Geometria (I canale, anno accademico 2024/25) 

• Avviso : L'esame del 23/01 si svolgerà nelle aule 12 e 13 a via Scarpa alle ore 10 con la seguente divisione: Aula 12 : A-D'Alessandro Aula 13: D'Alessio - Z

• Ricevimento: Il ricevimento si terrà ogni mercoledì alle 14:30  previa prenotazione via email nell'ufficio del docente, sito in A109 presso il DIAG, via Ariosto 25.

• Orario delle lezioni: 

  1. 1. lunedì 8-9:30 aula 12 via Scarpa

     2. martedì 8-9:30 aula 12 via Scarpa

     3. mercoledì 8-9:30 aula 12 via Scarpa

     4. giovedì 8-9:30 aula 12 via Scarpa

     5. venerdì 8-9:30 aula 12 via Scarpa

• Link al corso su classroom: https://classroom.google.com/c/NzEzNzAyMDA4Mjk2?cjc=hravgwm

• Programma di massima (verrà dettagliato durante il corso):

  1. 2. 1.  Richiami: capitolo 1 del libro di testo: elementi di teoria degli insiemi, operazioni fra insiemi, insiemi numerici, principio di induzione, funzioni, operazioni e strutture algebriche

        2.  Spazi Vettoriali: capitolo 2 del libro di testo: vettori geometrici e loro proprietà, Spazi vettoriali, Indipendenza lineare e basi, Sottospazi. Sono in programma tutte le dimostrazioni tranne quelle di Proposizione 2.3.3, Proposizione 2.3.4.

        3.    Matrici : capitolo 3 del libro di testo, esclusa la dimostrazione della Proposizione 3.3.1.

        4.   Sistemi lineari: capitolo 4 del libro di testo, esclusa dimostrazione della Proposizione 4.5.1

        5.   Applicazioni lineari : capitolo 5 del libro di testo, escluso dimostrazione Proposizione 5.3.3, dimostrazione dell'Osservazione 5.3.2, dimostrazione Proposizione 5.3.7, dimostrazione Proposizione 5.3.8, osservazione 5.4.3, e Proposizione 5.4.3.

        6.  Determinanti: capitolo 6 del libro di testo, escluse dimostrazione della Proposizione 6.2.1 e della Proposizione 6.3.3, capitolo 6.4,  dimostrazione della Proposizione 6.5.1 e della Proposizione 6.5.3.

        7.   Autovalori e autovettori : capitolo 7 del libro di testo, escluse dimostrazione della Proposizione 7.3.2.

        8.  Spazi vettoriali Euclidei : capitolo 8 del libro di testo, esclusa dimostrazione della Proposizione 8.3.3 e dimostrazione della proposizione 8.5.1.

        9.  Geometria analitica nello spazio: capitolo 9 del libro di testo, esclusa dimostrazione della Proposizione 9.3.7 e dimostrazione del Corollario 9.3.1

        10.  Forme bilineari e quadratiche: capitolo 10 del libro di testo esclusa dimostrazione del Teorema 10.1.2, escluso capitolo 10.3.2

        11. Numeri complessi

• Testo Consigliato :  ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA ANALITICA, Autori: A. Bernardi, A. Gimigliano, casa editrice Città Studi Edizioni

• Modalità di esame: L'esame consisterà di una prova scritta contenente sia esercizi sia domande di teoria sull'intero programma. Le due parti hanno lo stesso peso e per passare l'esame si devono passare entrambe le parti.

Diario delle lezioni:

1. 23/09/2024 Introduzione al corso. Richiamo di nozioni di teoria degli insiemi. 

2. 24/09/2024 Principio di induzione. Esempio di dimostrazione per induzione. Funzioni: definizione, funzione identità, funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva. Operazioni interne, strutture algebriche, gruppo commutativo. Esempi.

3. 25/09/2024 Spazi vettoriali come generalizzazione dei vettori geometrici. Proprietà dell'operazione somma e del prodotto per uno scalare nello spazio dei vettori geometrici. Generalizzazione a R^n, definizione di spazio vettoriale generale. Spazio dei polinomi a coefficienti reali come esempio di spazio vettoriale.

4. 26/09/2024 Definizione di combinazione lineare, Sistema di generatori, Indipendenza lineare di vettori. Esempi.

