Poliedros I

exposicion poliedros 1 grupo 4.mp3

Un poliedro es una figura tridimensional limitada por varios planos que intersectan en el espacio. Existen dos tipos:

Sólidos platónicos: son los que tienen todas las caras iguales. Veremos algunas generalidades de estos:

Caras, aristas y vértices: El polígono definido por las intersecciones de cada plano con otros planos, es una cara del poliedro.

El segmento común a dos caras es una arista del poliedro. Los puntos donde se juntan tres o más aristas son los vértices del poliedro.

Ángulos: Cada cara tiene tantos ángulos superficiales (ángulos planos) como aristas la limitan.

En cada arista, dos caras forman entre sí un ángulo diedro.

En cada vértice hay un ángulo sólido formado por todas las caras que lo definen.

Un poliedro convexo es aquel en el que, uniendo con un segmento dos puntos superficiales cualquiera, todos los puntos intermedios están dentro del poliedro o en la superficie.

La especie de una cara poligonal es el número de lados o vértices que tiene.

El orden de un ángulo sólido es la sucesión ordenada de las especies de las caras que lo forman.

En un poliedro regular se cumple lo siguiente: En un poliedro regular se cumplen las siguientes condiciones:

* Las caras son polígonos regulares, todas iguales y de la misma especie.

* Todas las aristas miden lo mismo.

* Todos los ángulos superficiales, ángulos diedros y ángulos sólidos son iguales y del mismo orden.

* Existe un centro geométrico, único para tres esferas:

-Esfera inscrita, que toca todas las caras en sus puntos centrales.

-Esfera media, que pasa por los puntos medios de todas las aristas.

-Esfera circunscrita, que pasa por todos los vértices.

Sólidos arquimedianos: Son los formados por dos o tres polígonos regulares.

No tienen esfera inscrita, pero conservan la media y la circunscrita. Pueden construirse a partir de los regulares mediante algún tipo de modificación, como el Truncamiento o la ablación. El truncamiento de un vértice supone seccionar el poliedro con un plano perpendicular al radio correspondiente. El truncamiento de una arista se hace también con un plano perpendicular al radio de la circunferencia media que une el centro del poliedro con el punto medio de la arista. Los poliedros semirregulares obtenidos por truncamiento conservan los ejes y planos de simetría de los regulares.

A polyhedron is a three-dimensional figure bounded by several intersecting planes in space. There are two types:

Platonic solids: are those that have all the same faces. We will see some generalities of these:

Faces, edges and vertices: The polygon defined by the intersections of each plane with other planes is a face of the polyhedron.

The common two-sided segment is an edge of the polyhedron. The points where three or more edges meet are the vertices of the polyhedron.

Angles: Each face has as many surface angles (plane angles) as edges limit it.

On each edge, two faces form a dihedral angle with each other.

At each vertex there is a solid angle formed by all the faces that define it.

A convex polyhedron is one in which, joining any two surface points with a segment, all intermediate points are inside the polyhedron or on the surface.

The species of a polygonal face is the number of sides or vertices it has.

The order of a solid angle is the ordered succession of the species of the faces that form it.

In a regular polyhedron the following is true: In a regular polyhedron the following conditions are met:

* The faces are regular polygons, all equal and of the same species.

* All edges measure the same.

* All surface angles, dihedral angles and solid angles are equal and of the same order.

* There is a unique geometric center for three spheres:

-Inscribed sphere, which touches all faces at their central points.

-Middle sphere, which passes through the midpoints of all edges.

-Circumscribed sphere, passing through all vertices.

Archimedean solids: They are formed by two or three regular polygons.

They do not have an inscribed sphere, but they retain the mean and circumscribed spheres. They can be built from regular ones by some sort of modification, such as Truncation or Ablation. The truncation of a vertex involves sectioning the polyhedron with a plane perpendicular to the corresponding radius. The truncation of an edge is also done with a plane perpendicular to the radius of the median circle that joins the center of the polyhedron with the midpoint of the edge. The semiregular polyhedrons obtained by truncation preserve the axes and planes of symmetry of the regular ones.