2023年度同志社大学線形代数

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授業内容

1. 第1回（4月13日）ガイダンス、行列の導入

2. 第2回（4月20日）行列の定義、行列の演算、演算の法則

3. 第3回（4月27日）基本変形、階段行列と簡約な行列、行列の簡約化

4. 第4回（5月11日）連立１次方程式の解、逆行列

5. 第5回（5月18日）順列の符号、行列式の定義、行列式の性質１と計算

6. 第6回（5月25日）行列式の性質２、余因子展開

7. 第7回（6月1日）余因子行列と逆行列、クラーメルの公式

8. 第8回（6月8日）数ベクトル空間と部分空間、ベクトルの１次独立性

9. 第9回（6月15日）ベクトル空間の基底と次元、基底の変換と座標変換

10. 第10回（6月22日）ベクトルの内積と外積、正規直交基底

11. 第11回（6月29日）線形写像の定義、線形写像の像と核

12. 第12回（7月6日）線形写像の表現行列、直交変換

13. 第13回（7月13日）固有値と固有ベクトル

14. 第14回（7月20日）行列の対角化、対称行列の対角化

15. 第15回（7月27日）まとめ期末試験

配布物

確認問題

第1回（4月13日）ガイダンス、行列の導入

1. 担当教員の名前は中安淳である。 -> 正しい

2. 連立一次方程式の解は定数ベクトルに係数行列の逆行列をかけることで得られる。 -> 正しい

3. 行列を対角化することができると行列のn乗を容易に計算することができる。 -> 正しい

4. 回転行列R(θ)のn乗は回転行列R(nθ)である。 -> 正しい

第2回（4月20日）行列の定義、行列の演算、演算の法則

1. 対角行列とは対角成分以外の成分が全て0の正方行列である。 -> 正しい

2. m×r行列とr×n行列の積はm×n行列である。 -> 正しい

3. r次列ベクトルとr次行ベクトルの積はr次の正方行列である。 -> 正しい

4. 行列の積において交換法則は一般には成り立たない。 -> 正しい

第3回（4月27日）基本変形、階段行列と簡約な行列、行列の簡約化

1. 連立１次方程式と拡大係数行列は対応しあう。 -> 正しい

2. n次の単位行列は簡約な行列でありその階数はnである。 -> 正しい

3. どんな行列に対しても行基本変形によって変形の順序によらず決まった簡約な行列が得られる。 -> 正しい

4. すべての成分が1であるような行列の階数は1である。 -> 正しい

第4回（5月11日）連立１次方程式の解、逆行列

1. 連立１次方程式の解はただ一つ存在するか無数に存在するか存在しないかの３パターンである。 -> 正しい

2. 同次連立１次方程式を解く時は絶対に係数行列ではなく拡大係数行列を簡約化しなければならない。 -> 正しくない

3. 逆行列はどんな行列に対しても存在するとは限らない。 -> 正しい

4. 行列[A E]を簡約化して行列[E B]になったとするとBがAの逆行列である。 -> 正しい

第5回（5月18日）順列の符号、行列式の定義、行列式の性質１と計算

1. 2次と3次の正方行列の行列式にはサラスの方法という覚え方がある。 -> 正しい

2. ある行をc倍すると行列式の値もc倍になる。 -> 正しい

3. ある行と別の行を入れ替えると行列式の値は-1倍になる。 -> 正しい

4. ある行に別の行のc倍を加えても行列式の値は変わらない。 -> 正しい

第6回（5月25日）行列式の性質２、余因子展開

1. 正方行列Aの転置の行列式はAの行列式に等しい。 -> 正しい

2. 正方行列A, Bの積の行列式はA, Bの行列式の積に等しい。 -> 正しい

3. 正方行列A, Bに対してdet(AB)=det(BA)が成り立つ。 -> 正しい

4. 正則行列Aの逆行列の行列式はAの行列式の逆数に等しい。 -> 正しい

