Geometria I (I canale, anno accademico 2021/22) 

• Sono aperte le prenotazioni per l'appello straordinario che ci sarà il 12 ottobre alle ore 10:30 in aula A4 presso il DIAG, via Ariosto 25. Vi ricordo che possono partecipare solo coloro che ne hanno diritto ovvero:

  1. • studenti e studentesse iscritti/e fuori corso, iscritti a tempo parziale;

     • studenti e studentesse con disabilità;

     • studenti e studentesse con disturbi specifici dell’apprendimento, (Delibera SA 12 giugno 2018);

     • studenti e studentesse genitori con figlio/i di età inferiore ai tre anni e studentesse in stato di gravidanza (Delibera SA 9 luglio 2019);

     • studenti e studentesse che hanno completato tutte le annualità di frequenza (Delibera SA 13 ottobre 2020);

     • studenti e studentesse atleti/e, come definiti/e all’art.25 comma 6 del presente Regolamento (Delibera SA 14 settembre 2021);

     • studenti e studentesse lavoratori/lavoratrici (Delibera SA del 2 marzo 2021) che hanno svolto, per almeno 60 giorni, anche non continuativi, nei sei mesi precedenti alla data di inizio dell’appello straordinario:

     • attività retribuita e contrattualizzata per conto di privati, comprese le società cooperative, o di enti pubblici;

     • attività di lavoro autonomo con o senza partita IVA;

     • attività di volontariato civile universale presso ente pubblico o privato;

     • attività d’impresa di tipo commerciale, o artigianale o agricola.

• AVVISO: le lezioni per il I semestre a.a. 2021/2022 inizieranno Lunedì 27 Settembre 2021

• Ricevimento: Il ricevimento si terrà ogni lunedì alle 14:30 su zoom allo stesso link della lezione previa prenotazione via email.

• Orario delle lezioni: 

  1. 1. lunedì 8-9:30 aula 12 via Scarpa

     2. martedì 8-9:30 aula 12 via Scarpa

     3. mercoledì 8-9:30 aula 12 via Scarpa

     4. giovedì 8-9:30 aula 12 via Scarpa

     5. venerdì 8-9:30 aula 12 via Scarpa

• Link zoom per TUTTE le lezioni:  https://uniroma1.zoom.us/j/81378740820?pwd=dFBqWmVkMUlGQnI3NUpkYThnOW1TZz0

• Link al corso su classroom: https://classroom.google.com/c/MjI2ODg3NzUxNjky?cjc=wehu563

• Programma di massima (verrà dettagliato durante il corso):

  1. 2. 1.  Richiami: capitolo 1 del libro di testo: elementi di teoria degli insiemi, operazioni fra insiemi, insiemi numerici, principio di induzione, funzioni, operazioni e strutture algebriche

        2.  Spazi Vettoriali: capitolo 2 del libro di testo: vettori geometrici e loro proprietà, Spazi vettoriali, Indipendenza lineare e basi, Sottospazi. Sono in programma tutte le dimostrazioni tranne quelle di Proposizione 2.3.3, Proposizione 2.3.4, Proposizione 2.3.5.

        3.    Matrici : capitolo 3 del libro di testo, esclusa la dimostrazione della Proposizione 3.3.1.

        4.   Sistemi lineari: capitolo 4 del libro di testo, esclusa dimostrazione della Proposizione 4.5.1

        5.   Applicazioni lineari : capitolo 5 del libro di testo, escluso dimostrazione Proposizione 5.3.3, dimostrazione dell'Osservazione 5.3.2, dimostrazione Proposizione 5.3.7, dimostrazione Proposizione 5.3.8, osservazione 5.4.3, e Proposizione 5.4.3.

        6.  Determinanti: capitolo 6 del libro di testo, escluse dimostrazione della Proposizione 6.2.1 e della Proposizione 6.3.3, capitolo 6.4,  dimostrazione della Proposizione 6.5.1 e della Proposizione 6.5.3.

