KEGIATAN BELAJAR 3 

ROTASI (PERPUTARAN)

A. Tujuan Pembelajaran 

Setelah kegiatan pembelajaran 3 ini, peserta didik diharapkan dapat : 

1. Memahami tentang pengertian rotasi. 

2. Menentukan rotasi titik terhadap pusat (0, 0) 

3. Menentukan rotasi kurva terhadap pusat (0, 0) 

4. Menentukan rotasi titik terhadap pusat (𝑎, 𝑏) 

5. Menentukan rotasi kurva terhadap pusat (𝑎, 𝑏) 

B. Uraian Materi

Pengertian Rotasi 

Pada kegiatan pembelajaran 3 ini kita akan membahas gerak berputar atau dalam transformasi geometri disebut rotasi. Komedi putar, gangsing, kipas angin, dan jarum jam merupakan beberapa contoh objek yang bergerak dengan berputar. Gambar 14 menunjukkan anak-anak yang sedang bermain gangsing. Ketika bermain, gangsing dapat diputar serah jarum jam ataupun berlawanan arah jarum jam dengan pusat tertentu. Dalam matematika proses memutar gangsing termasuk dalam rotasi. 

Rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-titik tersebut sejauh 𝛼 terhadap suatu titik tertentu. 

Rotasi pada bidang datar ditentukan oleh : 

1. Titik pusat rotasi 

2. Besar sudut rotasi 

3. Arah sudut rotasi 

Sudut rotasi merupakan sudut antara garis yang menghubungkan titik asal dan pusat rotasi yang menghubungkan titik bayangan dan pusat rotasi. 

Jika arah rotasi diputar searah jarum jam maka besar sudut rotasi negatif (−𝜶) 

Jika arah rotasi diputar berlawanan jarum jam maka besar sudut rotasi poitif (𝜶) 

Rotasi dinotasikan dengan 𝑹(𝑷,𝜶) dimana P merupakan pusat rotasi dan 𝛼 besar sudut rotasi. 

1. Rotasi terhadap titik pusat (𝟎, 𝟎) 

Untuk memahami bentuk rotasi pada titik pusat (0, 0), kita bisa amati perpindahan titik A pada gambar 15. 

Misalkan terdapat sebuah titik 𝐴(𝑥, 𝑦) akan dirotasikan sebesar 𝛼 dengan pusat (0, 0) dan akan menghasilkan titik 𝐴′(𝑥 ′ , 𝑦 ′ ) dan dapat dituliskan sebagai berikut. 

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh 

𝑥 ′ = −𝑥 → 𝑥 = −𝑥′ 

𝑦 ′ = −𝑦 → 𝑦 = −𝑦′ 

Substitusi 𝒙 = −𝒙 ′dan 𝒚 = −𝒚′ ke persamaan garis 3𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0 diperoleh 

3(−𝑥 ′ ) − 4(−𝑦 ′ ) + 12 = 0 

−3𝑥 ′ + 4𝑦 ′ + 12 = 0 

−3𝑥 + 4𝑦 + 12 = 0 

Jadi, persamaan garis hasil rotasi adalah −3𝑥 + 4𝑦 + 12 = 0 

2. Rotasi terhadap titik pusat (𝐚, 𝐛) 

Untuk memahami bentuk rotasi pada titik pusat (a, b), kita bisa amati perpindahan titik A pada gambar 16. 

Misalkan terdapat sebuah titik 𝐴(𝑥, 𝑦) akan dirotasikan sebesar 𝛼 dengan pusat (𝑎, 𝑏) dan akan menghasilkan titik 𝐴′(𝑥 ′ , 𝑦 ′ ) dan dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk lebih memahami konsep rotasi terhadap titik pusat (a, b) perhatikan beberapa contoh soal berikut 

Contoh Soal 1 :

Tentukan bayangan titik 𝐶(3, 1) jika dirotasikan berlawanan arah jarum jam sebesar 90° dan berpusat (2, 4) ! 

Contoh Soal 2:

Garis 3𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0 dirotasikan sebesar 180° terhadap titik pusat (1, 2). Persamaan garis hasil rotasi adalah …Pembahasan : 

Misalkan titik 𝐴(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan garis 3𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0 sehingga 

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh 

𝑥 ′ = −𝑥 + 3 → 𝑥 = 3 − 𝑥′ 

𝑦 ′ = −𝑦 + 4 → 𝑦 = 4 − 𝑦′ 

Substitusi 𝒙 = 𝟑 − 𝒙 ′dan 𝒚 = 𝟒 − 𝒚′ ke persamaan garis 3𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0 diperoleh 

3(3 − 𝑥 ′ ) − 4(4 − 𝑦 ′ ) + 12 = 0 

9 − 3𝑥 ′ − 16 + 4𝑦 ′ + 12 = 0 

−3𝑥′ + 4𝑦′ + 9 − 16 + 12 = 0 

−3𝑥 ′ + 4𝑦 ′ + 5 = 0 −3𝑥 + 4𝑦 + 5 = 0 

Jadi, persamaan garis hasil rotasi adalah −3𝑥 + 4𝑦 + 5 = 0 

C. Rangkuman 

1. Rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titiktitik tersebut sejauh 𝛼 terhadap suatu titik tertentu. 

2. Rotasi pada bidang datar ditentukan oleh : 

1. Titik pusat rotasi 

2. Besar sudut rotasi 

3. Arah sudut rotasi 

a. Jika arah rotasi diputar searah jarum jam maka besar sudut rotasi negatif (−𝜶) 

b. Jika arah rotasi diputar berlawanan jarum jam maka besar sudut rotasi poitif (𝜶) 

3. Rotasi dinotasikan dengan 𝑹(𝑷,𝜶) dimana P merupakan pusat rotasi dan 𝛼 besar sudut rotasi. 

4. Jenis-jenis rotasi berdasarkan titik pusat Misalkan koordinat titik asal A(𝑥, 𝑦) akan dirotasikan dengan besar sudut 𝛼 terhadap pusat (0, 0) dan pusat (𝑎, 𝑏)akan menghasilkan bayangan sebagai berikut