Seminari passati

Modelli di crescita su reticolo

[Probabilità]

Cosa accade se lasciamo cadere della sabbia su una superficie piccola che non può contenerla tutta? In che modo presa una miscela di acqua e olio le due componenti si separano? A cosa è dovuta la strana forma dei coralli? E quella delle colonie batteriche?

In questo talk presenterò alcuni Modelli di Crescita sul reticolo, modelli matematici che utilizzando concetti semplici di probabilità e le giuste intuizioni permettono di ottenere risultati sorprendenti. Si precisa che verranno meticolosamente evitati tutti i calcoli.

Calcolo parallelo e ottimizzazione senza gradiente

[Analisi numerica / calcolo scientifico]

Il seminario sarà diviso in due parti quasi indipendenti. Nella prima parte parleremo di calcolo parallelo, delle differenze tra CPU (central processing unit) e GPU (graphics processing unit) e in particolare illustreremo tramite esempi pratici il paradigma di programmazione CUDA, utilizzato per implementare algoritmi su GPU NVIDIA. Nella seconda parte introdurremo alcuni metodi per la soluzione numerica di problemi di ottimizzazione che non fanno uso delle derivate. Questi metodi sono particolarmente utili quando si ha a che fare con problemi non regolari oppure quando è troppo complicato calcolare i gradienti esplicitamente. In conclusione, faremo la sintesi delle due parti con un'implementazione in parallelo di questi algoritmi di ottimizzazione.

Geometria iperbolica e superfici

[Geometria]

Cosa succede se rimuoviamo l'assioma delle parallele dalla geometria euclidea? Scopriamo un nuovo ricchissimo mondo in cui tante cose amene accadono: rette parallele divergono all'infinito, i triangoli sono completamente determinati dall'ampiezza dei loro angoli e le omotetie non cambiano l'area delle figure. Nella prima parte di questo seminario introdurremo il modello del piano iperbolico impiegando un approccio sintetico e ne illustreremo le principali proprietà. Nella seconda parte illustreremo come l'interazione tra topologia e geometria sia eccezionalmente ricca in geometria iperbolica. Ripasseremo la classificazione topologica delle superfici chiuse orientabili in base al genere e ne studieremo la geometrizzazione: vedremo quali di esse, e perché, ammettono una cosiddetta metrica iperbolica e scopriremo come "contare" tali metriche introducendo rudimentalmente lo spazio di Teichmuller di una superficie chiusa orientabile.  

Ombre e trasformazioni geometriche

[Didattica della matematica]

Osserveremo insieme come cambiano le proprietà dell'ombra di un oggetto a seconda della sorgente luminosa e della posizione reciproca dell'oggetto e dello schermo su cui è proiettata l'ombra. A partire da questo esempio, approfondiremo la didattica della matematica di Emma Castelnuovo e le sue Esposizioni di matematica. Infine, scopriremo in che modo questo strumento didattico può influire sull'atteggiamento verso la matematica dei partecipanti. 

The Physics of the Hopfield Neural Network

[Machine learning / fisica matematica]

How do we recognize faces? How do we divide people into groups if they are not all friends with each other? How do magnets work? Introduced back in 1982 as a neural network realization of an associative memory model, the Hopfield Network has since then only risen in popularity, eventually culminating in the attribution of the 2024 Physics Nobel Prize. It also relates to all of the above questions. In this talk, we will learn how the model works, why it is so important and how it is developed and worked on today, serving as a prime example of Mathematics' key role as an interdisciplinary science: here linking Physics, Neuroscience and AI all together.

(Questo seminario è in inglese)

Combinatoria nella Teoria delle Rappresentazioni del Gruppo Simmetrico

[Algebra]

La teoria delle rappresentazioni del gruppo simmetrico rappresenta un esempio affascinante in cui tutte le rappresentazioni irriducibili possono essere descritte e classificate in modo esplicito grazie ad eleganti strumenti combinatori. Tali rappresentazioni sono indicizzate da partizioni e realizzate attraverso i moduli di Specht.

Nel seminario verranno presentati i principali aspetti combinatori della teoria, con particolare attenzione ad oggetti come i tableaux di Young ed i tabloid.

Il Principio di Indeterminazione: tra analisi di Fourier e EDP

[Analisi]

Il Principio di Indeterminazione è un principio euristico in analisi armonica, che sostanzialmente afferma quanto segue: più una funzione è localizzata, più la sua trasformata di Fourier è sparsa. Si possono dimostrare diversi enunciati rigorosi di questo fatto. Molti di questi enunciati possono essere trasferiti nel mondo delle equazioni alle derivate parziali: più la soluzione di alcune equazioni alle derivate parziali (calore, Schrödinger...) è localizzata nelle variabili spaziali se osservata in un certo istante di tempo, più è sparsa se osservata in un secondo, diverso istante. Questa seconda classe di risultati va sotto il nome di Principi di Indeterminazione Dinamica. Nel talk, dopo aver richiamato i concetti principali riguardanti la trasformata di Fourier, presenterò alcuni dei principali risultati di indeterminazione classici (Heisenberg, Hardy, Benedicks-Amrein-Berthier... ) e sottolineerò la relazione tra l’analisi di Fourier e le EDP, andando a vedere come tali risultati possano essere direttamente "trasferiti" nel mondo delle EDP (ad esempio nel caso dell’equazione di Schrödinger libera, facendo uso della struttura della soluzione fondamentale).

