Programma fino al 2020-21

1.      Spazi di Banach e convergenza debole

Teorema di Baire – caratterizzazione della continuità degli operatori lineari – teorema di Banach–Steinhaus – teorema dell'applicazione aperta di Banach – teorema del grafico chiuso – teorema di Hahn–Banach –  spazio duale di uno spazio normato – spazi duali degli spazi Lp – spazio biduale – spazi riflessivi – relazioni fra separabilità di uno spazio e separabilità del suo duale – definizione di convergenza debole e di convergenza debole–* – proprietà elementari dei limiti deboli – teorema di Banach-Alaoglu – teoremi di compattezza rispetto alla convergenza debole–* e alla convergenza debole – semicontinuità della norma rispetto alla convergenza debole – cenni sugli spazi uniformemente convessi – convessità e convergenza debole – debole semicontinuità per funzionali convessi – teorema di minimo per funzionali convessi.

2.      Prodotto di convoluzione e trasformata di Fourier

Misure in spazi prodotto: i teoremi astratti di Halmos e Hahn Kolmogorov – teorema di Fubini–Tonelli – prodotto di convoluzione – teorema di Young – supporto della convoluzione – regolarità della convoluzione – successioni approssimanti dell'unità e mollificatori – convergenza in Lp, puntuale e uniforme del prodotto con approssimanti dell'unità – la delta di Dirac come unità del prodotto di convoluzione – lemma fondamentale del calcolo delle variazioni – trasformata di Fourier – teorema di Riemann-Lebesgue – teorema di inversione in L1 – calcolo della trasformata di Fourier di importanti nuclei di convoluzione – comportamento della trasformata rispetto alla derivazione – la trasformata di Fourier nello spazio di Schwartz – trasformata di Fourier in L2: il teorema di Plancherel – Teorema di Riesz Thorin (solo enunciato) e disuguaglianza di Haussdorff-Young.

3.      Introduzione alle distribuzioni

Lo spazio D(Ω) – definizione e prime proprietà delle distribuzioni, ordine di una distribuzione – le funzioni localmente L1 e misure come distribuzioni – derivata distribuzionale – derivata della funzione di Heaviside – P.V. 1/x – teorema di caratterizzazione delle distribuzioni – lemma di Urysohn, partizione dell’unità, supporto di una distribuzione – soluzioni di xT=0 – equazioni differenziali per distribuzioni – lo spazio E(Ω) – teorema di caratterizzazione delle distribuzioni a supporto compatto – convoluzione fra funzioni e distribuzioni e fra distribuzioni – il concetto di soluzione fondamentale – caratterizzazione delle distribuzioni a simmetria radiale – soluzione fondamentale dell'operatore di Laplace – trasformata di Fourier delle distribuzioni temperate – trasformata di Hilbert e teorema di Riesz-Kolmogorov (solo enunciato) – funzioni a crescita lenta – distribuzioni omogenee e soluzione fondamentale dell’operatore poliarmonico – trasformata di Fourier a simmetria radiale – cenni sulle funzioni di Bessel.

4.      Spazi di Sobolev e alcuni problemi variazionali

Completezza, separabilità e riflessività degli spazi di Sobolev – teorema di immersione di Hs(Rn) in C0(Rn) – densità delle funzioni test – disuguaglianza di Poincaré – spazi di Sobolev su intervalli: immersione continua per le funzioni W1,p(I) in L∞(I) – teorema di Ascoli Arzelà e immersione compatta di W1,p(I) in C(I) – teoremi di immersione continua per gli spazi Wm,p (solo enunciati) – cenni su operatori di prolungamento – teoremi di Rellich per spazi Wm,p (solo enunciato) – esponenti critici di immersione e condizioni necessarie – disuguaglianza di Poincaré generalizzata – lo spazio W-m,p’(Ω) come duale di W0m,p (Ω) – alcuni esempi di problemi variazionali ambientati in spazi di Sobolev: problema per -Δ e -Δ +I con condizioni di Dirichlet e di Neumann – un problema nonlineare – gli autovalori del laplaciano – Identità di Pohozaev.

La lista ristretta da cui viene selezionato il primo argomento della prova è riportata di seguito:

Nel caso in cui uno degli argomenti di cui sopra non sia stato trattato durante l'anno in cui il corso è stato seguito, tale informazione va comunicata in sede di esame, prima della prima domanda d'esame.