        7.   Autovalori e autovettori : capitolo 7 del libro di testo, escluse dimostrazione della Proposizione 7.3.2, dimostrazione della Proposizione 7.4.2.

        8.  Spazi vettoriali Euclidei : capitolo 8 del libro di testo, esclusa dimostrazione della Proposizione 8.2.2, 8.3.3 e dimostrazione della proposizione 8.5.1.

        9.  Geometria analitica nello spazio: capitolo 9 del libro di testo, esclusa dimostrazione della Proposizione 9.3.7 e dimostrazione del Corollario 9.3.1

        10.  Forme bilineari e quadratiche: capitolo 10 del libro di testo esclusa dimostrazione del Teorema 10.1.2, escluso capitolo 10.3.2

• Testo Consigliato :  ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA ANALITICA, Autori: A. Bernardi, A. Gimigliano, casa editrice Città Studi Edizioni

• Modalità di esame: L'esame consisterà di una prova scritta contenente sia esercizi sia domande di teoria sull'intero programma

Diario delle lezioni:

1. 27/09/2021 : Introduzione al corso.  Richiami di teoria degli insiemi: definizione di insieme, insieme vuoto, operazioni tra insiemi: unione, intersezione, differenza, prodotto cartesiano. Insieme dei numeri naturali N, insieme dei numeri interi Z, insieme dei razionali Q, insieme dei reali R

2. 28/09/2021 : Principio di induzione sui numeri naturali. Funzioni tra insiemi. Funzione identità, funzione iniettiva, funzione suriettiva, funzione biunivoca e funzione inversa. Operazioni e strutture algebriche: gruppo commutativo.

3. 29/09/2021: Spazi vettoriali: vettori geometrici, somma di vettori geometrici, e moltiplicazione per uno scalare. Generalizzazione a vettori in Rn

4. 30/09/2021: (Rn,+) è un gruppo commutativo. Spazi vettoriali: definizione ed esempi. In qualunque spazio vettoriale lo scalare zero moltiplicato per un vettore restituisce l'elemento neutro rispetto alla somma. 

5. 01/10/2021: Combinazione lineare di vettori, Insieme di Generatori, Indipendenza lineare di vettori. Un insieme di vettori sono linearmente indipendenti se e solo se nessuno di essi può essere espresso come combinazione lineare dei rimanenti.

6. 04/10/2021: Base di uno spazio vettoriale: esempi. Unicità dei coefficienti della rappresentazione di un vettore rispetto a una base. 

7. 05/10/2021: Ogni spazio vettoriale diverso dal solo elemento neutro ammette una base. Il numero di vettori in un insieme di generatori è sempre maggiore o uguale al numero di elementi di un insieme di vettori linearmente indipendenti. Basi diverse dello stesso spazio hanno lo stesso numero di elementi. Dimensione di uno spazio vettoriale. Il massimo numero di vettori linearmente indipendenti in uno spazio V è pari alla dimensione di V.

8. 06/10/2021 : Definizione di sottospazi vettoriali e loro caratterizzazione. Esempi. Sottospazi generati da insiemi di vettori. Esempi

9. 07/10/2021 : Dati due sottospazi di V, la loro intersezione è ancora un sottospazio. Spazio somma e spazio somma diretta. Esempi. 

10. 08/10/2021 : Dimostrazione della formula di Grassman. Esercizi sui sottospazi 

11. 11/10/2021 : Esercizi sui sottospazi vettoriali. Introduzione alle matrici: definizione, somma tra matrici e moltiplicazione per uno scalare. Dimostrazione che l'insieme delle matrici a elementi reali dotato di somma è un gruppo commutativo.

12. 12/10/2021 : Esercizi sulla formula di Grassman. Definizione di matrici quadrate, matrici triangolari superiori e inferiori, matrici diagonali, matrice trasposta, matrici simmetriche e anti simmetriche. Spazio delle righe e spazio delle colonne di una matrice.

13. 13/10/2021 : Prodotto tra matrici. Esempi. Esempio della dieta come utilizzo di matrici.