5. 27/09/2024 Equivalenza tra indipendenza lineare di vettori e impossibilità di scrivere uno dei vettori come combinazione lineare dei rimanenti. Definizione di base. Esempi.

6. 30/09/2024 Unicità della rappresentazione rispetto a una base. Esistenza di una base per qualunque spazio vettoriale. La numerosità di un insieme di generatori è sempre maggiore o uguale alla numerosità di un insieme di vettori linearmente indipendenti. Esempi.

7. 01/10/2024 Teorema del completamento di una base con dimostrazione.

8. 02/10/2024 Esercizi sul teorema di completamento di una base, basi diverse di uno stesso spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi, dimensione di uno spazio vettoriale. In uno spazio vettoriale di dimensione n ci sono al più n vettori linearmente indipendente e qualunque insieme di n vettori linearmente indipendenti costituisce una base dello spazio.

9. 04/10/2024 (4 h) Sottospazio vettoriale. Caratterizzazione di un sottospazio vettoriale. Esempi. L'intersezione di sottospazi è ancora un sottospazio.

10. 07/10/2024 Formula di Grassman e dimostrazione

11. 08/10/2024 Esercizi sui sottospazi vettoriali.

12. 09/10/2024 Esercizi sui sottospazi vettoriali. Introduzione alle matrici: somma di matrici e prodotto per uno scalare. Lo spazio delle matrici reali mxn è un sottospazio. Matrici quadrate, triangolari inferiori e triangolari superiori.

13. 10/10/2024 Matrici diagonali, trasposta di una matrice, matrici simmetriche e antisimmetriche. Prodotto tra matrici. Esempi.

14. 11/10/2024 Prodotto tra matrici quadrate: elemento neutro e inversa. Unicità della matrice inversa (se esiste). Esercitazione su sottospazi vettoriali e matrici.

15. 14/10/2024 inversa del prodotto di matrici invertibili, potenza di una matrice. Introduzione ai sistemi lineari 

16. 15/10/2024 Procedura di eliminazione di Gauss. Esempi.

17. 16/10/2024 Teorema di Rouchè Capelli. Esempi.

18. 17/10/2024 Sistemi omogenei: l'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è un sottospazio e ha dimensione pari al numero di variabili libere del sistema. Rango di una matrice come massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti (senza dimostrazione). Esempi.

19. 18/10/2024 Dimostrazione alternativa del teorema di Rouchè Capelli. Esercizi su sistemi lineari e sottospazi.

20. 21/10/2024 Applicazioni lineari: definizione. Una matrice definisce sempre un'applicazione lineare. Definizione di nucleo e immagine di un'applicazione lineare. Nucleo e Immagine sono sottospazi vettoriali. Esempi.

21. 22/10/2024 Sistema di generatori di Im(f). F:V->W è iniettiva se e solo se il suo nucleo è il solo vettore nullo ed è suriettiva se e solo se la sua immagine è pari a W . Esercizi

22. 23/10/2024 La somma della dimensione del kernel e dell'immagine di un'applicazione lineare f:V->W è pari alla dimensione di V. Isomorfismi. Esempi.

23. 24/10/2024 Funzione inversa. Applicazioni lineari e matrici: ad ogni applicazione lineare si può associare una matrice dipendente dalle basi scelte nello spazio di partenza e arrivo. Esempi

24. 25/10/2024  Matrice associata alla composizione di funzioni. Matrice del cambiamento di base. Esempi

25. 29/10/2024 Una matrice è invertibile se e solo se il suo rango è pari a n. Relazione tra matrici diverse associate ad applicazioni lineari.

26. 30/10/2024 Determinante di una matrice: definizione ed esempi. Esercizi sulle matrici associate ad applicazioni lineari

27. 31/10/2024 Proprietà del determinante. Esempi.

28. 4/11/2024 Connessione tra eliminazione di Gauss e determinante. Rango di una matrice rettangolare, minori orlati. Teorema di Kronecker (senza dimostrazione)

29. 5/11/2024 Teorema di Kronecker. Calcolo esplicito della matrice inversa. Regola di Cramer per sistemi quadrati con un'unica soluzione. Esercizi

30. 6/11/2024 Autovalori e autovettori. Definizione. Autospazio relativo a un autovettore. Ogni autospazio è un sottospazio vettoriale. Una f ammette autovalore nullo se e solo se non è un isomorfismo. Esercizi.

