I numeri si riferiscono ai capitoli e ai paragrafi del libro "Calcolo" di P. Marcellini e C. Sbordone, Ed. Liguori 1992.
Tutti i teoremi si intendono con dimostrazione (eccetto dove espressamente indicato).
1) I numeri e le funzioni reali
Numeri naturali, interi e razionali. (5) Somma e prodotto e loro proprietà . Ordinamento e sue proprietà . Densità dei razionali. Irrazionalità di radice di 2.
Cenni di teoria degli insiemi (4). Assiomi dei numeri reali: assioma di completezza (2).
Concetto di funzione e sua rappresentazione cartesiana (6,7). Funzioni iniettive e suriettive, funzioni monotone (8). Esempi: funzioni lineari, quadratiche, pari e dispari (9).
Funzioni invertibili (8). Composizione di funzioni. Funzione valore assoluto: disuguaglianza triagolare (9). Principio di induzione (13).
Fattoriale e binomiale, disposizioni e combinazioni (19). Binomio di Newton (20).
2) Complementi ai numeri reali
Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore (15).
7) Limiti di successioni
Limite di successioni (57).
Successioni limitate (58), operazioni con i limiti (59) e forma indeterminate (60).
Teorema della permanenza del segno e Teorema dei carabinieri (61). Limite del prodotto di una successione infinitesima per una limitata (62). Successioni monotone (64) e Teorema sulle successioni monotone (80); il numero e (65).
Criterio del rapporto per le successioni e infiniti di ordine crescente (67).
9) Complementi ai limiti
Successioni estratte. Il Teorema di Bolzano-Weierstrass (81).
8) Limiti di funzioni. Funzioni continue
Limiti di funzioni: definizione (72).
Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni: il ''Teorema ponte'' (78).
Operazioni coi limiti di funzioni, limiti di funzioni composte (73). Funzioni continue (74). Continuità dei polinomi e dei quozienti di polinomi. Funzioni seno, coseno e tangente (11).
Teoremi della permanenza del segno e dell'esistenza degli zeri (76).
Limite notevole di sin x/x.
Teorema dell'esistenza dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass sui max e min. Criterio di invertibilità delle funzioni continue monotone (76,82).
10) Derivate
Definizione di derivata e operazioni con le derivate (90).
Derivata delle funzioni composte e inverse (91).
Funzioni elementari e loro derivate (92, 94).
11) Applicazioni delle derivate. Studio di funzioni
Massimi e minimi relativi, Teorema di Fermat (95). Teoremi di Rolle e Lagrange (96).
Funzioni crescenti e decrescenti e criterio di monotonia tramite la derivata (97).
Derivata seconda, funzioni concave e convesse (98).
Teorema di de L'Hopital (99). Formula di Taylor (101).
Studio del grafico di una funzione (100).
14) Integrazione secondo Riemann
Funzioni uniformemente continue. Teorema di Cantor (119).
Integrale di Riemann: definizione (117). Addittività rispetto all'intervallo, linearità , confronto.
Integrabilità delle funzioni continue, teoremi della media (120).
15) Integrali indefiniti
Il teorema fondamentale del calcolo (123). Primitive, formula fondamentale del calcolo (124).
L'integrale indefinito (125). Integrale per parti (128).
Integrale per sostituzione (129).
Integrale delle funzioni razionali (127).
Integrazione delle funzioni razionali di seno e coseno.
Integrali impropri e criterio del confronto (132).
16) Formula di Taylor
Formula di Taylor col resto integrale (137). Stima del resto (139).
Calcolo approssimato di funzioni tramite la formula di Taylor (136).
17) Serie
Serie convergenti, divergenti e indeterminate (141). Serie geometrica (143).
Condizione necessaria per la convergenza di una serie (la successione che si somma deve essere infinitesima)(141). Le serie a termini non negativi non possono essere indeterminate (142). Criterio del confronto (145) e del confronto con l'integrale.
Una serie assolutamente convergente è convergente (147). Criteri della radice e del rapporto (145).
Criterio di Leibniz per le serie alternate (146).
Complementi
Serie di potenze e raggio di convergenza.
Teorema sulla derivazione delle serie di potenze.
Definizione delle funzioni elementari tramite serie di potenze.
Numeri complessi: coniugato, modulo, rappresentazione polare. Formula di Eulero (dimostrata tramite gli sviluppi in serie) (23).
Formula di Stirling. Dimostrazione di una sua versione semplificata.
