notazione bibliografia:
Huang (H) - Landau-Lifsits (LL) - Ma (M) - Sethna (S) - libro Falcioni-Vulpiani (FV) - Note dei Prof. Falcioni e/o Vulpiani - (specificato), Schwartz (lectures notes), Tong (Letcure notes)
Esempio notazione: H3.5 → Huang, cap 3, paragrafo 5, LL V.53→ Landau cap V par 53
La bibliografia di riferimento e' specificata qui, il materiale usato e' consultabile qui
Codice colori
In nero: le lezioni fatteIn grigio: le lezioni da fareIn blu: argomento generaleIn verde: bibliografia di riferimentoVideoregistrazioni
Quest'anno il corso e' tenuto unicamente in presenza. Gli studenti che per qualche motivo avessero necessita' di recuperare lezioni perse possono guardare le registrazioni dell' a.a. 2021/22Lezione 1 - 6/10/2025
Introduzione al corso e ripasso nozioni termodinamica/meccanica
- Introduzione: ruolo della Meccanica Statistica
- Ripasso Meccanica Classica (eq. Lagrange, eq. Hamilton, parentesi di Poisson)
- Ripasso Termodinamica (variabili termodinamiche, trasformazioni termodinamiche,
principi della termodinamica, potenziali termodinamici e loro significato)
- Equilibrio termodinamico
testi: H1, qualsiasi testo di termodinamica, qualsiasi testo di meccanica (e.g. Goldstein o altro)
Lezione 2 - 7/10/2025
Equilibrio e Postulato fondamentale della MS
- Ensemble di Gibbs
- Misura di equilibrio, medie in fase, medie dinamiche
- Postulato di eguale probabilita' a priori e ensemble microcanonico
- Teorema di Liouville
testi: H3.4, S4, H6.1-6.2
Lezione 3 - 9/10/2025
- Teorema di Liouville (continua)
- Ergodicita'
- Discussione sul concetto di equilibrio per sistemi macroscopici
- Chaos e equilibro
testi: H3.4, S4, H6.1-6.2, FV 2.1-2 (o note Falcioni su ipotesi ergodica), Lecture 3 Schwartz (per Chaos vs equilibrio),
Lezione 4 - 13/10/2025
- Teoria delle Probabilita' (note VF su probabilita', trattatello di Probabilita' Marinari-Parisi)
- Introduzione a Teoria della Probabilita': assiomi e concetti fondamentali
- Eventi indipendenti - Probabilita' condizionata - Legge della probabilita' completa- Bayes
- Variabili aleatorie, distribuzioni e densita' di probabilita' (PDF)
- distribuzione di probabilità condizionata, medie
- Marginalizzazione, Trasformazione di variabili aleatorie
- Somma di due variabili aleatorie, cambio di variabile, trasformazione lineare
- Esempi in MS (distr. particella singola, distribuzione energia)
- Esempio P(z) con z=x1+x2 NO
- Esempi/problemi
Lezione 5 - 14/10/2025
- Distribuzione Binomiale - esempi
- Distribuzione di Poisson - esempi (derivazione ab initio NO)
- Distribuzione Normale
- Momenti, momenti centrali
- funzione caratteristica e funzione generatrice dei momenti
- Caso della distribuzione normale
- Cumulanti: funzione generatrice dei cumulanti - caso Gaussiano
- Legge dei grandi numeri - Disuguaglianze di Chebyschev
Lezione 6 - 16/10/2025
- Teorema del limite centrale
Teorema del limite centrale: conseguenze per variabili somma e media
- Teorema del limite centrale: condizioni sui cumulanti, applicazioni a variabili somma
- Random Walk
- Distribuzione log-normale
- Distribuzioni a code larghe (Cauchy) - NO
testi: Note VF, trattatello di probabilita' (Marinari-Parisi)
Lezione 7 - 20/10/2024
- Approssimazione di picco
- Approssimazione di Stirling
- calcolo sfera in dimensione D - funzione gamma
Ensemble Microcanonico
- distribuzione microcanonica (microstati continui e/o discreti)
- definizione di entropia
H6.2 (NOTA: Huang usa l'entropia definita su una shell, a lezione preferiamo usare la formulazione in cui si fissa perfettamente l'energia) - vedi anche Ma 6.1
