KEGIATAN BELAJAR 2 

REFLEKSI (PENCERMINAN)

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah kegiatan pembelajaran 2 ini, peserta didik diharapkan dapat:

1. Memahami pengertian refleksi (pencerminan) 

2. Memahami sifat-sifat refleksi 

3. Menentukan refleksi terhadap sumbu X 

4. Menentukan refleksi terhadap sumbu Y 

5. Menentukan refleksi terhadap titik O (0, 0) 

6. Menentukan refleksi terhadap garis 𝑦 = 𝑥 

7. Menentukan refleksi terhadap garis 𝑦 = −𝑥 

8. Menentukan refleksi terhadap garis 𝑥 = ℎ 

9. Menentukan refleksi terhadap garis 𝑦 = 𝑘 

B. Uraian Materi

Pengertian dan Sifat-sifat Refleksi (Pencerminan) 

Bercermin merupakan kegiatan yang sering kita lakukan dalam kehidupan sehari-hari. Tetapi pernahkan kita berpikir bagaimana bentuk bayangan yang dihasilkan pada cermin? Bagaimana jarak bayangan yang dihasilkan terhadap cermin? untuk menjawab pertanyaan tersebut, yuk kita simak ilustrasi 1. 

Ilustrasi 1.

Rani berdiri di depan cermin dengan jarak 50 cm dan tinggi Rani adalah 160 cm. Bagaimana hasil refleksi Rani terhadap cermin? Bagaimana jarak bayangan Rani terhadap cermin ? 

Jika kita lihat pada cermin hasil bayangan Rani berupa sosok Rani dengan tinggi yang sama dan jarak bayangan Rani terhadap cermin sama dengan jarak Rani terhadap cermin yaitu 50 cm. Jika kita misalkan tinggi Rani sebagai garis ℎ maka hasil refleksi berupa garis ℎ′. Jika ujung-ujung garis ℎ dan garis ℎ′ dihubungkan maka akan menghasilkan garis yang sejajar. 

Berdasarkan ilustrasi 1, kita dapat memahami konsep refleksi secara umum dan sifat-sifatnya.

Refleksi (pencerminan) adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin. Refleksi disimbolkan dengan 𝑀𝑎 dengan 𝑎 merupakan sumbu cermin. 

Sifat-sifat Refleksi: 

1. Jarak dari titik asal ke cermin sama dengan jarak cermin ke titik bayangan 

2. Garis yang menghubungkan titik asal dengan titik bayangan tegak lurus terhadap cermin 

3. Garis-garis yang terbentuk antara titik-titik asal dengan titik-titik bayangan akan saling sejajar  

Jenis-Jenis Refleksi

1. Refleksi terhadap sumbu 𝒙 

Kita akan menemukan konsep pencerminan terhadap sumbu 𝑥 dengan mengamati pencerminan segitiga ABC pada gambar 7. Bagaimana bayangan segitiga ABC setelah dicerminkan terhadap sumbu X? 

Pada gambar 7, kita dapat melihat bahwa segitiga A’B’C’ merupakan hasil bayangan segitiga ABC setelah dicermikan terhadap sumbu 𝑥 pada koordinat cartesius. Agar mudah memahami perubahan koordinat setiap titik pada segitiga, kita dapat melihat pada tabel 2 berikut.

Berdasarkan pengamatan pada gambar 7 dan tabel 2, secara umum diperoleh 

Jika titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap sumbu 𝑥, maka akan menghasilkan bayangan 𝐴′(𝑥, −𝑦) 

Anak-anakku, mari kita mencari matriks pencerminan terhadap sumbu 𝑥 Kita misalkan matriks transformasinya adalah 𝑀 = ( 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ) sehingga 

Dengan kesamaan dua matriks diperoleh: 

𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 agar ruas kiri dan kanan bernilai sama maka 𝑎 = 1 dan 𝑏 = 0 

Cek : 

Substitusi 𝑎 = 1 dan 𝑏 = 0 ke persamaan 

𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 

𝑥 = 1 ∙ 𝑥 + 0 ∙ 𝑦 

𝑥 = 𝑥 

−𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 agar rus kiri dan kanan bernilai sama maka 𝑐 = 0 dan 𝑑 = −1 

