Geometria (I canale, anno accademico 2025/26) 

• Avviso : la lezione del 3/10 è annullata

• Ricevimento: Il ricevimento si terrà ogni mercoledì alle 14:30  previa prenotazione via email nell'ufficio del docente, sito in A109 presso il DIAG, via Ariosto 25.

• Orario delle lezioni: 

  1. 1. lunedì 8-9:30 aula 12 via Scarpa 

     2. martedì 8-9:30 aula 12 via Scarpa 

     3. mercoledì 8-9:30 aula 12 via Scarpa

     4. giovedì 8-9:30 aula 12 via Scarpa 

     5. venerdì 8-9:30 aula 12 via Scarpa

• Link al corso su classroom: https://classroom.google.com/c/ODA3MTIxMDc4OTA2?cjc=cmwd6gsw

• Programma di massima (verrà dettagliato durante il corso):

  1. 2. 1.  Richiami: capitolo 1 del libro di testo: elementi di teoria degli insiemi, operazioni fra insiemi, insiemi numerici, principio di induzione, funzioni, operazioni e strutture algebriche

        2.  Spazi Vettoriali: capitolo 2 del libro di testo: vettori geometrici e loro proprietà, Spazi vettoriali, Indipendenza lineare e basi, Sottospazi. Sono in programma tutte le dimostrazioni tranne quelle di Proposizione 2.3.3, Proposizione 2.3.4.

        3.    Matrici : capitolo 3 del libro di testo, esclusa la dimostrazione della Proposizione 3.3.1.

        4.   Sistemi lineari: capitolo 4 del libro di testo, esclusa dimostrazione della Proposizione 4.5.1

        5.   Applicazioni lineari : capitolo 5 del libro di testo, escluso dimostrazione Proposizione 5.3.3, dimostrazione dell'Osservazione 5.3.2, dimostrazione Proposizione 5.3.7, dimostrazione Proposizione 5.3.8, osservazione 5.4.3, e Proposizione 5.4.3.

        6.  Determinanti: capitolo 6 del libro di testo, escluse dimostrazione della Proposizione 6.2.1 e della Proposizione 6.3.3, capitolo 6.4,  dimostrazione della Proposizione 6.5.1 e della Proposizione 6.5.3.

        7.   Autovalori e autovettori : capitolo 7 del libro di testo, escluse dimostrazione della Proposizione 7.3.2.

        8.  Spazi vettoriali Euclidei : capitolo 8 del libro di testo, esclusa dimostrazione della Proposizione 8.3.3 e dimostrazione della proposizione 8.5.1.

        9.  Geometria analitica nello spazio: capitolo 9 del libro di testo, esclusa dimostrazione della Proposizione 9.3.7 e dimostrazione del Corollario 9.3.1

        10.  Forme bilineari e quadratiche: capitolo 10 del libro di testo esclusa dimostrazione del Teorema 10.1.2, escluso capitolo 10.3.2

        11. Numeri complessi

• Testo Consigliato :  ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA ANALITICA, Autori: A. Bernardi, A. Gimigliano, casa editrice Città Studi Edizioni

• Modalità di esame: L'esame consisterà di una prova scritta contenente sia esercizi sia domande di teoria sull'intero programma. Le due parti hanno lo stesso peso e per passare l'esame si devono passare entrambe le parti.

Diario delle lezioni:

1. 22/09/2025 Introduzione al corso. Richiamo di nozioni di teoria degli insiemi. 

2. 23/09/2025 Principio di induzione. Esempio di dimostrazione per induzione. Funzioni: definizione, funzione identità, funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva. Operazioni interne, strutture algebriche, gruppo commutativo. Esempi.

3. 24/09/2025 Spazi vettoriali come generalizzazione dei vettori geometrici. Proprietà dell'operazione somma e del prodotto per uno scalare nello spazio dei vettori geometrici. Generalizzazione a R^n, definizione di spazio vettoriale generale. Spazio dei polinomi a coefficienti reali come esempio di spazio vettoriale.

4. 25/09/2025 Definizione di combinazione lineare, Sistema di generatori, Indipendenza lineare di vettori. Esempi.

5. 26/09/2025 Equivalenza tra indipendenza lineare di vettori e impossibilità di scrivere uno dei vettori come combinazione lineare dei rimanenti. Definizione di base. Esempi.

6. 29/09/2025 Unicità della rappresentazione rispetto a una base. Esistenza di una base per qualunque spazio vettoriale, enunciato del teorema di completamento di una base. La numerosità di un insieme di generatori è sempre maggiore o uguale alla numerosità di un insieme di vettori linearmente indipendenti. Esempi.

7. 30/09/2025 Un insieme di vettori che genera una base genera tutto lo spazio. Teorema del completamento di una base con dimostrazione.

8. 01/10/2025 Dimensione di uno spazio vettoriale. Se uno spazio vettoriale V ha dimensione n, esistono al massimo n vettori linearmente indipendenti in V. Esercizi.

9. 02/10/2025 Sottospazio vettoriale. Caratterizzazione di un sottospazio vettoriale. Esempi.

10. 06/10/2025 L'intersezione di sottospazi è ancora un sottospazio.  Formula di Grassman e dimostrazione. Esempi.

11. 07/10/2025 Esercizi su sottospazi e formula di Grassman

12. 08/10/2025  Introduzione alle matrici: somma di matrici e prodotto per uno scalare. Lo spazio delle matrici reali mxn è un sottospazio. Matrici quadrate, triangolari inferiori e triangolari superiori.

