Terme general de la successió de Fibonacci

Terme general de la successió de Fibonacci

En aquest document vull donar una idea del que he trobat com un fet sorprenent: que en el terme general d’una successió com la de Fibonacci, de nombres naturals, hi aparegui un nombre irracional.

Leonardo Pisano, més conegut com Fibonacci, va ser un dels matemàtics més destacats de l'Edat Mitjana. Fibonacci va escriure obres de geometria, àlgebra i teoria de nombres, de la que fou un pioner, però la més coneguda tracta sobre el càlcul. El Liber abaci, publicat el 1202, té un títol enganyós, una espècie d'ironia, perquè justament en ell es mira de demostrar els avantatges de les xifres àrabs per al càlcul vers els mètodes habituals a la Itàlia de l'època, on els abacistes feien servir l'àbac i els vells nombres romans.

A més de l'ús de les xifres i dels mètodes de càlcul, el Liber abaci aborda la teoria de nombres (descomposició en factors primers, criteris de divisibilitat...), conté problemes d'àlgebra de primer grau i parla de comptabilitat mercantil. Però el problema més conegut del llibre és el famós problema dels conills, la solució del qual és el que avui dia coneixem per la successió de Fibonacci.

El problema està enunciat de la següent forma: quantes parelles de conills tindrem a final de l'any si comencem amb una parella que produeix cada mes una altra parella que procrea a la vegada als dos mesos de vida?

Per a resoldre el problema, Fibonacci va fer una taula, que nosaltres podem veure com a successió: cada terme és el nombre de parelles que hi ha al mes n.

{1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...}

Aquesta és una successió que s'anomena recurrent, on cada terme es pot obtenir sumant els dos termes anteriors. Però i si volem el terme que fa 100? Haurem de trobar els termes 99 i 98, i per a trobar aquests, els termes 97, 96, etc. fins al primer? Doncs la resposta, afortunadament, és no. És possible trobar un terme general d'aquesta successió que només depengui del lloc que ocupi el terme que volem calcular.

I la fórmula és la següent:

on "phi" és el nombre d'or, un nombre irracional, que és el que fa curiós aquest resultat. Una fórmula que conté nombres irracionals, ens dóna tots els termes (naturals) de la successió de Fibonacci.

Podeu veure tots els detalls en el següent pdf:

• Terme general de la successió de Fibonacci