Geometria (I canale, anno accademico 2023/24) 

• DATA APPELLO STRAORDINARIO: 3/04/2024 Aula "Tullio Levi-Civita" - G. Castelnuovo CU006 ore 16:00

• Ricevimento: Il ricevimento si terrà ogni mercoledì alle 14:30  previa prenotazione via email nell'ufficio del docente, sito in A109 presso il DIAG, via Ariosto 25.

• Orario delle lezioni: 

  1. 1. lunedì 8-9:30 aula 12 via Scarpa

     2. martedì 8-9:30 aula 12 via Scarpa

     3. mercoledì 8-9:30 aula 12 via Scarpa

     4. giovedì 8-9:30 aula 12 via Scarpa

     5. venerdì 8-9:30 aula 12 via Scarpa

• Link al corso su classroom: https://classroom.google.com/c/NjI0OTI4NTg5OTE4?cjc=3nfsdpy

• Programma di massima (verrà dettagliato durante il corso):

  1. 2. 1.  Richiami: capitolo 1 del libro di testo: elementi di teoria degli insiemi, operazioni fra insiemi, insiemi numerici, principio di induzione, funzioni, operazioni e strutture algebriche

        2.  Spazi Vettoriali: capitolo 2 del libro di testo: vettori geometrici e loro proprietà, Spazi vettoriali, Indipendenza lineare e basi, Sottospazi. Sono in programma tutte le dimostrazioni tranne quelle di Proposizione 2.3.3, Proposizione 2.3.4.

        3.    Matrici : capitolo 3 del libro di testo, esclusa la dimostrazione della Proposizione 3.3.1.

        4.   Sistemi lineari: capitolo 4 del libro di testo, esclusa dimostrazione della Proposizione 4.5.1

        5.   Applicazioni lineari : capitolo 5 del libro di testo, escluso dimostrazione Proposizione 5.3.3, dimostrazione dell'Osservazione 5.3.2, dimostrazione Proposizione 5.3.7, dimostrazione Proposizione 5.3.8, osservazione 5.4.3, e Proposizione 5.4.3.

        6.  Determinanti: capitolo 6 del libro di testo, escluse dimostrazione della Proposizione 6.2.1 e della Proposizione 6.3.3, capitolo 6.4,  dimostrazione della Proposizione 6.5.1 e della Proposizione 6.5.3.

        7.   Autovalori e autovettori : capitolo 7 del libro di testo, escluse dimostrazione della Proposizione 7.3.2.

        8.  Spazi vettoriali Euclidei : capitolo 8 del libro di testo, esclusa dimostrazione della Proposizione 8.3.3 e dimostrazione della proposizione 8.5.1.

        9.  Geometria analitica nello spazio: capitolo 9 del libro di testo, esclusa dimostrazione della Proposizione 9.3.7 e dimostrazione del Corollario 9.3.1

        10.  Forme bilineari e quadratiche: capitolo 10 del libro di testo esclusa dimostrazione del Teorema 10.1.2, escluso capitolo 10.3.2

• Testo Consigliato :  ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA ANALITICA, Autori: A. Bernardi, A. Gimigliano, casa editrice Città Studi Edizioni

• Modalità di esame: L'esame consisterà di una prova scritta contenente sia esercizi sia domande di teoria sull'intero programma. Le due parti hanno lo stesso peso e per passare l'esame si devono passare entrambe le parti.

Diario delle lezioni:

1. 25/09/2023 Introduzione al corso. Richiamo di nozioni di teoria degli insiemi. 

2. 26/09/2023 Principio di induzione. Esempio di dimostrazione per induzione. Funzioni: definizione, funzione identità, funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva. Operazioni interne, strutture algebriche, gruppo commutativo. Esempi.

3. 27/09/2023 Spazi vettoriali come generalizzazione dei vettori geometrici. Proprietà dell'operazione somma e del prodotto per uno scalare nello spazio dei vettori geometrici. Generalizzazione a R^n, definizione di spazio vettoriale generale. Spazio dei polinomi a coefficienti reali come esempio di spazio vettoriale.

4. 28/09/2023 Definizione di combinazione lineare, Sistema di generatori, Indipendenza lineare di vettori. Esempi.

5. 29/09/2023 Equivalenza tra indipendenza lineare di vettori e impossibilità di scrivere uno dei vettori come combinazione lineare dei rimanenti. Definizione di base. Esempi.