13. 09/10/2025 Matrici diagonali, trasposta di una matrice, matrici simmetriche e antisimmetriche. Prodotto tra matrici. Esempi.

14. 10/10/2025 Prodotto tra matrici quadrate: elemento neutro e inversa. Esercitazione su sottospazi vettoriali e matrici.

15. 13/10/2025 Unicità della matrice inversa (se esiste). inversa del prodotto di matrici invertibili, potenza di una matrice. Introduzione ai sistemi lineari 

16. 14/10/2025 Procedura di eliminazione di Gauss. Rango di una matrice. Esempi.

17. 15/10/2025 Teorema di Rouchè Capelli. Esempi.

18. 16/10/2025 Sistemi omogenei: l'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è un sottospazio e ha dimensione pari al numero di variabili libere del sistema. Rango di una matrice come massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti (senza dimostrazione). Esempi.

19. 17/10/2025 Dimostrazione alternativa del teorema di Rouchè Capelli. Esercizi su sistemi lineari e sottospazi.

20. 20/10/2025  Applicazioni lineari: definizione. Una matrice definisce sempre un'applicazione lineare. Definizione di nucleo e immagine di un'applicazione lineare. Nucleo e Immagine sono sottospazi vettoriali. Esempi.

21. 21/10/2025 Sistema di generatori di Im(f). F:V->W è iniettiva se e solo se il suo nucleo è il solo vettore nullo ed è suriettiva se e solo se la sua immagine è pari a W . Esercizi

22. 22/10/2025 La somma della dimensione del kernel e dell'immagine di un'applicazione lineare f:V->W è pari alla dimensione di V. Isomorfismi. Esempi.

23. 23/10/2025 Funzione inversa. Applicazioni lineari e matrici: ad ogni applicazione lineare si può associare una matrice dipendente dalle basi scelte nello spazio di partenza e arrivo. Esempi

24. 24/10/2025 Matrice associata alla composizione di funzioni. Matrice del cambiamento di base. Esempi

25. 27/10/2025 Una matrice è invertibile se e solo se il suo rango è pari a n. Relazione tra matrici diverse associate ad applicazioni lineari.

26. 28/10/2025 Determinante di una matrice: definizione ed esempi. Esercizi sulle matrici associate ad applicazioni lineari

27. 29/10/2025 Proprietà del determinante. Esempi.

28. 30/10/2025 Proprietà del determinante. Connessione tra eliminazione di Gauss e determinante. Rango di una matrice rettangolare, minori orlati. 

29. 31/10/2025 Teorema di Kronecker. Calcolo esplicito della matrice inversa. Regola di Cramer per sistemi quadrati con un'unica soluzione. Esercizi

30. 4/11/2025 Autovalori e autovettori. Definizione. Autospazio relativo a un autovettore. Ogni autospazio è un sottospazio vettoriale. Una f ammette autovalore nullo se e solo se non è un isomorfismo. Esercizi.

31. 5/11/2025 Autovalori e autovettori di una matrice. Proprietà. Come si calcolano: polinomio caratteristico. Esempi.

32. 7/11/2025 (4h) Una f è semplice se e solo se esiste una base di autovettori. Molteplicità algebrica e geometrica di autovalori.  Esempi. Esercitazione 

33. 10/11/2025 Dimensione dello spazio somma degli autospazi relativi agli autovalori con dimostrazione.  Un endomorfismo è semplice se e solo se la somma delle molteplicità geometriche è n.

34. 11/11/2025 Prodotto scalare tra vettori: proprietà . Norma di un vettore e prime quattro proprietà con dimostrazione .

35. 12/11/2025 Dimostrazione della disuguaglianza triangolare.- Generalizzazione del concetto di angolo, distanza tra due vettori e ortogonalità. Vettori ortogonali sono linearmente indipendenti (con dimostrazione).

36. 13/11/2025 Basi ortonormali. Ortonormalizzazione di Gram Schmidt. Esempi

37. 14/11/25 Esercitazione su basi ortonormali e prodotto scalare

38. 17/11/25 Isometrie: definizione. Un endomorfismo è un'isometria se e solo se porta basi ortonormali in basi ortonormali. Matrici ortogonali. Un endomorfismo è un'isometria se e solo se la matrice ad essa associata rispetto a una base ortonormale è ortogonale. Esempi

39. 18/11/25  Definizione di matrice ortogonalmente diagonalizzabile. Una matrice ortogonalmente diagonalizzabile è simmetrica. Una matrice simmetrica ammette sempre autovalori reali (senza dimostrazione). Gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti di una matrice simmetrica sono ortogonali (con dimostrazione). Esempi ed esercizi.

40. 19/11/2025 Teorema spettrale con dimostrazione. Esempi

41. 20/11/2025 Esercitazione 

42. 21/11/2025 Forme Bilineari: definizione e proprietà. Matrice associata a una forma bilineare rispetto a basi diverse. Forme bilineari simmetrici. Ortogonalità rispetto a una forma bilineare. Vettori isotropi. 

43. 24/11/2025 Radicale rispetto a una forma bilineare. Forma bilineare degenere e non degenere. Una forma bilineare non degenere ha sempre associato una matrice di rango pieno. Esempi. Teorema di Sylvester (senza dimostrazione). Esempi.

44. 25/11/2025 Forme quadratiche e matrici associate. Definizione e proprietà. Forma polare di una forma bilineare. Forma canonica e forma normale di una forma quadratica.

45. 27/11/2025 Regola dei segni di Cartesio. Esempi