Quadrats perfectes i divisors

Quadrats perfectes i nombre de divisors

L'altre dia em van deixar anar el següent comentari:

"Un quadrat perfecte té un nombre imparell de divisors."

Immediatament vaig pensar que això no era trivial i que calia pensar-hi amb una mica més de calma. Està clar que un nombre primer només té 2 divisors, l'1 i ell mateix. Aleshores el quadrat d'un primer tindrà 3 divisors: l'1, el primer, i el quadrat d'aquest primer.

Div(25)={1,5,25}

Div(49)={1,7,49}

Perfecte, sembla que funciona. Ja es compleix l'afirmació per infinits nombres. Però no n'hi ha prou. Mirem altres quadrats:

Div(36)={1,2,3,6,12,18,36}

Div(64)={1,2,4,8,16,32,64}

Aquests no són primers però són quadrats perfectes i també funciona. És clar, però, que aquesta comprovació no és cap demostració. De seguida vaig pensar si l'afirmació era recíproca, és a dir, si qualsevol nombre amb un nombre imparell de divisors és un quadrat perfecte. Això tampoc és gens intuïtiu, i és el que em va decidir a intentar demostrar-ho.

La resposta és afirmativa. És més, podem dir el següent:

"Un nombre és quadrat perfecte si i només si té un nombre imparell de divisors"

Deixo aquí el document pdf amb la demostració amb tots els detalls.

Aquest resultat pot ser d'utilitat no només a nivell universitari, sinó que es pot aplicar en problemes com ara el problema de les portes (2n ESO), del qual parlaré més endavant, i que diu el següent:

"Un hotel té 100 habitacions numerades de l'1 al 100. Al matí totes les portes són tancades i el vigilant número 1 passa i les obre totes. Llavors passa el vigilant número 2 i tanca les portes múltiples de 2. Després passa el vigilant número 3 i canvia les portes múltiples de 3: si estaven obertes les tanca i si estaven tancades les obre. Així successivament amb tots els vigilants fins al vigilant número 100. La pregunta és: quines portes quedaran obertes després de passar el vigilant número 100?"