6. 02/10/2023 Unicità della rappresentazione rispetto a una base. Esistenza di una base per qualunque spazio vettoriale, enunciato del teorema di completamento di una base. La numerosità di un insieme di generatori è sempre maggiore o uguale alla numerosità di un insieme di vettori linearmente indipendenti. Esempi.

7. 03/10/2023 Teorema del completamento di una base con dimostrazione.

8. 04/10/2023 Dimensione di uno spazio vettoriale. Se uno spazio vettoriale V ha dimensione n, esistono al massimo n vettori linearmente indipendenti in V. Esercizi.

9. 05/10/2023 Sottospazio vettoriale. Caratterizzazione di un sottospazio vettoriale. Esempi.

10. 06/10/2023  L'intersezione di sottospazi è ancora un sottospazio. Spazio somma. Formula di Grassman con dimostrazione.

11. 09/10/2023 Esercizi sui sottospazi vettoriali

12. 10/10/2023 Matrici: definizione. Operazioni di somma e prodotto per uno scalare e proprietà. Lo spazio delle matrici come spazio vettoriale. Matrici quadrate, triangolari, diagonali, trasposta di una matrice, matrici simmetriche e antisimmetriche. Spazio delle righe e delle colonne. Esempi.

13. 11/10/2023 Prodotto tra matrici. Proprietà ed esempio di utilizzo.

14. 12/10/2023 Prodotto tra matrici quadrate: elemento neutro e inversa. Unicità della matrice inversa (se esiste), inversa del prodotto di matrici invertibili, potenza di una matrice. Esempi

15. 12/10/2023 Esercitazione su sottospazi vettoriali e matrici.

16. 13/10/2023 Introduzione ai sistemi lineari 

17. 16/10/2023 Procedura di eliminazione di Gauss. Esempi.

18. 18/10/2023 Teorema di Rouchè Capelli. Esempi.

19. 19/10/2023 Sistemi omogenei: l'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è un sottospazio e ha dimensione pari al numero di variabili libere del sistema. Rango di una matrice come massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti (senza dimostrazione).  Dimostrazione del teorema di Rouchè-Capelli tramite il concetto di rango.

20. 20/10/2023 Esercitazione sui sistemi lineari

21. 23/10/2023 Applicazioni lineari. Nucleo e Immagine di un'applicazione lineare: definizione e dimostrazione che sono sottospazi vettoriali. Esempi

22. 24/10/2023  Sistema di generatori di Im(f). F:V->W è iniettiva se e solo se il suo nucleo è il solo vettore nullo ed è suriettiva se e solo se la sua immagine è pari a W . Esercizi

23. 25/10/2023 La somma della dimensione del kernel e dell'immagine di un'applicazione lineare f:V->W è pari alla dimensione di V. Isomorfismi. Esempi.

24. 26/10/2023 Funzione inversa. Applicazioni lineari e matrici: ad ogni applicazione lineare si può associare una matrice dipendente dalle basi scelte nello spazio di partenza e arrivo. Il rango di questa matrice corrisponde alla dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare. Esempi

25. 27/10/2023 Matrice associata alla composizione di funzioni. Matrice del cambiamento di base. Esempi

26. 30/10/2023 Esercitazione su sottospazi e applicazioni lineari

27. 31/10/2023 Una matrice è invertibile se e solo se ha rango massimo. Esercizi. Relazione tra matrici associate alla stessa applicazione lineare. Matrici simili

28. 2/11/2023 Determinante di una matrice: definizione. Esempi ed esercizi.

29. 3/11/2023 Proprietà del determinante. Esempi.

30. 6/11/2023 Connessione tra eliminazione di Gauss e determinante. Rango di una matrice rettangolare, minori orlati.

31. 7/11/2023 Teorema di Kronecker. Calcolo esplicito della matrice inversa. Regola di Cramer per sistemi quadrati con un'unica soluzione. Esercizi

32. 8/11/2023 Autovalori e autovettori. Definizione. Autospazio relativo a un autovettore. Ogni autospazio è un sottospazio vettoriale. Una f ammette autovalore nullo se e solo se non è un isomorfismo. Esercizi.

33. 9/11/2023 Proprietà degli autovalori. Come si calcolano autovalori e autovettori. Esempi.