Lezione 8 - 21/10/2025
- estensività e proprieta' dell'entropia, concetto di equilibrio sui sottosistemi e definizione di temperatura
- definizione di pressione e potenziale chimico S3.4 e H6.3
- trasformazioni quasistatiche
- digressione su trasformata di Legendre
- regole di calcolo per valori medi e distribuzioni di osservabili date (E1_bar= <H1>)
- calcolo potenziali termodinamici H6.3 e derivazione della termodinamica
Lezione 9 - 23/10/2025
- Gas perfetto: calcolo di entropia, temperatura ed equazione di stato H6.5
- Entropia di mixing e Paradosso di Gibbs H6.6
- formula di Sachur-Tetrode H6.6
Lezione 10 - 27/10/2025
- calcolo del potenziale chimico
- equivalenza tra diverse definizioni di entropia
- caratterizzazione del microcanonico nello spazio delle fasi: densita' di probabilita' di coordinate e momenti. S3.2
- regole di calcolo per valori medi e distribuzioni di osservabili date
Lezione 11 - 28/10/2025
- oscillatori armonici indipendenti e vibrazioni in un solido
- teorema di equipartizione H6.4
Lezione 12 - 30/10/2025
- teorema di equipartizione (fine) H6.4
- sistema a due livelli H-problema 6.2, articolo oppure Tong 1.2.3
- statistica per classificazione, entropia a energia e altre osservabili fissate - Ma 6.5. NON fatto
Lezione 13 - 3/11/2025
- Spin non interagenti in campo magnetico - relazione con sistema a due livelli
- Ruolo dell'entropia, entropia di Boltzmann, entropia come ignoranza/informazione, entropia di Shannon Schwartz-Lect6
- Entropia, chaos e irreversibilita'
- digressione su Metodo Moltiplicatori di Lagrange
Lezione 14 - 4/11/2025
Ensemble Canonico
- derivazione dal microcanonico (sistema a contatto con bagno termico)
- funzione di partizione ed energia libera di Helmholtz
- fluttuazioni dell'energia e relazione di fluttuazione-dissipazione
- regole di calcolo per le quantità termodinamiche H7.1-7.2
- Distribuzione dell'energia, relazione tra Energia libera, energia interna e entropia
- stati dominanti e equivalenza canonico - microcanonico H7.2
- regole di classificazione per ensemble canonico (conteggio configurazioni con peso dipendente dall'energia) - Ma 7.2
Lezione 15 - 6/11/2025
- equivalenza canonico - microcanonico (fine) H7.2
- Sistemi con particelle indipendenti
- calcolo grandezze termodinamiche
- formule per gas perfetto
- Gas perfetto di particelle libere: calcolo nel canonico e confronto col calcolo nel microcanonico
Lezione 16 - 10/11/2025
- distribuzioni di particella singola (distribuzione spaziale, distribuzione Maxwell-Boltzmann)
- numero medio di particelle in singolo stato (statistica di MB) - note VP su statistica di Boltzmann; LL IV.37 e IV.38; S7.5
- Oscillatori armonici indipendenti: calcolo nel canonico e confronto col microcanonico
- compito 8/11/19: calcolo entropia, limiti, calcolo G(eps), calcolo P(eps), Uso della Binomiale
Lezione 17 - 11/11/2025
- gas perfetto in potenziale gravitazionale: calcolo della Pressione - relazione barometrica
- calcolo della Pressione - generale
Lezione 18 - 13/11/2024
- comp. 31/1/2018 (parte classica): calcolo densita' degli stati (uso theta function); calcolo pressione su superficie interna, densita' degli stati
- sistema di spin indipendenti in campo magnetico
- compito del 27/4/2017→ H(q,p,sigma) presenza di variabili discrete nel microstato
Lezione - NON FATTA
- problema del 24/2/2014 → calcolo energia media, cv, pressione sup esterna, numero
medio particelle che soddisfano condizione data
- comp 11/9/2014 - comp. 4/2/2014
→ energia media/calore specifico/densita' di energia totale e cinetica