第7回（6月1日）余因子行列と逆行列、クラーメルの公式

1. ある正方行列の逆行列はその行列の余因子行列と行列式で記述される。 -> 正しい

2. 正方行列が正則であるための必要十分条件は行列式が0でないことである。 -> 正しい

3. 正方行列Aに対しAX=Eとなる正方行列Xが存在したらそれはAの逆行列である。 -> 正しい

4. 連立１次方程式の解についてクラーメルの公式があるので、簡約化による方法は忘れてよい。 -> 正しくない

第8回（6月8日）数ベクトル空間と部分空間、ベクトルの１次独立性

1. ベクトル空間とは和とスカラー倍の構造を持った集合のことである。 -> 正しい

2. 数ベクトル空間の部分空間は必ず元の空間の零ベクトルを元として持つ。 -> 正しい

3. 与えれたいくつかのベクトルの１次結合全体は部分空間をなす。 -> 正しい

4. 同次連立１次方程式の解全体は数ベクトル空間の部分空間をなす。 -> 正しい

第9回（6月15日）ベクトル空間の基底と次元、基底の変換と座標変換

1. ベクトル空間Vの基底とは１次独立であってVを生成するVのベクトルの組である。 -> 正しい

2. 零空間でないベクトル空間には基底となるベクトルの組がただ一つだけ存在する。 -> 正しくない

3. 生成される部分空間の次元を求めるには行列の階数を計算すればよい。 -> 正しい

4. ベクトル空間の基底から別の基底への変換行列は正則行列である。 -> 正しい

第10回（6月22日）ベクトルの内積と外積、正規直交基底

1. 二つのベクトルの内積が0である時、それらは直交するという。 -> 正しい

2. 正規直交基底を並べて得られる行列は直交行列である。 -> 正しい

3. 直交行列は常に正則で、逆行列はもとの行列の転置行列に等しい。 -> 正しい

4. 2次の直交行列の例として回転行列がある。 -> 正しい

第11回（6月29日）線形写像の定義、線形写像の像と核

1. 線形写像とはベクトル空間の和とスカラー倍を保つ写像である。 -> 正しい

2. 一次式の関数f(x)=kx+lは常に線形写像である。 -> 正しくない

3. 行列を左からかけるという規則は数ベクトル空間上の線形写像を定める。 -> 正しい

4. 同次連立１次方程式の解空間の次元を求めるには係数行列の階数を計算するとよい。 -> 正しい

第12回（7月6日）線形写像の表現行列、直交変換

1. 線形写像には表現行列が定まり、これは基底の取り方によらない。 -> 正しくない

2. 線形変換の表現行列は基底の変換をしても不変である。 -> 正しくない

3. 直交変換は線形変換の中でも内積を保つもので、例として回転などがある。 -> 正しい

4. 直交行列が定める線形変換が直交変換である。 -> 正しい

第13回（7月13日）固有値と固有ベクトル

1. 固有ベクトルは固有値ごとに変わるものである。 -> 正しい

2. 固有値を求めるには固有多項式を計算して固有方程式を解くとよい。 -> 正しい

3. 正方の零行列の固有値は0のみで、単位行列の固有値は1のみである。 -> 正しい

4. n次正方行列を対角化できるためには全ての固有空間の次元を足し合わせてnになることが必要である。 -> 正しい

第14回（7月20日）行列の対角化、対称行列の対角化

1. 対称行列は必ず対角化できる。 -> 正しい

2. 対称行列の固有値は全て実数である。 -> 正しい

3. 成分が全て1である正方行列は直交行列で対角化される。 -> 正しい

4. 二次形式は直交行列を使った変数変換により標準形にすることができる。 -> 正しい

第15回（7月27日）期末試験

1. 問題１は連立１次方程式に関する問題であった。 -> 正しい

2. 問題２は行列式に関する問題であった。 -> 正しい

3. 問題３はベクトル空間の次元に関する問題であった。 -> 正しい

4. 問題４は固有値と固有ベクトルに関する問題であった。 -> 正しい