14. 14/10/2021 : Proprietà delle matrici quadrate: proprietà associativa del prodotto tra matrici, esistenza dell'elemento neutro (matrice identità); concetto di matrice inversa, matrici simmetriche e antisimmetriche. Esempi.

15. 15/10/2021 : Unicità della matrice inversa, inversa di un prodotto di matrici invertibili, potenza di una matrice quadrata. Esercizi riassuntivi sulle matrici.

16. 18/10/2021 : Introduzione ai sistemi di equazioni lineari. Esempi.

17. 19/10/2021 : Algoritmo di diagonalizzazione di Gauss. Esempi.

18. 20/10/2021: Rango di una matrice e teorema di Rouchè Capelli. Esempi.

19. 21/10/2021 : Sistemi omogenei. L'insieme delle soluzioni è un sottospazio vettoriale. Esempi.

20. 22/10/2021 : Il rango di una matrice è pari al massimo numero di colonne (o righe equivalentemente) linearmente indipendenti. Dimostrazione del Teorema di Rouchè Capelli. Esercizi.

21. 25/10/2021 : Applicazioni lineari. Definizione e esempi. Nucleo e immagine di un'applicazione lineare. Dimostrazione che sono dei sottospazi.

22. 26/10/2021 : Insieme di generatori per l'immagine di un'applicazione lineare. Relazione tra nucleo e immagine di un'applicazione lineare e sue iniettività e suriettività. La somma della dimensione del nucleo e dell'immagine è pari alla dimensione del sottospazio V (dimostrazione). Esempi

23. 27/10/2021: Proprietà delle applicazioni lineari: se dim(V)=dim(W) f è iniettiva se e solo se è suriettiva. Se n>m non può essere iniettiva, se m>n non può essere suriettiva. Isomorfismi. Qualunque spazio vettoriale è isomorfo a Rn. Esercizi 

24. 28/10/2021 : Applicazioni lineari e matrici: matrice che rappresenta qualunque applicazione lineare data una base di V e una base di W. Esempi.

25. 29/10/2021 : Composizione di applicazioni lineari. Matrice del cambiamento di base; inversa della matrice del cambiamento di base. esempi.

26. 02/11/2021 : Una matrice nxn è invertibile se e solo se il suo rango è n. Relazioni tra diverse matrici associate alla stessa funzione. Matrici simili. Esercizi.

27. 03/11/2021 : esercitazione sulle applicazioni lineari.

28. 04/11/2021 : definizione di determinante. Esempi. Enunciato delle proprietà del determinante.

29. 05/11/2021 : Dimostrazione delle proprietà del determinante. Esempi.

30. 08/11/2021 : Rango di matrici non quadrate attraverso determinante di minori. Minori ottenuti tramite orlatura. Esempi.

31. 09/11/2021 : Regola di Cramer. Introduzione a autovalori e autovettori. Autospazio relativo a un autovalore. L'autospazio relativo a un autovalore è un sottospazio vettoriale. Un endomorfismo ammette l'autovalore nullo se e solo se non è un isomorfismo.

32. 10/11/2021 : Autovalori e autovettori di una matrice. Proprietà degli autovalori: una matrice ammette autovalore zero se e solo se non ha rango pieno; A potenza alla k di A ammette autovalore pari agli autovalori di A elevati alla k, con k>=2; se A ammette inversa e ha autovalore lambda, la sua inversa ha autovalore pari a 1/lambda. Polinomio caratteristico e calcolo degli autovalori.

33. 11/11/2021 : Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Endomorfismi semplici e matrici diagonalizzabili. Esempi

34. 12/11/2021 : Spazio somma degli autospazi. Una f è semplice se e solo se la somma delle molteplicità geometriche dei suoi autovalori distinti è n. Una funzione con n autovalori distinti è semplice. Esercizi.

35. 15/11/2021 : Definizione di prodotto scalare. Spazi euclidei. Esempi. Definizione di norma. Proprietà della norma.