Cek : 

Substitusi 𝑐 = 0 dan 𝑑 = −1 ke persamaan 

−𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 

−𝑦 = 0 ∙ 𝑥 + (−1) ∙ 𝑦 

−𝑦 = −𝑦 

Berdasarkan uraian di atas diperoleh matriks pencerminan terhadap sumbu 𝑥 adalah ( 1 0 0 −1 ) 

Untuk lebih memahami konsep pencerminan terhadap sumbu 𝑥 perhatikan beberapa contoh soal berikut 

Contoh Soal 1:

Jika titik 𝐵(2, 5) dicerminkan terhadap sumbu 𝑥 maka bayangan titik B adalah … 

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh 

𝑥 ′ = 𝑥 → 𝑥 = 𝑥′ 

𝑦 ′ = −𝑦 → 𝑦 = −𝑦′ 

Substitusi 𝑥 = 𝑥′ dan 𝑦 = −𝑦′ ke persamaan garis 𝑙 

3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 

3(𝑥 ′ ) − 2(−𝑦 ′ ) − 5 = 0 

3𝑥 ′ + 2𝑦 ′ − 5 = 0 

Jadi, persamaan bayangan garis 𝑙 adalah 3𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0 

2. Refleksi terhadap sumbu 𝒚 

Untuk memahami konsep refleksi terhadap sumbu 𝑦 mari kita amati pencerminan persegi PQRS. Bagaimana perubahan setiap titik P, Q, R, dan S pada persegi PQRS setelah dicerminkan terhadap sumbu 𝑦? 

Pada gambar di atas, kita dapat melihat bahwa persegi P’Q’R’S’ merupakan hasil bayangan persegi PQRS setelah dicermikan terhadap sumbu 𝑦 pada koordinat cartesius. Agar mudah memahami perubahan koordinat setiap titik pada persegi dapat dilihat pada tabel 3 berikut. 

Berdasarkan pengamatan pada gambar 8 dan tabel 3, secara umum diperoleh 

Jika titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap sumbu 𝑦, maka akan menghasilkan bayangan 𝐴′(−𝑥, 𝑦) 

Mari kita mencari matriks pencerminan terhadap sumbu 𝑦 Kita misalkan matriks transformasinya adalah 𝑀 = ( 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ) sehingga diperoleh 

Dengan kesamaan dua matriks diperoleh: 

−𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 agar ruas kiri dan kanan bernilai sama maka 𝑎 = −1 dan 𝑏 = 0 

Cek : 

Substitusi 𝑎 = −1 dan 𝑏 = 0 ke persamaan 

−𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 

−𝑥 = (−1) ∙ 𝑥 + 0 ∙ 𝑦 

−𝑥 = −𝑥 

𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 agar rus kiri dan kanan bernilai sama maka 𝑐 = 0 dan 𝑑 = 1 

Cek : 

Substitusi 𝑐 = 0 dan 𝑑 = 1 ke persamaan 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 𝑦 = 0 ∙ 𝑥 + 1 ∙ 𝑦 𝑦 = 𝑦 Berdasarkan uraian di atas diperoleh matriks pencerminan terhadap sumbu 𝑦 adalah ( −1 0 0 1 ) 

Untuk lebih memahami konsep refleksi terhadap sumbu 𝑦 perhatikan beberapa contoh soal berikut

Contoh Soal 1:

Jika titik 𝐴(−4, −3) dicerminkan terhadap sumbu 𝑦 maka bayangan titik 𝐴 adalah … 

Contoh Soal 2:

Jika garis 𝑙: 3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 dicerminkan terhadap sumbu 𝑦 maka hasil bayangan garis 𝑙 adalah … 

3. Refleksi terhadap titik asal O(0, 0) 

Anak-anakku, untuk memahami konsep refleksi terhadap titik asal O(0, 0) mari kita amati pencerminan segitiga ABC dan segitiga DEF. Bagaimana perubahan setiap titik A, B, C pada segitiga ABC dan titik D, E, F pada segitiga DEF setelah dicerminkan terhadap titik asal yaitu titik O(0, 0)? 

