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En preparación
En preparación
[9] J. Campos, F. Herrera and C. Montalto, Comparative Analysis of Reconstruction Algorithms in Photoacoustic Imaging.
[8] C. Montalto Una invitación a la imagen fotoacústica.
Publicadas
Publicadas
[7] M. Arefin, C. Montalto, A. Plopski and E. Swan, A SharpView with Enhanced Out-of-Focus Text Legibility for Augmented Reality Systems, IEEE VR (2024). pdf | video
[6] C. Montalto and A. Tamasan, Stability in conductivity imaging from partial measurements of one interior current, Inverse Problems and Imaging, 11 (2017). pdf
[5] S. Acosta and C. Montalto, Photoacoustic imaging taking into account thermodynamic attenuation, Inverse Problems, 32 (2016). pdf
[4] S. Acosta and C. Montalto, Multiwave imaging in an enclosure with variable sound speed, Inverse Problems 31 (2015). pdf
[3] C. Montalto, I. Dorado, D. Aliaga, F. Meng and M. Menezes, A Total Variation Approach for Customizing Imagery to Improve Visual Acuity, ACM Transactions on Graphics 34 (2015) pdf | video
[2] C. Montalto, Stable determination of a simple metric, a co-vector field and a potential from the hyperbolic Dirichlet-to-Neumann map, Comm. Partial Differential Equations 39 (2014) pdf
[1] C. Montalto and P. Stefanov, Stability of Coupled-Physics Inverse Problems with one Internal Measurement, Inverse Problems 29 (2013) pdf
Descripción de Publicaciones Selectas
Imagen Fotoacústica
Imagen Fotoacústica
La imagen fotoacústica en una tecnología de imagen que utiliza el efecto fotoacústico para la generación de imágenes del interior de un cuerpo. Actualmente estamos desarrollando algoritmos que nos permitan implementar el método de imagen fotoacústica en el Laboratorio de Investigación en Ingeniería Biomédica (LIIB). Para más información sobre imagen fotoacústica y su modelación matemática puede consultar el siguiente Iink.
En el artículo [4], en colaboración con Sebastián Acosta, modelamos los sensores acústicos por medio de condiciones de Robin y probamos que se puede recuperar la fuente acústica de manera estable. También en el artículo [5] modelamos la atenuación acústica por medio de una relación termodinámica y probamos que la fuente acústica se puede recuperar de manera estable.
En imagen fotoacústica un haz de luz se envía al cuerpo, esta energía es absorbida y trasformada en ondas acústicas por medio del efecto termoacústico. Las ondas se miden con transductores acústicos y la información se utiliza para hacer imágenes internas del objeto.
Imagen de la Densidad de Impedancia Eléctrica
Imagen de la Densidad de Impedancia Eléctrica
El problema de recuperar la conductividad de un cuerpo utilizando únicamente la información del voltaje en la superficie se conoce como el problema de Calderón y se sabe que hay obstrucciones (difeomorfísmos que fijan la frontera del cuerpo) para la unicidad del problema. Más aún, módulo estas obstrucciones, la recuperación de la conductividad tiene estabilidad logarítmica lo cual hace que cualquier método de recontrucción sea muy impreciso a nivel numérico.
La idea del método de Imagen de Densidad de Corriente (CDII por sus sigles en inglés) es utilizar una resonancia magnética para medir la densidad de corriente en el interior del cuerpo cuando se hace la aplicación del voltaje en la superficie. Esta información adicional elimina las obstrucciones de unicidad en la reconstrucción de la conductividad y mejorar significativamente la estabilidad en la reconstrucción.
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En el artículo [1] en colaboración con Plamen Stefanov probamos la estabilidad Hölder de este método utilizando solamente una aplicación de voltaje. En el artículo [6] junto con Alexandru Tamasan generalizamos el resultado anterior cuando solo tenemos datos parciales del voltaje y de la densidad de corriente.
A las personas interesadas en el problema de Calderón les recomiendo la monografía de Gunther Uhlmann, Electrical Impedance Tomography and Calderon's Problem. Para conocer más del método de CDII les recomiendo el artículo resumen de Adrian Nachmann, Alezandru Tamasan y Alexander Timonov, Current Density Impedance Imaging .
En el método de CDII se le ponen electrodos al paciente en la zona que se desea iluminar la conductividad y se le toman imágenes de resonancia magnética.
Imagen tomada del Sitio Web de Alexandru Tamasan
Stabilidad Inversa de la Ecuación Hiperbólica
Stabilidad Inversa de la Ecuación Hiperbólica
¿Qué tienen en común la luz, el sonido, una cuerda de guitarra, el flujo del agua, la suspensión de carro y un terremoto? Todos estos fenómenos son procesos vibratorios que se pueden modelar por medio de ondas. El estudio de las ecuaciones hiperbólicas y el estudio matemático de las ondas son, en escencia, lo mismo (esta es una razón de mi apego por la ecuaciones hiperbólicas).
