Geometria I (I canale, anno accademico 2022/23) 

• AVVISO: lunedì 31 ottobre non ci sarà lezione

• Ricevimento: Il ricevimento si terrà ogni mercoledì alle 14:30  previa prenotazione via email nell'ufficio del docente, sito in A109 presso il DIAG, via Ariosto 25.

• Orario delle lezioni: 

  1. 1. lunedì 8-9:30 aula 12 via Scarpa

     2. martedì 8-9:30 aula 12 via Scarpa

     3. mercoledì 8-9:30 aula 12 via Scarpa

     4. giovedì 8-9:30 aula 12 via Scarpa

     5. venerdì 8-9:30 aula 12 via Scarpa

• Link al corso su classroom: https://classroom.google.com/u/1/c/NTQ5NDM0NTk0Nzg0

• Programma di massima (verrà dettagliato durante il corso):

  1. 2. 1.  Richiami: capitolo 1 del libro di testo: elementi di teoria degli insiemi, operazioni fra insiemi, insiemi numerici, principio di induzione, funzioni, operazioni e strutture algebriche

        2.  Spazi Vettoriali: capitolo 2 del libro di testo: vettori geometrici e loro proprietà, Spazi vettoriali, Indipendenza lineare e basi, Sottospazi. Sono in programma tutte le dimostrazioni tranne quelle di Proposizione 2.3.3, Proposizione 2.3.4.

        3.    Matrici : capitolo 3 del libro di testo, esclusa la dimostrazione della Proposizione 3.3.1.

        4.   Sistemi lineari: capitolo 4 del libro di testo, esclusa dimostrazione della Proposizione 4.5.1

        5.   Applicazioni lineari : capitolo 5 del libro di testo, escluso dimostrazione Proposizione 5.3.3, dimostrazione dell'Osservazione 5.3.2, dimostrazione Proposizione 5.3.7, dimostrazione Proposizione 5.3.8, osservazione 5.4.3, e Proposizione 5.4.3.

        6.  Determinanti: capitolo 6 del libro di testo, escluse dimostrazione della Proposizione 6.2.1 e della Proposizione 6.3.3, capitolo 6.4,  dimostrazione della Proposizione 6.5.1 e della Proposizione 6.5.3.

        7.   Autovalori e autovettori : capitolo 7 del libro di testo, escluse dimostrazione della Proposizione 7.3.2, dimostrazione della Proposizione 7.4.2.

        8.  Spazi vettoriali Euclidei : capitolo 8 del libro di testo, esclusa dimostrazione della Proposizione 8.2.2, 8.3.3 e dimostrazione della proposizione 8.5.1.

        9.  Geometria analitica nello spazio: capitolo 9 del libro di testo, esclusa dimostrazione della Proposizione 9.3.7 e dimostrazione del Corollario 9.3.1

        10.  Forme bilineari e quadratiche: capitolo 10 del libro di testo esclusa dimostrazione del Teorema 10.1.2, escluso capitolo 10.3.2

• Testo Consigliato :  ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA ANALITICA, Autori: A. Bernardi, A. Gimigliano, casa editrice Città Studi Edizioni

• Modalità di esame: L'esame consisterà di una prova scritta contenente sia esercizi sia domande di teoria sull'intero programma

Diario delle lezioni:

1. 27/09/2022 Introduzione al corso. Richiamo di nozioni di teoria degli insiemi.

2. 28/09/2022 Principio di induzione. Esempio di dimostrazione per induzione. Funzioni: definizione, funzione identità, funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva. Operazioni interne, strutture algebriche, gruppo commutativo. Esempi.

3. 29/09/2022 Spazi vettoriali come generalizzazione dei vettori geometrici. Proprietà dell'operazione somma e del prodotto per uno scalare nello spazio dei vettori geometrici. Generalizzazione a R^n, definizione di spazio vettoriale.

4. 30/09/2022 Definizione di combinazione lineare di vettori, definizione di sistema di generatori, definizione di indipendenza lineare tra vettori. Esercizi.

5. 03/10/2022 Equivalenza tra indipendenza lineare di vettori e impossibilità di scrivere uno dei vettori come combinazione lineare dei rimanenti. Definizione di base. Esempi.

6. 04/10/2022 Unicità della rappresentazione rispetto a una base. Esistenza di una base per qualunque spazio vettoriale, enunciato del teorema di completamento di una base. La numerosità di un insieme di generatori è sempre maggiore o uguale alla numerosità di un insieme di vettori linearmente indipendenti. Esempi.