- compito del 10/12/2018 → P(epsk), P(eps_v), P(eps,epsv) (osservabili NON scorrelate)
- particella in potenziale quadratico, <q^2>, P(q>q*)
Lezione 19 - 17/11/2025
- gas perfetto relativistico LL_IV.44
- interazioni: gas imperfetto -equazione di stato - espansione del viriale
Lezione 20 - 18/11/2025
Ensemble Gran Canonico
- Derivazione della distribuzione gran canonica
- potenziale chimico, fugacità e funzione di gran-partizione, gran potenziale H7.3
- distribuzione di probabilità del numero di particelle
- gas perfetto nel gran canonico
- fluttuazioni di densità' e relazione di fluttuazione-dissipazione H7.4
- regole di calcolo per conteggio microstati nel Gran Canonico - Ma 7.2. NON FATTO
Lezione 21 - 20/11/2025
- equivalenza tra gli ensemble H7.5,H7.6
- relazione tra fugacita' e densita', comportamento del potenziale chimico
- Come regolare il potenziale chimico - ruolo della riserva di particelle e della concentrazione
- esempio bio: modello MWC di regolazione dei motori flagellari in un batterio
- Regole a Pressione Costante, ensemble NPT
Lezione 22 - 24/11/2025
- Transizioni di fase: il modello di Ising, soluzione di campo medio
- il modello di Ising, approccio variazionale
- Energia libera di campo medio: significato e ruolo
- transizione del secondo ordine in campo nullo
- esponenti critici e classi di universalita'
Lezione 23 - 25/11/2025
- Modello di Ising in campo magnetico non nullo
- transizione del primo ordine, spinodale e metastabilita'
- equazione di stato m vs h
Per il modello di Ising vedi: Binney et al, cap 3.1.1 e Cap 6 (intero); Tong, cap 5.2
Lezione 24- 27/11/2025
- Transizioni del primo ordine: transizione liquido-gas
- Equazione di Van der Waals, potenziale efficace e regola di Maxwell
- Analogia con la transizione ferromagnetica in campo non nullo
- Metastabilita' e nucleazione
H 17.5 - vedi anche Tong cap 5.1
Lezione 25 - 1/12/2025
Meccanica Statistica Quantistica
- Introduzione e ripasso dei concetti fondamentali della MQ
- matrice densita' H8.2, S7.1
- postulato fondamentale della meccanica statistica quantistica H8.1
- Derivazione degli ensemble statistici quantistici (calcolo esplicito del canonico dal microcanonico)
Lezione 26 -2/12/2025
- teorema di Nerst
- Gas di particelle non interagenti - funzione d'onda Fermioni vs Bosoni
- statistica di Fermi-Dirac e Bose Einstein (derivazione) - S7.3,S7.4, LL V.53 e V.54
- Equazione di stato, numero medio di particelle, energia media (in termini degli <nk> )
Lezione 27 -4/12/2025
- Gas di particelle libere: derivazione delle equazioni (eq stato, <N>, <E>)
- funzioni gn(z), fn(z)
- andamento di z e mu con temperatura e densita'
- limite classico e correzioni quantistiche: fugacita' - equazione di stato LL.56
Lezione 28 -9/12/2025
- gas perfetto fermioni e bosoni: calcolo con la densità degli stati G(eps), eq. di stato, energia media, numero di particelle vs T e mu
- degenerazione di spin: come e dove considerarla
- Fermioni: studio del numero medio di occupazione in funzione dell'energia al variare dei parametri (note VF su statistiche quantistiche)
- fermioni a bassa T: energia di Fermi, calcolo proprietà termodinamiche a T=0. LLV.57,H11.1
- gas fermionico degenere, calcolo approssimato di energia media e calore specifico a bassa T
Lezione 29 11/12/2024
- sviluppo di Sommerfield e calcolo delle proprietà termodinamiche a bassa T (continua) LLV.57,H11.1
- Es. prova itinere 23/1/19 parte quantistica fermionica
- gas bosonico degenere, andamento del potenziale chimico e del numero di occupazione al variare di T
Lezione 30 -15/12/2024