31. 7/11/2024 Autovalori e autovettori di una matrice. Proprietà. Come si calcolano: polinomio caratteristico. Esempi.

32. 11/11/2024 Una f è semplice se e solo se esiste una base di autovettori. Molteplicità algebrica e geometrica di autovalori.  Esempi.

33. 12/11/2024 Dimensione dello spazio somma degli autospazi relativi agli autovalori con dimostrazione.  Un endomorfismo è semplice se e solo se la somma delle molteplicità geometriche è n.

34. 13/11/2024 Prodotto scalare tra vettori: proprietà . Norma di un vettore e prime quattro proprietà con dimostrazione .

35. 14/11/2024 Dimostrazione della disuguaglianza triangolare.- Generalizzazione del concetto di angolo, distanza tra due vettori e ortogonalità. Vettori ortogonali sono linearmente indipendenti (con dimostrazione).

36. 15/11/2024 Definizione di spazio ortogonale a un vettore e spazio ortogonale a un sottospazio vettoriale. Dimostrazione che sono sottospazi. Esempi Procedura per calcolare lo spazio ortogonale a un sottospazio, sia quando il sottospazio è definito tramite generatori, che quando è definito come soluzione di un sistema omogeneo.

37. 18/11/2024 Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Dimostrazione che genera un insieme di vettori ortonormali. Esempi

38. 19/11/2024 Esercizi su ortogonalizzazione e prodotti scalari

39. 20/11/2024 Isometrie: definizione. Un endomorfismo è un'isometria se e solo se porta basi ortonormali in basi ortonormali. Matrici ortogonali. Un endomorfismo è un'isometria se e solo se la matrice ad essa associata rispetto a una base ortonormale è ortogonale. Esempi

40. 21/11/2024 

41. 22/11/2024 (4 ore) Teorema spettrale con dimostrazione. Esercitazione su ortogonalizzazione.

42. 25/11/2024 Equazione cartesiana e parametrica di un piano nello spazio. Esempi

43. 26/11/2024 Piano per tre punti. Piani paralleli. Esempi.

44. 27/11/2024 Piani perpendicolari. Equazione cartesiana e parametrica di una retta nello spazio. Retta per due punti. Esempi

45. 28/11/2024 Come calcolare il vettore direttore di una retta. Posizioni reciproche di rette e di rette e piani. Esercizi.

46. 29/11/2024  Retta e piano perpendicolari, condizione di perpendicolarità, distanza di un punto da un piano. Esercizi

47. 02/12/2024  Distanza tra piani paralleli. Fasci di piani. Piano passante per un punto e parallelo a due rette non parallele. 

48. 03/12/2024 Prodotto vettoriale. Proprietà e utilizzo. Esercizi.

49. 04/12/2024 Forme Bilineari: definizione e proprietà. Matrice associata a una forma bilineare rispetto a basi diverse. Forme bilineari simmetrici. Ortogonalità rispetto a una forma bilineare. Vettori isotropi. 

50. 05/12/2024 Radicale rispetto a una forma bilineare. Forma bilineare degenere e non degenere. Una forma bilineare non degenere ha sempre associato una matrice di rango pieno. Esempi. Teorema di Sylvester (senza dimostrazione). Esempi.

51. 06/12/2024 Forme quadratiche e matrici associate. Definizione e proprietà. Forma polare di una forma bilineare. Forma canonica e forma normale di una forma quadratica.

52. 09/12/2024 (4h) Regola dei segni di Cartestio e forma normale di una forma quadratica. Coniche: classificazione e riduzione in forma canonica

53. 10/12/2024 Esericizi sulle coniche. Quadriche : classificazione ed esempi

54. 11/12/2024 Esercizio sulle quadriche. Numeri complessi: introduzione e operazioni di somma e prodotto tra numeri complessi. Coniugato di un numero complesso. Proprietà dei coniugati. Rappresentazione cartesiana.

55. 13/12/2024 Rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi. Teorema di De Moivre con dimostrazione. Radice di un numero complesso. Rappresentazione esponenziale. Teorema fondamentale dell'algebra.

56. 16/12/2024 Esercizi sui numeri complessi

57. 17/12/2024 Simulazione di esame

58. 19/12/2024 (4h) preappello