Considere el ejemplo de un terremoto que produce ondas que se propagan por el interior y por la superficie de la tierra. Muchas ondas que llegan a la superficie de la tierra han viajado miles de kilómetros y tienen información de la estructura interna de la tierra. El problema inverso de la ecuación hiperbólica, en este caso, consiste en entender matemáticamente qué información es posible recuperar y cuál no, de las mediciones que podemos realizar en la superficie. Por ejemplo, ¿podríamos conocer si hay algún manto acuífero cerca o una reserva de minerales?
En esta formulación tan general, la respuesta al problema es aún incierta, sin embargo si refinamos un poco la pregunta y decimos, por ejemplo, que queremos recuperar la métrica (i.e., la geometría) de la tierra del conocimiento de la posición y la velocidad de la onda en la superficie (esta información está matemáticamente codificada en el mapeo de Dirichlet a Neumann). Entonces la respuesta a esta pregunta es negativa ya que todo difeomorfismo que fije la frontera no va a cambiar la posición, ni velocidad de la onda en la superficie, pero si puede cambiar la geometría interna.
Ahora bien ¿qué es en difeomorfísmo?, abusando un poco del lenguaje digamos que un difeomorfísmo es una transformación que deforma de manuera suave la geometría de un objeto. En la siguiente figura se ilustra un ejemplo de un difeomorfísmo que fija la frontera y modifica el interior de un cuadrado dos dimensional. Este tipo de difeomorfísmos se conocen como restricciónes naturales al problema inverso.
Difeomorfísmo. Un difeomorfismo es una función tal que ella y su inversa son diferenciables. En la imagen se observa un difeomorfismo del cuadrado unitario en sí mismo. Este difeomorfismo fija todos los puntos de la frontera del cuadrado.
En estos casos, muchos abandonarían el problema con una respuesta insatisfactoria y dirían que es imposible recuperar la geometría de la información de la onda en la frontera, sin embargo los matemáticos somos profundamente curiosos y nos preguntamos si podemos, al menos, recuperar una imagen difeomorfa de la geometría interna. O dicho de otra manera, si estos difeomorfismos que fijan la frontera son las únicas restricciones al problema. Resulta que la respuesta a esta última pregunta es parcialmente afirmativa, si bien no se pueden recuperar todo tipo de geometrías, sí una subclase de métricas que se llaman genéricas simples. Más aún, en la exploración del problema se logra probar que la información de las ondas en la superficie no solo contienen información de la métrica, sino también de otro tipo de invariantes geométricos, pero para poder enunciar el resultado de manera precisa nos vemos obligados a introducir cierta notación matemática.
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En 1992 M. Belishev y Y. Kurylev utilizando el método de control de frontera (BC method) probaron que la métrica g, el campo covector b y el potencial q se pueden recuperar de la información del mapeo de Dirichlet a Neumann (módulo las restricciones naturales). La prueba asumía de manera escencial la propiedad de continuación única para la ecuación hiperbólica, la cual fue posteriormente probada por D. Tataru en 1995. La propiedad de continuación única es muy efectiva para garantizar la unicidad del problema, pero no permite estimar el error en la recuperación y por lo tanto es poco probable que se puedan obtener resultados de estabilidad con este método.
En el 2005, P. Stefanov y G. Uhlmann utilizando su reciente resultado de estabilidad del problema de frontera rígida mostraron que las métricas genéricas simples (ver Definición 3 en publicación [5]) se pueden recuperar con estabilidad Hölder. Siguiendo las ideas presentadas en este último resultado, en el artículo [2] probé que tanto la métricas genéricas simples, como el campo covector y el potencial se pueden recuperar con estabilidad Hölder. Una consecuencia bonita de la prueba es que se muestra que el mapeo de Dirichlet a Neumann tiene la información de la Transformada de Rayos Xs del campo covector b y el potencial q, los cuales son invariantes geométricos. Han habido avances en el entendimiento de este problema inverso, sin embargo la comprensión profunda de la información contenida en el mapeo Dirichlet a Neumann sigue siendo un problema abierto.
Precorrección de Imágenes
Precorrección de Imágenes
El problema de precorreción de imágenes consiste en procesar imágenes para mejorar sus propiedades visuales a individuos que tengan problemas de vista. La imagen se puede personalizar para problemas visuales que se puedan modelar por medio de convolución, e.g., miopía, astigmatismo, hipermetropía y prescbicia.
En el artículo [3] en colaboración con Ignacio García-Dorado, Daniel Aliaga, Manuel Oliveira y Feng Meng introdujimos un método de optimización para obtener imágenes precorregidas. Nuestra idea se basa en optimizar una preconvolución en norma L2 para garantizar que la imagen se parezca a la original al ser observada y añadirle un término de regularización de variación total con el objetivo de controlar las oscilaciones características de la preconvolución. Una ventaja del métodos es que no necesita modificaciones de hardware y las imágenes procesadas se puede sobreponer en objetos tridimensionales. Los resultados se validaron por medio de simulaciones numéricas, fotografías y estudios visuales con humanos no entrenados.
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