7. 05/10/2022 Dimostrazione del teorema di completamento di una base. Esempi.

8. 06/10/2022 Dimensione di uno spazio vettoriale. Se uno spazio vettoriale V ha dimensione n, esistono al massimo n vettori linearmente indipendenti in V. Esercizi.

9. 07/10/2022 Sottospazi vettoriali: definizioni e proprietà. Sottospazio generato da un insieme di vettori. Esercizi.

10. 10/10/2022 L'intersezione di sottospazi è ancora un sottospazio. Spazio somma. Formula di Grassman con dimostrazione.

11. 11/10/2022 Esercizi sui sottospazi vettoriali 

12. 12/10/2022 Matrici: definizione. Operazioni di somma e prodotto per uno scalare e proprietà. Lo spazio delle matrici come spazio vettoriale. Matrici quadrate, triangolari, diagonali, trasposta di una matrice, matrici simmetriche e antisimmetriche. Spazio delle righe e delle colonne. Esempi.

13. 13/10/2022 Prodotto tra matrici e sue proprietà. Esempi di utilizzo del prodotto tra matrici

14. 14/10/2022 Prodotto di matrici nel caso di matrici quadrate. Proprietà, esistenza dell'elemento neutro. Inversa di una matrice e sua unicità. Esempi.

15. 17/10/2022 Inversa di un prodotto di matrici invertibili. Potenza di una matrice quadrata. Esempi. Introduzione ai sistemi lineari.

16. 18/10/2022 Esempi di procedura di eliminazione di Gauss. Algoritmo di eliminazione di Gauss.

17. 19/10/2022 Rango di una matrice. Teorema di Rouchè Capelli. Esempi

18. 20/10/2022 Sistemi omogenei: l'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è un sottospazio e ha dimensione pari al numero di variabili libere del sistema. Esempi. Rango di una matrice come massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti (senza dimostrazione). 

19. 21/10/2022 Dimostrazione del teorema di Rouchè Capelli tramite il concetto di rango inteso come massimo numero di colonne della matrice linearmente indipendenti. Esercizi di riepilogo.

20. 24/10/2022 Applicazioni lineari: definizione. Esempi. Immagine e nucleo di un'applicazione lineare: definizione e dimostrazione che sono sottospazi. Esempi.

21. 25/10/2022 Sistema di generatori di Im(f). F:V->W è iniettiva se e solo se il suo nucleo è il solo vettore nullo ed è suriettiva se e solo se la sua immagine è pari a W . Esercizi

22. 26/10/2022 La somma della dimensione del kernel e dell'immagine di un'applicazione lineare f:V->W è pari alla dimensione di V. Isomorfismi e funzioni inverse. Esempi.

23. 27/10/2022 Matrice associata a un'applicazione lineare tra spazi vettoriali a dimensione finita. Esempi. Determinazione di immagine e nucleo tramite la matrice. Esempi.

24. 28/10/2022 Matrice associata alla composizione di applicazioni lineari. Matrice del cambiamento di base. Esempi ed esercizi.

25. 02/11/2022 Esercizi di riepilogo su sottospazi e applicazioni lineari.

26. 03/11/2022 1 parte Una matrice è invertibile se e solo se ha rango massimo. Esercizi. Relazione tra matrici associate alla stessa applicazione lineare. Matrici simili

27. 03/11/2022 2 parte Esercizi. Definizione di determinante di una matrice. Esempi.

28. 04/11/2022 Proprietà del determinante con dimostrazioni. Esempi 

29. 07/11/2022 1 parte Applicazioni del determinante: calcolo del rango di matrici quadrate, orlatura di minori. Esercizi.

30. 07/11/2022 2 parte Calcolo esplicito della matrice inversa. Regola di Cramer per la soluzione di sistemi quadrati con soluzione unica. Esempi

31. 08/11/2022 Autovalori e autovettori di una applicazione lineare. Autospazio associato a un autovalore: definizione e dimostrazione che è un sottospazio. Un endomorfismo ammette autovalore nullo se e solo se non è un isomorfismo. Esercizi. 

32. 09/11/2022 Proprietà degli autovalori. Come si calcolano autovalori e autovettori. Esempi.

33. 10/11/2022 Endomorfismi semplici e matrici diagonalizzabili. Esempi.