- condensazione di Bose (quando c'e' condensazione e cosa succede a Tc)
- condensazione di Bose - cosa succede per T><Tc
- analisi dell'equazione di stato a V finita, calcolo di z vs v/lambda^3, limite termodinamico per gas di particelle libere
Lezione 31 - 16/12/2024
- prova itinere 23/1/19 parte quantistica bosonica
Lezione 32 - 18/12/2024
Ruolo della dimensione: gas di particelle libere in d=2 e d=1, assenza della condensazione di Bose
- esercizio 29/1/20 parte quantistica bosonica
Lezione 33- 22/12/2024
-
Riferimenti biblio su condensazione:
H12.3 per discussione molto utile e dettagliata della condensazione di Bose, in generale LL V.58, S7.6.3
VEDI anche appunti Tong Cambridge sec.3.5.3 - dove si trovano anche grafici di esperimenti BEC - qui vedi anche derivazione del picco del calore specifico
https://drive.google.com/file/d/1akGLmUB6wurHEqSfetd88irOEmUt4z_r/view?usp=sharing
articoli gruppo Ketterle (nobel 2002)
https://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.74.1131 (nobel lecture - suggerito )
https://www.nature.com/articles/416211a
https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.75.3969
Lezione 34 - 23/12/2024
- oscillatore armonico quantistico
- Vibrazioni in un solido
- modello di Einstein
- modello di Debye
Lezione - 16/12/2024 no lezione
Lezione 35 - 19/12/2024
- Radiazione di corpo nero LL V.63, S7.6, note-mie
Lezione 35 - 20/12/2024
-esercizio 25/1/23
VACANZE NATALE -
ESERCIZI (provate sia parte classica che quantistica)
Archivio esercizi nel sito del Prof. Crisanti al seguente indirizzo
https://www2.phys.uniroma1.it/doc/crisanti/Teach/MecStat/
- es. 11/11/2021
- es. 31/1/2018 esercizio abbastanza standard
- es.30/1/2019 standard, punto 3b: per calcolare mu, calcolate prima z dalla formula per <N> nel limite T>>1
- es 11/7/18 Nota: per calcolarsi medie che coinvolgono la variabile r occorre trovare la G(eps, r)
- 27/2/2017 Nota: per calcolarsi medie che coinvolgono la variabile sigma occorre trovare la G(eps, sigma)
provate altri esercizi e scrivetemi se ci sono problemi che volete poi discutere a lezione
SOLUZIONI COMPLETE degli esercizi assegnati per le vacanze e di alcuni discussi parzialmente a lezione
Lezione 36 - 13/1/25
- Esercizio del 11/11/2021 (nota: c'e' un errore nel punto 1.b della soluzione dettagliata, guardare archivio Crisanti per la soluzione corretta del 1.b)
al testo di esame si aggiunge la domanda:
Assumendo che il sistema sia composto da fermioni di spin 1/2 calcolare <q> a T=0 per eps_F=V_0.
Si discute dunque come calcolare <q>: per farlo occorre calcolare nel caso quantistico per T=0 la P(q). Essa si ottiene notando che:
N(q) = \int^eps_F d eps G(eps,q) rappresenta il numero medio di particelle con distanza q dall'origine, dove
G(eps,q) = int dq' dp' /h^2 delta[H(q',p')-eps] delta(|q'|-q)
dunque P(q) = N(q)/N
Dunque infine <q> = (1/N) \int dq \int^eps_F d eps G(eps,q) q
Il risultato finale e' poi ottenuto sostituendo nell'espressione precedent il valore di N per eps_F=V_0
Lezione 37 - 14/1/25
- Esercizio 29/01/2020
problema simile al precedente (nella parte su Fermioni a T=0). Questa volta occorre calcolare <sigma> in funzione della densita', dove sigma e' lo spin.
La strategia e' la stessa descritte precedentemente per il problema 11/11/21, ma questa volta il grado di liberta' coinvolto e' sigma. Dunque
N(sigma) = \int^eps_F d eps G(eps,sigma) rappresenta il numero medio di particelle con spin sigma, dove
G(eps,sigma) = \sum_sigma' int dq' dp' /h^2 delta[H(q',p', sigma')-eps] delta(sigma'-sigma)
P(sigma)=N(sigma)/N
<sigma> = (1/N) \sum_sigma \int^eps_F d eps G(eps,sigma) sigma