Con riferimento al programma di cui sopra, ecco i 7 punti per l'orale.
All'inizio dell'orale verranno sorteggiati 2 punti e l'esaminando ne sceglierà uno su cui sarà interrogato.
1) I numeri e le funzioni reali. Complementi ai numeri reali
Numeri naturali, interi e razionali. (5) Somma e prodotto e loro proprietà . Ordinamento e sue proprietà . Densità dei razionali. Irrazionalità di radice di 2.
Cenni di teoria degli insiemi (4). Assiomi dei numeri reali: assioma di completezza (2).
Concetto di funzione e sua rappresentazione cartesiana (6,7). Funzioni iniettive e suriettive, funzioni monotone (8). Esempi: funzioni lineari, quadratiche, pari e dispari (9).
Funzioni invertibili (8). Composizione di funzioni. Funzione valore assoluto: disuguaglianza triagolare (9). Principio di induzione (13).
Fattoriale e binomiale, disposizioni e combinazioni (19). Binomio di Newton (20).
Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore (15).
2) Limiti di successioni. Complementi ai limiti
Limite di successioni (57).
Successioni limitate (58), operazioni con i limiti (59) e forma indeterminate (60).
Teorema della permanenza del segno e Teorema dei carabinieri (61). Limite del prodotto di una successione infinitesima per una limitata (62). Successioni monotone (64) e Teorema sulle successioni monotone (80); il numero e (65).
Criterio del rapporto per le successioni e infiniti di ordine crescente (67).
Successioni estratte. Il Teorema di Bolzano-Weierstrass (81).
3) Limiti di funzioni. Funzioni continue
Limiti di funzioni: definizione (72).
Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni: il ''Teorema ponte'' (78).
Operazioni coi limiti di funzioni, limiti di funzioni composte (73). Funzioni continue (74). Continuità dei polinomi e dei quozienti di polinomi. Funzioni seno, coseno e tangente (11).
Teoremi della permanenza del segno e dell'esistenza degli zeri (76).
Limite notevole di sin x/x.
Teorema dell'esistenza dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass sui max e min. Criterio di invertibilità delle funzioni continue monotone (76,82).
4) Derivate. Applicazioni delle derivate. Studio di funzioni
Definizione di derivata e operazioni con le derivate (90).
Derivata delle funzioni composte e inverse (91).
Funzioni elementari e loro derivate (92, 94).
Massimi e minimi relativi, Teorema di Fermat (95). Teoremi di Rolle e Lagrange (96).
Funzioni crescenti e decrescenti e criterio di monotonia tramite la derivata (97).
Derivata seconda, funzioni concave e convesse (98).
Teorema di de L'Hopital (99). Formula di Taylor (101).
Studio del grafico di una funzione (100).
5) Integrazione secondo Riemann. Integrali indefiniti. Formula di Taylor
Funzioni uniformemente continue. Teorema di Cantor (119).
Integrale di Riemann: definizione (117). Addittività rispetto all'intervallo, linearità , confronto.
Integrabilità delle funzioni continue, teoremi della media (120).
Il teorema fondamentale del calcolo (123). Primitive, formula fondamentale del calcolo (124).
L'integrale indefinito (125). Integrale per parti (128).
Integrale per sostituzione (129).
Integrale delle funzioni razionali (127).
Integrazione delle funzioni razionali di seno e coseno.
Integrali impropri e criterio del confronto (132).
Formula di Taylor col resto integrale (137). Stima del resto (139).
Calcolo approssimato di funzioni tramite la formula di Taylor (136).
6) Serie
Serie convergenti, divergenti e indeterminate (141). Serie geometrica (143).
Condizione necessaria per la convergenza di una serie (la successione che si somma deve essere infinitesima)(141). Le serie a termini non negativi non possono essere indeterminate (142). Criterio del confronto (145) e del confronto con l'integrale.
Una serie assolutamente convergente è convergente (147). Criteri della radice e del rapporto (145).
Criterio di Leibniz per le serie alternate (146).
7) Complementi
Serie di potenze e raggio di convergenza.
Teorema sulla derivazione delle serie di potenze.
Definizione delle funzioni elementari tramite serie di potenze.
Numeri complessi: coniugato, modulo, rappresentazione polare. Formula di Eulero (dimostrata tramite gli sviluppi in serie) (23).
Formula di Stirling. Dimostrazione di una sua versione semplificata.