34. 11/11/2022 Molteplicità algebrica e geometrica di autovalori. Dimensione dello spazio somma degli autospazi relativi agli autovalori. Un endomorfismo è semplice se e solo se la somma delle molteplicità geometriche è n. Esempi

35. 14/11/2022 Prodotto scalare tra vettori: proprietà . Norma di un vettore e sue proprietà con dimostrazione.

36. 15/11/2022 Generalizzazione del concetto di angolo, distanza tra due vettori e ortogonalità. Vettoriortogonali sono linearmente indipendenti (con dimostrazione). Definizione di spazio ortogonale a un vettore e spazio ortogonale a un sottospazio vettoriale. Dimostrazione che sono sottospazi. Esempi

37. 16/11/2022 Procedura per calcolare lo spazio ortogonale a un sottospazio, sia quando il sottospazio è definito tramite generatori, che quando è definito come soluzione di un sistema omogeneo.  Basi ortonormali e proprietà. Ortonormalizzazione di Gram Schmidt.

38. 17/11/2022 Proprietà della ortonormalizzazione di Gram Schmidt. Uno spazio vettoriale euclideo ammette sempre una base ortonormale e un insieme di vettore ortonormali può sempre essere aumentato a una base ortonormale. Esempi.

39. 18/11/2022 Esercizi su prodotto scalare e basi ortonormali.

40. 21/11/2022 Definizione di isometria. Un endomorfismo deve essere isomorfismo per essere un'isometria e deve portare basi ortonormali in basi ortonormali. Matrici ortogonali. Esempi.

41. 23/11/2022 Definizione di matrice ortogonalmente diagonalizzabile. Una matrice ortogonalmente diagonalizzabile è simmetrica. Una matrice simmetrica ammette sempre autovalori reali (senza dimostrazione). Gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti di una matrice simmetrica sono ortogonali (con dimostrazione). Esempi ed esercizi.

42. 24/11/2022 Dimostrazione del teorema spettrale. Esempio numerico.

43. 25/11/2022 Esercizi sulle matrici ortogonalmente diagonalizzabili.

44. 28/11/2022 Isomorfismo tra lo spazio dei vettori geometrici e R^3. Equazione cartesiana ed equazione parametrica di un piano (con dimostrazione).

45. 29/11/2022 Equazione di un piano passante per 3 punti distinti e non allineati. Piani paralleli e piani incidenti. Esercizi.

46. 30/11/2022 Condizione di perpendicolarità tra piani. Equazioni cartesiane e parametriche di una retta. Retta passante per due punti. Esercizi.

47. 1/12/2022 Come calcolare il vettore direttore di una retta. Posizioni reciproche di rette e di rette e piani. Esercizi.

48. 2/12/2022 Retta e piano perpendicolari, condizione di perpendicolarità, distanza di un punto da un piano. Esercizi

49. 5/12/2022 Distanza tra piani paralleli. Fasci di piani. Piano passante per un punto e parallelo a due rette non parallele. Prodotto vettoriale. Esempi. 

50. 7/12/2022 Uso del prodotto vettoriale. Esempi. Introduzione alle forme bilineari: definizione e proprietà. Rappresentazione tramite matrice di una forma bilineare.

51. 12/12/2022 Forme bilineari simmetriche. ortogonalità rispetto a una forma bilineare simmetrica. Radicale di V. Forma bilineare degenere e non degenere. Una forma bilineare non degenere ha sempre associato una matrice di rango pieno. Esempi.

52. 13/12/2022 Teorema di Sylvester (senza dimostrazione). Esempi. Introduzione alle forme quadratiche. 

53. 14/12/2022 Proprietà delle forme quadratiche. Forma quadratica non degenere, rango della forma quadratica, vettori isotropi.  Forme quadratiche simmetriche. Classificazione delle forme quadratiche. Forma canonica e forma normale. Regola dei segni di Cartesio.

54. 15/12/2022 Completamento dei quadrati. Esempi. Coniche: classificazione.

55. 16/12/2022 Trasformazione delle coniche tramite isometria e traslazione. Forma canonica. Quadriche: classificazione. Esempi.

56. 19/12/2022 Esercizi su coniche e quadriche.

57. 20/12/2022 8-10 Simulazione di esame

58. 20/12/2002 10-12 Correzione simulazione di esame

59. 21/12/2022 Esercizi di riepilogo.

60. 22/12/2022 Ricevimento collettivo