34. 10/11/2023 Endomorfismi semplici e matrici diagonalizzabili. Una f è semplice se e solo se esiste una base di autovettori. Molteplicità algebrica e geometrica di autovalori.  Esempi.

35. 13/11/2023 prima parte. Dimensione dello spazio somma degli autospazi relativi agli autovalori con dimostrazione.  Un endomorfismo è semplice se e solo se la somma delle molteplicità geometriche è n.

36. 13/11/2023 seconda parte Esercizi su autovalori e autovettori e su funzioni semplici e matrici diagonalizzabili. 

37. 15/11/2023 Prodotto scalare tra vettori: proprietà . Norma di un vettore e prime quattro proprietà con dimostrazione .

38. 16/11/2023 Dimostrazione della disuguaglianza triangolare.- Generalizzazione del concetto di angolo, distanza tra due vettori e ortogonalità. Vettori ortogonali sono linearmente indipendenti (con dimostrazione). 

39. 17/11/2023 Definizione di spazio ortogonale a un vettore e spazio ortogonale a un sottospazio vettoriale. Dimostrazione che sono sottospazi. Esempi Procedura per calcolare lo spazio ortogonale a un sottospazio, sia quando il sottospazio è definito tramite generatori, che quando è definito come soluzione di un sistema omogeneo.

40. 20/11/2023 Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Dimostrazione che genera un insieme di vettori ortonormali. Esempi

41. 21/11/2023 Esercizi su ortogonalizzazione e prodotti scalari.

42. 22/11/2023 Isometrie. Definizione. Un endomorfismo è un'isometria se e solo se porta basi ortonormali in basi ortonormali. Matrici ortogonali.  Un endomorfismo è un'isometria se e solo se la matrice ad esso associata rispetto a una base ortonormale è ortogonale. Esempi.

43. 23/11/2023 Definizione di matrice ortogonalmente diagonalizzabile. Una matrice ortogonalmente diagonalizzabile è simmetrica. Una matrice simmetrica ammette sempre autovalori reali (senza dimostrazione). Gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti di una matrice simmetrica sono ortogonali (con dimostrazione). Esempi ed esercizi.

44. 24/11/2023 Teorema spettrale con dimostrazione 

45. 27/11/2023 Esercitazioni su matrici ortogonalmente diagonalizzabili

46. 28/11/2023 Isomorfismo tra lo spazio dei vettori geometrici e R^3. Equazione cartesiana di un piano (con dimostrazione).

47. 29/11/2023 Equazioni parametriche del piano. Equazione di un piano passante per 3 punti distinti e non allineati. Esercizi.

48. 30/11/2023 Posizioni reciproche di piani nello spazio. Esempi. Equazioni cartesiane e parametriche delle rette

49. 1/12/2023  Come calcolare il vettore direttore di una retta. Posizioni reciproche di rette e di rette e piani. Esercizi.

50. 4/12/2023 Retta e piano perpendicolari, condizione di perpendicolarità, distanza di un punto da un piano. Esercizi

51. 5/12/2023  Fasci di piani. Distanza tra piani paralleli. Fasci di piani. Piano passante per un punto e parallelo a due rette non parallele. Prodotto vettoriale. Esempi. 

52. 6/12/2023 Prodotto vettoriale. Esempi ed esercizi.

53. 7/12/2023 Forme bilineari. Rappresentazione tramite matrice di una forma bilineare. Forme bilineari simmetriche. Ortogonalità rispetto a una forma bilineare simmetrica.

54. 11/12/2023 Radicale rispetto a una forma bilineare. Forma bilineare degenere e non degenere. Una forma bilineare non degenere ha sempre associato una matrice di rango pieno. Esempi. Teorema di Sylvester (senza dimostrazione). Esempi.

55. 12/12/2023 Forme Quadratiche. Definizione e proprietà. Forma polare di una forma bilineare. Forma canonica e forma normale di una forma quadratica.

56. 14/12/2023 8-10 Completamento dei quadrati. Esempi. Coniche: classificazione.

57. 14/12/2023 10-12 Trasformazione delle coniche tramite isometria e traslazione. Forma canonica. Esempi.

58. 15/12/2023 Quadriche: classificazione. Trasformazione delle quadriche tramite isometria e traslazione. Esempi.

59. 18/12/2023 Esercitazione

60. 20/12/2023 8-10 Simulazione di esame

61. 20/12/2023 10-12 Correzione simulazione di esame