36. 16/11/2021 : dimostrazione di disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e della disuguaglianza triangolare. Definizione di distanza tra due vettori, angolo tra due vettori e ortogonalità. Esempi

37. 17/11/2021 : Vettori ortonormali, ortogonale di un vettore e ortogonale di un sottospazio, Base ortonormale. Utilità delle basi ortornormali. Esempi.

38. 18/11/2021 : Ortogonalizzazione di Gram Schmidt. Dimostrazione di ortonormalità. Uno spazio vettoriale ammette sempre una base ortonormale un insieme di vettori ortonormali può sempre essere completato a una base ortonormale. Esempi. 

39. 19/11/2021 : Isometrie: definizione e proprietà. Matrici ortogonali. Un endomorfismo è un'isometria se e solo se la matrice associata a una base ortonormale è ortogonale.

40. 22/11/2021 : Esercitazione su spazi vettoriali, ortogonali, isometrie.

41. 23/11/2021 : Matrici ortogonalmente diagonalizzabili. Una matrice simmetrica ammette solo autovalori reali. Data una matrice simmetrica, autovalori relativi ad autovettori distinti sono ortogonali. Una matrice ortogonalmente diagonalizzabile è simmetrica. Esempi.

42. 24/11/2021 : Teorema spettrale con dimostrazione. Esercizi.

43. 25/11/2021 : Geometria analitica nello spazio : isomorfismo tra vettori geometrici nello spazio e R^3.  Equazione cartesiana ed equazione parametrica del piano. Esempi.

44. 26/11/2021 : Equazione di un piano passante per 3 punti. Piani paralleli e piani ortogonali. Equazione cartesiana ed equazione parametrica della retta nello spazio.

45. 29/11/2021 : Retta passante per due punti. Passaggio da equazione parametrica a equazione cartesiana di una retta. Posizione reciproca di due rette nello spazio. Esempi.

46. 30/11/2021 : Posizione reciproca tra due rette: come si trova. Posizione reciproca tra retta e piano. Esempi. Distanza di un punto da un piano.

47. 1/12/2021 : Distanza tra due piani paralleli. Fascio di piani proprio e improprio. Prodotto vettoriale. Esempi.

48. 2/12/2021 : Esercitazione sulla geometria dello spazio.

49. 3/12/2021 : Prodotto vettoriale e sue applicazioni. Esercizi sul prodotto vettoriale.

50. 6/12/2021 : Forme bilineari: definizione e matrice associata. Esempi. Forma bilineare simmetrica. Una forma bilineare è simmetrica se e solo se la matrice ad essa associata è simmetrica rispetto a una qualunque base. Esempi.

51. 7/12/2021 : Forme bilineari: ortogonalità rispetto a una forma bilineare, vettori isotropi. Razionale di una forma bilineare. Forme bilineari degeneri e non degeneri. Una forma bilineare è non degenere se e solo se il rango della matrice associata è pieno. Teorema di Sylvester (solo enunciato). Esempio.

52. 9/12/2021 : Forme Quadratiche associate a una forma bilineare. Proprietà: forma polare. Forme quadratiche non degeneri, rango di una forma quadratica, forma canonica. Una forma quadratica ammette sempre una forma canonica. Esempi.

53. 13/12/2021 : Forme quadratiche e forma normale. Esempi. Forme quadratiche definite positive come generalizzazione della norma. Esercizi.

54. 14/12/2021 : Esercizi sulle forme quadratiche. Introduzione alle coniche: definizione e forme canoniche.

55. 15/12/2021 : Coniche: discriminante, relazione con le forme quadratiche. Classificazione delle coniche tramite matrici associate.

56. 16/12/2021 : Esercizi sulle coniche. Quadriche : definizione e classificazione.

57. 17/12/2021 : Esercizi sulle quadriche.

58. 20/12/2021 : Soluzione fac-simile esercizio di esame.

59. 21/12/2021 : Soluzione esercizi di esame.

60. 22/12/2021 : Esercizi di riepilogo