Programma (2023-24)

FUNZIONI REALI

Funzioni continue, grafico di una funzione, insieme immagine e composizione di funzioni, continuità della composizione, funzioni simmetriche, teorema della permanenza del segno, intervalli, valore assoluto e distanza, limiti agli estremi di un intervallo, estensione continua e asintoti, funzioni ristrette, composizione del limite, teoremi del doppio confronto e del confronto, irrazionalità della radice di 2, assiomi dei numeri reali, maggioranti, minoranti, massimo, minimo, esistenza dell’estremo superiore e inferiore, teoremi di esistenza dei valori intermedi e di Weierstrass (solo en.), funzioni monotone, teorema di regolarità delle funzioni monotone, funzioni inverse, continuità della funzione inversa (solo en.).

Funzioni razionali, funzioni elementari: potenza razionale e reale, esponenziale, logaritmica, seno, coseno, tangente, arcoseno, arcocoseno, arcotangente.

Continuità delle funzioni elementari, limiti notevoli di seno e coseno, numero di Nepero (solo en.), limiti notevoli di logaritmo, esponenziale e potenza.

CALCOLO DIFFERENZIALE E INTEGRALE

Derivata e interpretazione geometrica e fisica, formula di Leibniz per la derivata del prodotto, teoremi di derivazione della composizione e della funzione inversa, derivata delle funzioni elementari, teorema di Fermat e controesempi, teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange, criterio di monotonia e di stretta monotonia, funzioni derivabili convesse, concave e punti di flesso, teorema di de L'Hôpital, confronto fra infiniti e infinitesimi.

Proprietà dell’integrale indefinito, teorema della media integrale, formule di integrazione per parti e per sostituzione, integrazione di funzioni razionali.

Esercizi sullo studio di funzioni. Esercizi sul calcolo di integrali.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE

Equazioni differenziali lineari e integrale generale, esistenza e unicità della soluzione per il problema di Cauchy; esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy per l’equazione di Bernoulli, esempio di perdita dell’unicità della soluzione, modello di crescita di una popolazione isolata e di diffusione di una infezione, funzione logistica; esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy per equazioni a variabili separabili, soluzioni implicite ed esplicite, modello per la velocità di una reazione chimica, modello di crescita di una popolazione non isolata, soglia di sopravvivenza.

Esercizi su problemi di Cauchy per equazioni di Bernoulli e a variabili separabili.

Modalità d'esame (fino a dicembre 2024)

La prova di esame consiste in una prova scritta composta di una parte pratica e di una parte teorica.

La parte pratica consiste nella risoluzione di esercizi volti a valutare la capacità di calcolo acquisita:

1. studio di funzioni

2. calcolo di integrali

3. risoluzione di problemi di Cauchy

La parte teorica consente nell'esposizione di argomenti teorici, quali definizioni, enunciati, esempi, e in particolare dimostrazioni, al fine di valutare la comprensione degli argomenti del corso (consultare il programma del corso).

Enunciati e dimostrazioni possono essere preparati dagli appunti presi a lezione; in alternativa, i principali teoremi possono essere preparati usando il testo adottato "Calcolo" di P. Marcellini & C. Sbordone (cliccare QUI). Qualsiasi altra fonte per enunciati e dimostrazioni potrebbe essere errata, incompleta o inadatta al livello di approfondimento adeguato al corso.