Metodi di point location su griglie non strutturate

[Analisi numerica / calcolo scientifico]

Molti metodi numerici prevedono la discretizzazione di un dominio attraverso la definizione di una griglia. Le griglie non strutturate, in particolare, offrono una grande flessibilità e rappresentano spesso un'ottima scelta per risolvere problemi realistici. Questo vantaggio, tuttavia, comporta di dover affrontare alcune specifiche sfide legate all'implementazione e all'efficienza computazionale, tra cui il problema della localizzazione dei punti.

Intelligenza artificiale per stimolare processi metacognitivi e di autovalutazione nel problem solving matematico

[Didattica della matematica]

L'attività matematica, a tutti i livelli e in tutti i contesti socio-culturali, è supportata dall'impiego di artefatti (materiali, simbolici, discorsivi, etc.). Da sempre, questi hanno un ruolo centrale anche per i processi di insegnamento-apprendimento: quando usati opportunamente, hanno la capacità di veicolare significati, pratiche e comportamenti culturali condivisi: artefatti materiali come riga e compasso sono il cuore della "costruzione ragionata" che caratterizza la geometria euclidea; alcune tecnologie digitali hanno aumentato in modo sostanziale la possibilità di accedere a una rappresentazione di oggetti matematici astratti, creando nuove potenzialità a livello educativo. I Large Language Models introducono un nuovo elemento, l'aspetto conversativo, all'interno dei processi di apprendimento, potenzialmente stimolando processi fondamentali come l'auto-valutazione. Nel seminario si affronta il problema di un uso efficace e consapevole di una classe di strumenti non-deterministici, nel contesto del problem solving matematico, a partire da una ricerca empirica svolta (e in corso) sulle percezioni degli studenti sul tipo di supporto ricevuto dall'AI.

Un approccio moderno allo studio dei nodi

[Geometria]

In questo seminario parleremo di alcuni alcuni spazi topologici notevoli, detti spazi di nodi. Vedremo come vengono studiati, introducendo uno strumento importante: gli operad.

Insiemi di perimetro finito

[Analisi]

L'obiettivo di questo seminario sarà introdurre gli studenti alle tecniche moderne del calcolo delle variazioni, cercando anche di spiegare, per quanto possibile, cosa si intenda per teoria geometrica della misura. Introdurremo quindi il metodo diretto del calcolo delle variazioni, una strategia generale per dimostrare l'esistenza di minimi in problemi variazionali. Seguendo un percorso ormai classico, sviluppato da De Giorgi, affronteremo il problema di Plateau nella classe degli insiemi di perimetro finito. Definiremo il perimetro secondo Caccioppoli, utilizzandolo come esempio di rilassamento, e successivamente vedremo l'equivalenza con la definizione più diffusa alla De Giorgi, verificando che il funzionale perimetro soddisfi tutte le ipotesi necessarie per l'applicazione del metodo diretto. Tempo permettendo, discuteremo il Teorema di struttura di De Giorgi e la connessione con la misura di Hausdorff.

Introduzione ai campi quadratici reali

[Teoria dei numeri]

I campi quadratici reali, dati dall'aggiunta a ℚ della radice quadrata di un numero positivo che non sia lui stesso un quadrato, sono uno degli oggetti centrali della Teoria dei Numeri classica e sono collegati a questioni che vanno indietro di secoli, almeno fino ai lavori di Gauss. Il seminario si propone di introdurre alcuni degli strumenti più importanti per lo studio dei campi quadratici reali, come frazioni continue e carattere di Krönecker, e di presentare la formula del numero di classe la quale, coinvolgendo le quantità più significative del campo, è ancora oggi fulcro di vivace ricerca.

Mathematics on the command-line

[Informatica / calcolo scientifico]

The goal of this talk in to introduce the applications of the command-line to support the mathematician in their work and writing, independently of the field. In the first part, we will discuss what a program is as well as cover the basics of what the command-line is and how it works, its standard tools, and demonstrate its capabilities with various examples. In the second part, we will focus on how to use the command-line in order to organize our workflow, keep a flexible and detailed history of our changes, as well as collaborate with others using the standard version control software Git. We will detail its local usage (commits, branches, merges, hooks, etc) as well as its remote capabilities in conjunction with cloud services like GitHub.

Introduction to Spectral Geometry, or "how to hear the shape of a drum" 

[Analisi]

Heat diffusion, wave propagation (drums, guitars), electric and magnetic phenomena, quantum stuff, fluid flow... all these physical phenomena share the property of being modelled by partial differential equations (PDEs) where a major role is played by the Laplace operator, thus understanding its properties is very important. One main feature is that it can be "diagonalized", which means solving the PDE (called Helmholtz equation)

−∆ψ = λψ,

with boundary conditions that depend on the physical context, where both the number λ and the function ψ are unknowns. These two entities dictate much of the behavior of those physical problems. All these things depend very strongly on the shape of the domain where the problem is posed, so a number of questions arise: how does one compute λ, and what are the domains of a given volume that minimize/maximize it? How does λ depend on the size of the domain? Can we find general rules to estimate λ? Does λ have any general properties? What is the behavior of ψ in terms of the sign? How do different solutions (λ, ψ) compare to each other? What is the influence of the boundary conditions on all this stuff? What do all these words even mean?

To answer these questions, a number of very interesting theories were invented, and very curious results were proved. This talk, besides introducing the main concepts, aims at exposing these surprising results and apparatus, avoiding technicalities (a.k.a. proofs) but discussing the ideas instead, as well as bringing you into contact some background instruments that should be part of the toolbox of any person interested in analysis. We will also explore some physical examples.