Una derivada enèsima

Una derivada enèsima

Fa poc em van preguntar pel següent exercici, proposat a un llibre de 2n de Batxillerat:

"Troba les tres primeres derivades de la funció arrel cúbica de x i intenta trobar una fórmula per a la derivada enèsima".

Aparentment és un problema ben fàcil, però al cap d'una estona vaig comprovar que no era tan inofensiu. Si ens hi posem veurem que surt:

f'(x)=1/3 x^(-2/3)

f''(x)=-2/9 x^(-5/3)

f'''(x)=10/27 x^(-8/3)

No hi ha problemes per trobar una fórmula general perquè els denominadors són de la forma 3^n multiplicat per l'arrel cúbica de x elevat a un exponent que surt d'una successió aritmètica de la forma 3n-1. El problema són els numeradors, que segueixen la successió:

{1,2,10,80,880,...}

que no és ni aritmètica ni geomètrica.

Quan ens trobem amb successions que no coneixem gaire, va molt bé consultar la pàgina The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, que en aquest cas ens parla de "triple factorial numbers", que es poden expressar mitjançant un producte.

Us deixo l'enllaç amb la solució completa, on podreu veure tots els detalls.

• Una derivada enèsima