquio.
Testi consigliati:
[RN] Riesz, F et B.Sz. Nagy: Lecons d'analyse fonctionnelle, Gauthier-Villars/Akademiai Kiado, 1955.
[Ch97] L. Chierchia: Lezioni di analisi matematica 2, Aracne Ed, 1997 (Cap. 9)
[Tao] T. Tao, An introduction to measure theory (si trova facilmente il pdf in rete)
[AQ] Aquistapace Paolo Analisi 2
[DMcK] H. Dym [and] H. P. McKean: Fourier series and integrals. New York, Academic Press, 1972.
[Ch23] L. Chierchia Appunti su equazioni differenziali ordinarie
[AA] Shair Ahmad and Antonio Ambrosetti: Differential Equations A first course on ODE and a brief introduction to PDE Series: De Gruyter Textbook De Gruyter | 2019 DOI
[D] B. Demidovich Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 2010
potete trovare esercizi nei siti degli anni precedenti, AM300, e nell'archivio della didattica interattiva (il corso da guardare e' AM4)
Modalità di Esame:
L'esame consiste in una prova scritta e in un successivo colloquio orale.
Il superamento della prova scritta (con voto ≥17) consente di sostenere il colloquio orale in un appello qualsiasi dello stesso anno accademico.
Compiti: preappello, 1appello, 2appello
Orario delle lezioni:
Lunedi e Govedi 16-18. Mercoledi: 9-11.
Schema delle Lezioni:
Teoria della misura (dal libro di Tao)
Lunedi 23 Misura di Peano-Jordan: insiemi elementari, misura esterna e misura interna. Appunti,
Mercoledi 25. Caratterizzazioni degli insiemi misurabili secondo PJ. Esercizi Appunti
Giovedi 26. Misura esterna di Lebesgue Appunti. Appunti
Lunedi 30 Insiemi misurabili secondo Lebesgue. Insiemi quasi aperti Appunti
Esercizi di Misura di Lebesgue
Mercoledi 2. Proprieta della misura di Lebesgue
Giovedi 3. Le funzioni misurabili. Approssimazioni con funzioni semplici. Appunti
Lunedi 7. proprieta degli integrali Appunti Appunti
Mercoledi 9. teoremi di passaggio al limite Appunti
Giovedi 10. esercizi
Lunedi 14. Integrali dipendenti da parametri. Misura di Lebesgue sugli spazi prodotto.
Mercoledi 16. Teorema di Tonelli e di Fubini. Appunti Appunti Appunti
Giovedi 17. Cambi di variabile nell'integrazione (uno schema della dimostrazione). Lo spazio di Banach L1 e il Teorema di Rietz-Fischer. Appunti
Lunedi 21. Gli spazi Lp, proprietà di base. (Battaglia)
Mercoledi 23. Teoremi di densità. Appunti
Giovedi 24. Lo spazio L^2. Dualita'. La trasforamta di Fourier in L1 Appunti
Lunedi 28. Proprieta' della trasformata.
Mercoledi 30 Lo spazio di Schwartz. Proprieta della trasformata di Fourier nello spazio di Schwartz. Appunti
Giovedi 31. Il teorema di inversione sugli spazi di Schwartz.
Lunedi 4 Applicazioni all'inversione in L1. Definizione di distribuzione e di operatore aggiunto. Appunti
Mercoledi 6 Lo spazio delle distribuzioni temperate Estensione di operatori su S' per dualità. La trasformata di Fourier su S'.
Giovedi 7. Esercizi ed applicazioni della trasformata di Fourier e delle distribuzioni. Appunti
il paragrafo 3.1 di questo libro discute le distribuzioni (pero fa il duale delle funzioni regolari a supporto compatto! La migliore referenza e' Reed e Simon
(o Bony ma e in francese)
Mercoledi 20. Il teorema di Plancherel. Appunti
Giovedi 21. Equazioni differenziali ordinarie. Teorema di esistenza e unicita' alla Lindelhof. Appunti (Vedere anche [Ch23])
Lunedi 25. Ancora sull'esistenza e unicita'. prolungamenti, il pennello di peano. Traiettorie ed orbite. Appunti
Martedi 26. esempi ed esercizi. Intervallo massimale di esistenza e unicita'. Appunti
Mercoledi 27. The di matematica
Giovedi 28 Teoremi di fuga dai compatti. Appunti
Lunedi 9 Lemma di Gronwall. Dipendenza Lipschitz dai dati iniziali.
Martedi 10. Il teorema del confronto. Metodi per stimare I_max. Appunti
Mercoledi 11. Esercizi.
Giovedi 12. Sistemi lineari. Struttura di spazio affine delle soluzioni. Soluzioni fondamentali. Appunti (extra la forma canonica di Jordan 1 2)
Lunedi 16 Metodo di variazione di costanti. Appunti
Mercoledi 18. Equazioni differenziali lineari su uno spazio di Banach, esponenziale e formula di Lie. Appunti
Giovedi 19. Il teorema di Floquet. Appunti
NATALE