Pada gambar 9, kita dapat melihat bahwa segitiga A’B’C’ merupakan bayangan dari segitiga ABC setelah dicerminkan terhadap titik asal O(0,0). Segitiga D’E’F’ merupakan hasil bayangan segitiga DEF setelah dicerminkan terhadap titik asal O(0,0). Anak-anak untuk mudah memahami perubahan koordinat setiap titik yang terjadi pada segitiga ABC dan segitiga DEF dapat dilihat pada tabel 4. 

Berdasarkan pengamatan pada gambar 9 dan tabel 4, secara umum diperoleh 

Jika titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap titik asal O(0, 0), maka akan menghasilkan bayangan 𝐴′(−𝑥, −𝑦) 

Dengan kesamaan dua matriks diperoleh: 

−𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 agar ruas kiri dan kanan bernilai sama maka 𝑎 = −1 dan 𝑏 = 0 

Cek : 

Substitusi 𝑎 = −1 dan 𝑏 = 0 ke persamaan 

−𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 

−𝑥 = (−1) ∙ 𝑥 + 0 ∙ 𝑦 

−𝑥 = −𝑥 

−𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 

agar ruas kiri dan kanan bernilai sama maka 𝑐 = 0 dan 𝑑 = −1 

Cek : 

Substitusi 𝑐 = 0 dan 𝑑 = 1 ke persamaan 

𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 

−𝑦 = 0 ∙ 𝑥 + (−1) ∙ 𝑦 

−𝑦 = −𝑦 

 Untuk lebih memahami konsep refleksi terhadap titik asal O(0,0) perhatikan beberapa contoh soal berikut 

Contoh Soal 1:

Jika titik 𝐴(−4, −3) dicerminkan terhadap titik asal O(0, 0) maka bayangan titik 𝐴 adalah … 

 Contoh Soal 2:

Jika garis 𝑙: 3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 dicerminkan terhadap titik asal O(0, 0) maka hasil bayangan garis 𝑙 adalah … 

 Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh 

𝑥 ′ = −𝑥 → 𝑥 = −𝑥′ 

𝑦 ′ = −𝑦 → 𝑦 = −𝑦′ 

Substitusi 𝑥 = −𝑥′ dan 𝑦 = −𝑦′ ke persamaan garis 𝑙 

3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 

3(−𝑥 ′ ) − 2(−𝑦 ′ ) − 5 = 0 

−3𝑥 ′ + 2𝑦 ′ − 5 = 0 

Jadi persamaan bayangan garis 𝑙 adalah −3𝑥 ′ + 2𝑦 ′ − 5 = 0 

 4. Refleksi terhadap garis 𝒚 = 𝒙 

Untuk memahami konsep refleksi terhadap garis 𝑦 = 𝑥 mari kita amati pencerminan segitiga ABC. Bagaimana perubahan setiap titik A, B, C pada segitiga ABC setelah dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 𝑥? 

 Pada gambar 10, kita dapat melihat bahwa segitiga A’B’C’ merupakan bayangan dari segitiga ABC setelah dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 𝑥. Anak-anak, untuk mudah memahami peurbahan koordinat setiap titik A, B dan C yang terjadi pada segitiga ABC dapat dilihat pada tabel 5. 

Berdasarkan pengamatan pada gambar 10 dan tabel 5, secara umum diperoleh  

Jika titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 𝑥, maka akan menghasilkan bayangan 𝐴′(𝑦, 𝑥) 

 Dengan kesamaan dua matriks diperoleh: 

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 agar ruas kiri dan kanan bernilai sama maka 𝑎 = 0 dan 𝑏 = 1 

Cek : 

Substitusi 𝑎 = 0 dan 𝑏 = 1 ke persamaan 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 

𝑦 = 0 ∙ 𝑥 + 1 ∙ 𝑦 

𝑦 = 𝑦 𝑥 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 agar ruas kiri dan kanan bernilai sama maka 𝑐 = 1 dan 𝑑 = 0 

Cek : 

Substitusi 𝑐 = 1 dan 𝑑 = 0 ke persamaan 𝑥 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 

𝑥 = 1 ∙ 𝑥 + 0 ∙ 𝑦 

𝑥 = 𝑥

 Untuk lebih memahami konsep refleksi terhadap garis 𝑦 = −𝑥 perhatikan beberapa contoh soal berikut 

