Programma (2024-25)

(Per il programma degli anni precedenti, visitare questo link)

FUNZIONI REALI

Introduzione ai numeri reali, estremo superiore, retta reale e piano cartesiano, funzioni reali, proprietà e disequazioni. Intervalli, valore assoluto e distanza, continuità, limite, estensione continua e asintoti, limite della composizione, teoremi di confronto, limite della somma e del prodotto, teoremi di Bolzano e di Weierstrass, regolarità delle funzioni monotone, continuità della funzione inversa, funzioni elementari e loro proprietà, limiti notevoli.

CALCOLO DIFFERENZIALE E INTEGRALE

Derivata e interpretazione geometrica e fisica, derivata della somma, del prodotto, della composizione e dell’inversa, derivata delle funzioni elementari, teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy e Lagrange, criterio di monotonia, funzioni derivabili convesse, teorema di de L'Hôpital, confronto fra infiniti e infinitesimi.

Integrale indefinito e sue proprietà, tecniche di integrazione per parti, per sostituzione, di funzioni razionali. Integrali definiti e media integrale per funzioni continue.

Esercizi sullo studio di funzioni. Esercizi sul calcolo di integrali.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE

Equazioni differenziali lineari, esistenza e unicità della soluzione per il problema di Cauchy; equazione di Bernoulli, funzione logistica; equazioni a variabili separabili, dinamica di una popolazione, diffusione di una infezione, modello per la sintesi proteica e le reazioni chimiche, cenni a modelli riconducibili a una equazione differenziale, cinetica di Michaelis-Menten, equazione di Hill, modello SIR.

Esercizi su problemi di Cauchy per equazioni differenziali.

Modalità d'esame

La prova di esame consiste in una prova scritta composta di una parte pratica e di una parte teorica.

La parte pratica consiste nella risoluzione di esercizi volti a valutare la capacità di calcolo acquisita:

1. studio di funzioni

2. calcolo di integrali

3. risoluzione di problemi di Cauchy

La parte teorica consente nell'esposizione di argomenti teorici, quali definizioni, enunciati, esempi, e in particolare dimostrazioni, al fine di valutare la comprensione degli argomenti del corso (consultare il programma del corso).

Enunciati e dimostrazioni possono essere preparati dagli appunti presi a lezione; in alternativa, i principali teoremi possono essere preparati usando il testo consigliato. Qualsiasi altra fonte per enunciati e dimostrazioni potrebbe essere errata, incompleta o inadatta al livello di approfondimento adeguato al corso.

Secondo esonero

Chi ha superato il primo esonero, può partecipare al secondo esonero, che consiste nella prova senza gli esercizi su studi di funzione e calcolo di integrali; pertanto, la prova del secondo esonero riguarderà la risoluzione di problemi di Cauchy (parte pratica) e lo svolgimento delle domande di teoria su tutto il programma (parte teorica), si veda il Syllabus di seguito.