(I numeri si riferiscono ai paragrafi del libro ‘’Elementi di Analisi Matematica 1’’,
di P. Marcellini e C. Sbordone)
1) I NUMERI E LE FUNZIONI REALI
Cenni di teoria degli insiemi (4). Numeri naturali, interi e razionali. (5) Addizione e moltiplicazione e loro proprietà . Ordinamento e sue proprietà . Densità dei razionali. Irrazionalità di radice di 2.
Assiomi dei numeri reali: assioma di completezza (2). Intervalli aperti e chiusi.
Concetto di funzione e sua rappresentazione cartesiana (6). Esempi: funzioni lineari, quadratiche. Funzione valore assoluto: disuguaglianza triagolare (8)
Composizione di funzioni. Funzioni invertibili (8). Funzioni iniettive, suriettive, biettive, invertibili, monotone (7).
Iniettività delle funzioni strettamente monotone (7). Funzioni pari e dispari. Potenze e loro proprietà (9).
Esponenziale e logaritmo (9). Seno e coseno (10). Tangente, arcoseno e arcotangente (10).
Principio di induzione (11).
Massimo, minimo, estremo superiore (12).
2) LIMITI DI SUCCESSIONI
Limiti di successioni: definizione (17). Unicita' del limite (17). Successioni limitate. Limitatezza delle successioni convergenti (18). Operazioni con i limiti (19). Forme indeterminate (20). Teoremi di confronto (21).
Prodotto di una successione limitata per una infinitesima (22).
Alcuni limiti notevoli (23). Successioni monotone (24). Il numero e (25). Criterio del rapporto per le successioni, infiniti di ordine crescente (26).
3) LIMITI DI FUNZIONI. FUNZIONI CONTINUE
Limite di funzioni. Definizione ed esempi (30).
Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni (31). Funzioni continue (33).
Punti di discontinuità (34).
Teoremi sulle funzioni continue: Teorema della permanenza del segno, Teorema dell'esisteza degli zeri e dei valori intermedi, Teorema di Weierstrass. (35 e 36)
Definizione di serie e convergenza. Serie geometrica. Definizioni delle funzioni elementari tramite serie (argomento che verrà ripreso successivamente, con maggior rigore, quando faremo le serie di potenze). Concetto di O grande.
Limiti con Taylor.
4) DERIVATE
Definizione di derivata (40). Significato geometrico: retta tangente (44).
Operazioni con le derivate (41). Derivata della composizione (42).
Derivate delle funzioni elementari (43,45).
Derivata della funzione inversa(42).
5) APPLICAZIONI DELLE DERIVATE. STUDIO DI FUNZIONI
Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat (46). Teoremi di Rolle e Lagrange (47).
Funzioni crescenti e decrescenti (48). Funzioni convesse e concave (49). Studio del grafico di funzioni (51).
Teorema di de l'Hopital (50). Formula di Taylor: prime proprietà (51).
6) INTEGRALI INDEFINITI
Integrali indefiniti e primitive (68): definizione e integrali delle funzioni elementari. Integrale per parti (72) e per sostituzione (73).
Integrali indefiniti: sostituzioni per le funzioni contenenti radicali o funzioni trigonometriche
7) INTEGRALI DEFINITI
Integrali definiti . Integrabilita' secondo Riemann. Linearita' e additivita' rispetto all'intervallo. (62 e 63)
Teorema del confronto degli integrali. Funzioni continue e uniformemente continue: teorema di Cantor (senza dimostrazione)(65). Integrabilita' delle funzioni continue (66). Primo teorema della media, secondo teorema della media(64) .
Teorema fondamentale del calcolo dell'integrale (67), formula fondamentale del calcolo (68)
Integrali impropri, criterio del confronto (75).
8) SERIE
Serie: definizioni e convergenza. Serie geometrica e armonica. (82-85)
Serie: criterio della convergenza assoluta, criterio del confronto, criterio del confronto asintotico, criterio della radice, criterio del rapporto, criterio del confronto con l€™integrale(86)
9) COMPLEMENTI: SERIE DI FUNZIONI E NUMERI COMPLESSI
Serie di funzioni: convergenza puntuale e totale.
Teorema: se una serie di funzioni continue converge totalmente allora la somma e' una funzione continua. Teoremi sullo scambio di serie e integrale/derivata.
Serie di potenze e raggio di convergenza
Numeri complessi. Rappresentazione polare. Esponenziale complesso.
Serie di Taylor e funzioni analitiche (anche sui complessi), funzioni infinitamente derivabili.
Polinomi trigonometrici reali e complessi
Coefficienti di Fourier
Convergenza della serie di Fourier