Contoh Soal 1: 

Jika titik 𝑃(−5, 4) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 𝑥 maka bayangan titik 𝑃 adalah 

 Contoh Soal 2 :

Jika garis 𝑙: 3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 𝑥maka hasil bayangan garis 𝑙 adalah … 

 Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh 

𝑥 ′ = 𝑦 → 𝑦 = 𝑥′ 

𝑦 ′ = 𝑥 → 𝑥 = 𝑦′ 

Substitusi 𝑥 = 𝑦′ dan 𝑦 = 𝑥′ ke persamaan garis 𝑙 

3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 

3(𝑦 ′ ) − 2(𝑥 ′ ) − 5 = 0 

3𝑦 ′ − 2𝑥 ′ − 5 = 0 

−2𝑥 ′ + 3𝑦 ′ − 5 = 0 

−2𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0 

Jadi persamaan bayangan garis 𝑙 adalah −2𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0 

 5. Refleksi terhadap garis 𝒚 = −𝒙 

Untuk memahami konsep refleksi terhadap garis 𝑦 = −𝑥 mari kita amati pencerminan segitiga ABC pada gambar 11. Bagaimana perubahan setiap titik A, B, C pada segitiga ABC setelah dicerminkan terhadap garis 𝑦 = −𝑥? 

 Pada gambar 11, kita dapat melihat bahwa segitiga A’B’C’ merupakan bayangan dari segitiga ABC setelah dicerminkan terhadap garis 𝑦 = −𝑥. Anak-anak, untuk mudah memahami perubahan koordinat setiap titik A, B dan C yang terjadi pada segitiga ABC dapat dilihat pada tabel 6.

 Berdasarkan pengamatan pada gambar 11 dan tabel 6, secara umum diperoleh 

Jika titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = −𝑥, maka akan menghasilkan bayangan 𝐴′(−𝑦, −𝑥) 

 Dengan kesamaan dua matriks diperoleh: 

−𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 agar ruas kiri dan kanan bernilai sama maka 𝑎 = 0 dan 𝑏 = −1 

Cek : 

Substitusi 𝑎 = 0 dan 𝑏 = −1 ke persamaan 

−𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 

−𝑦 = 0 ∙ 𝑥 + (−1) ∙ 𝑦 

−𝑦 = −𝑦 

−𝑥 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 agar ruas kiri dan kanan bernilai sama maka 𝑐 = −1 dan 𝑑 = 0 

Cek : 

Substitusi 𝑐 = −1 dan 𝑑 = 0 ke persamaan 

−𝑥 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 

−𝑥 = (−1) ∙ 𝑥 + 0 ∙ 𝑦 

−𝑥 = −𝑥 

 Untuk lebih memahami konsep refleksi terhadap garis 𝑦 = −𝑥 perhatikan beberapa contoh soal berikut 

Contoh Soal 1:

Jika titik P(-5,4) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = −𝑥 maka bayangan titik P adalah 

 Contoh Soal 2:

Jika garis 𝑔: 4𝑥 − 3𝑦 + 11 = 0 dicerminkan terhadap garis 𝑦 = −𝑥maka hasil bayangan garis 𝑙 adalah … 

Pembahasan: 

Misal titik 𝐴(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan 4𝑥 − 3𝑦 + 11 = 0 sehingga 

 Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh 

𝑥 ′ = −𝑦 → 𝑦 = −𝑥′ 

𝑦 ′ = −𝑥 → 𝑥 = −𝑦′ 

Substitusi 𝑥 = −𝑦 ′dan𝑦 = −𝑥′ ke persamaan garis 𝑙 

4𝑥 − 3𝑦 + 11 = 0 

4(−𝑦 ′ ) − 3(−𝑥 ′ ) + 11 = 0 

−4𝑦 ′ + 3𝑥 ′ + 11 = 0 

3𝑥 ′ − 4𝑦 ′ + 11 = 0 

3𝑥 − 4𝑦 + 11 = 0 

Jadi persamaan bayangan garis 𝑔 adalah 3𝑥 − 4𝑦 + 11 = 0 

 6. Refleksi terhadap garis 𝒙 = 𝒉 

Untuk memahami konsep refleksi terhadap garis 𝑥 = ℎ mari kita amati pencerminan segi empat XWYZ pada gambar 12. Bagaimana perubahan setiap titik X, W, Y, dan Z pada segi empat XWYZ setelah dicerminkan terhadap garis 𝑥 = ℎ? 

 Pada gambar 12, kita dapat melihat bahwa segiempat X’W’Y’Z’ merupakan hasil pencerminan dari segiempat XWYZ setelah direfleksikan terhadap garis 𝑥 = ℎ. Anak-anak, untuk mudah memahami perubahan koordinat setiap titik X, Y, W dan Z yang terjadi pada segiempat XWYZ dapat dilihat pada tabel 7. 

 Berdasarkan pengamatan pada gambar 12 dan tabel 7, terlihat perubahan titik terjadi pada koordinat 𝑥 sedangkan untuk koordinat 𝑦 tetap, sehingga secara umum diperoleh 

Jika titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap garis 𝑥 = ℎ, maka akan menghasilkan bayangan 𝐴′(2ℎ − 𝑥, 𝑦) 

Untuk lebih memahami konsep refleksi terhadap garis 𝑥 = ℎ perhatikan beberapa contoh soal berikut 

Contoh Soal 1:

Jika titik 𝑃(5, 2) dicerminkan terhadap garis 𝑥 = 2 maka bayangan titik 𝑃 adalah … 

Contoh Soal 2:

Jika kurva 𝑦 = 𝑥 2 + 3𝑥 − 5 dicerminkan terhadap garis 𝑥 = 2 maka hasil bayangan kurva adalah … 

 7. Refleksi terhadap garis 𝒚 = 𝒌 

Anak-anakku, untuk memahami konsep refleksi terhadap garis 𝑦 = 𝑘 mari kita amati pencerminan segitiga PQR pada gambar 13. Bagaimana perubahan setiap titik P, Q, dan R pada segitiga PQR setelah dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 𝑘? 

 Pada gambar 13, kita dapat melihat bahwa segitiga P’Q’R’ merupakan hasil pencerminan dari segitiga PQR setelah direfleksikan terhadap garis 𝑦 = 𝑘. Anak-anak, untuk mudah memahami perubahan koordinat setiap titik P, Q dan R yang terjadi pada segitiga PQR dapat dilihat pada tabel 8. 

Berdasarkan pengamatan pada gambar 13 dan tabel 8, terlihat perubahan titik terjadi pada koordinat 𝑥 sedangkan untuk koordinat 𝑦 tetap, sehingga secara umum diperoleh 

Jika titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 𝑘, maka akan menghasilkan bayangan 𝐴′(𝑥, 2𝑘 − 𝑦) 

Untuk lebih memahami konsep refleksi terhadap garis 𝑦 = 𝑘 perhatikan beberapa contoh soal berikut 

Contoh Soal 1:

Jika titik 𝑃(5, 2) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 2 maka bayangan titik 𝑃 adalah … 

 Contoh Soal 2:

Jika kurva 𝑦 = 𝑥 2 + 3𝑥 − 5 dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 2 maka hasil bayangan kurva adalah … 

Pembahasan: 

Misal titik 𝐴(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan 𝑦 = 𝑥 2 + 3𝑥 − 5 sehingga 

 C. Rangkuman 

1. Refleksi (pencerminan) adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin. Refleksi disimbolkan dengan 𝑀𝑎 dengan 𝑎 merupakan sumbu cermin. 

2. Sifat-sifat Refleksi: 

1. Jarak dari titik asal ke cermin sama dengan jarak cermin ke titik bayangan 

2. Garis yang menghubungkan titik asal dengan titik bayangan tegak lurus terhadap cermin 

3. Garis-garis yang terbentuk antara titik-titik asal dengan titik-titik bayangan akan saling sejajar 

3. Jenis-jenis refleksi 

Misalkan koordinat titik asal A(𝑥, 𝑦) akan direfleksikan tehadap sumbu X, sumbu Y, titik asal O (0,0), garis 𝑦 = 𝑥, garis 𝑦 = −𝑥, garis 𝑥 = ℎ, garis 𝑦 = 𝑘, dan garis 𝑦 = 𝑥 tan 𝛼 akan menghasilkan bayangan sebagai berikut