notazione bibliografia:
Huang (H) - Landau-Lifsits (LL) - Ma (M) - Sethna (S) - Note dei Prof. Falcioni e/o Vulpiani - (FV, o specificato).
Esempio notazione: H3.5 → Huang, cap 3, paragrafo 5, LL V.53→ Landau cap V par 53
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Introduzione al corso e ripasso nozioni termodinamica/meccanica
- Introduzione: ruolo della Meccanica Statistica
- Ripasso Termodinamica (variabili termodinamiche, trasformazioni termodinamiche,
principi della termodinamica, potenziali termodinamici e loro significato)
- Equilibrio termodinamico
- Ripasso Meccanica Classica (eq. Lagrange, eq. Hamilton, parentesi di Poisson)
- Ensemble di Gibbs
testi: H1, qualsiasi testo di termodinamica, qualsiasi testo di meccanica (e.g. Goldstein o altro)
Equilibrio e Postulato fondamentale della MS
- Ensemble di Gibbs (continua)
- Misura di equilibrio, medie in fase, medie dinamiche
- Postulato di eguale probabilita' a priori e ensemble microcanonico
testi: H3.4, S4, H6.1-6.2, note Falcioni su ipotesi ergodica
- Teorema di Liouville
- Ergodicita'
- Discussione sul concetto di equilibrio per sistemi macroscopici
testi come sopra
- Discussione sul concetto di equilibrio per sistemi macroscopici (fine discussione) (testi come sopra)
Teoria delle Probabilita' (note VF su probabilita', trattatello di Probabilita' Marinari-Parisi)
- Introduzione a Teoria della Probabilita': assiomi e concetti fondamentali
- Eventi indipendenti - Probabilita' condizionata - Legge della probabilita' completa- Bayes
- Esempi/problemi
- Variabili aleatorie, distribuzioni e densita' di probabilita' (PDF)
- distribuzione di probabilità condizionata, medie
- Marginalizzazione, Trasformazione di variabili aleatorie
- Somma di due variabili aleatorie, cambio di variabile, trasformazione lineare (anche caso
con N variabili)
- Esempi in MS (distr. particella singola, distribuzione energia)
- Esempio P(z) con z=x1+x2
- Distribuzione Binomiale - esempi
- Distribuzione di Poisson - esempi - derivazione ab initio
- Distribuzione Normale
- Momenti, momenti centrali
- funzione caratteristica e funzione generatrice dei momenti
- Caso della distribuzione normale
- Cumulanti: funzione generatrice dei cumulanti - caso Gaussiano
- Legge dei grandi numeri - Disuguaglianze di Chebyschev
- Teorema del limite centrale
- Teorema del limite centrale: condizioni sui cumulanti, applicazioni a variabili somma
- Random Walk
- Distribuzione log-normale - NO
- Distribuzioni a code larghe (Cauchy) - NO
- Approssimazione di picco
- Approssimazione di Stirling
- calcolo sfera in dimensione D - funzione gamma
testi: Note VF, trattatello di probabilita' (Marinari-Parisi)
Ensemble Microcanonico
- distribuzione microcanonica (microstati continui e/o discreti)
- definizione di entropia
- estensività e proprieta' dell'entropia, concetto di equilibrio sui sottosistemi e definizione di temperatura H6.2 (NOTA: Huang usa l'entropia definita su una shell, a lezione preferiamo usare la formulazione in cui si fissa perfettamente l'energia) - vedi anche Ma 6.1
- definizione di pressione e potenziale chimico S3.4 e H6.3
- trasformazioni quasistatiche
- regole di calcolo per valori medi e distribuzioni di osservabili date (E1_bar= <H1>)
- teorema di equipartizione H6.4
- calcolo potenziali termodinamici H6.3
- digressione su trasformata di Legendre (in video)
- digressione su Metodo Moltiplicatori di Lagrange (in video)
- Gas perfetto: calcolo di entropia, temperatura ed equazione di stato H6.5
- Entropia di mixing e Paradosso di Gibbs H6.6
- formula di Sachur-Tetrode H6.6
- esempi microcanonico: oscillatori armonici - sistema a due livelli H-problema 6.2, articolo
- regole di calcolo per valori medi e distribuzioni di osservabili date
- statistica per classificazione, entropia a energia e altre osservabili fissate - Ma 6.5
- caratterizzazione del microcanonico nello spazio delle fasi: densita' di probabilita' di coordinate e momenti. S3.2
Ensemble Canonico
- derivazione dal microcanonico (sistema a contatto con bagno termico)
- funzione di partizione ed energia libera di Helmholtz
- regole di calcolo per le quantità termodinamiche H7.1-7.2
- stati dominanti e equivalenza canonico - microcanonico H7.2
- regole di classificazione per ensemble canonico (conteggio configurazioni con peso dipendente dall'energia) - Ma 7.2
- fluttuazioni dell'energia e relazione di fluttuazione-dissipazione
- Gas perfetto: calcolo nel canonico e confronto col calcolo nel microcanonico
- Sistemi con particelle indipendenti - formule grandezze termodinamiche
- distribuzioni di particella singola, densita' degli stati
- Distribruzioni spaziali
- Distribuzione di Maxwell-Boltzmann S6.2, L3.29
- numero medio di particelle in singolo stato (statistica di MB)
- relazione barometrica - calcolo della Pressione
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- compito 8/11/19: calcolo entropia, limiti, calcolo G(eps), calcolo P(eps), Uso della Binomiale
- comp. 31/1/2018 (parte classica): calcolo densita' degli stati (uso theta function); calcolo pressione su superficie interna, densita' degli stati
- compito del 27/4/2017→ H(q,p,sigma) presenza di variabili discrete nel microstato
Ensemble Gran Canonico
- Derivazione della distribuzione gran canonica
- potenziale chimico, fugacità e funzione di gran-partizione H7.3
- gran potenziale
- distribuzione di probabilità del numero di particelle
- fluttuazioni di densità' e relazione di fluttuazione-dissipazione H7.4
- equivalenza tra gli ensemble H7.5,H7.6
- gas perfetto nel gran canonico
- relazione tra fugacita' e densita', comportamento del potenziale chimico
- regole di calcolo per conteggio microstati nel Gran Canonico - Ma 7.2
Lezione 22- 15/11/2021
- Regole a Pressione Costante
- Come regolare il potenziale chimico - ruolo della riserva di particelle e della concentrazione
- esempio bio: modello MWC di regolazione dei motori flagellari in un batterio
- Problemi con interazioni
- interazioni: il modello di Ising, soluzione di campo medio, transizione di fase, esponenti critici
Lezione - 19/11/2021 NON FATTA
- problema del 24/2/2014 → calcolo energia media, cv, pressione sup esterna, numero
medio particelle che soddisfano condizione data
- comp 11/9/2014 - comp. 4/2/2014
→ energia media/calore specifico/densita' di energia totale e cinetica
- compito del 10/12/2018 → P(epsk), P(eps_v), P(eps,epsv) (osservabili NON scorrelate)
- Oscillatori armonici: calcolo nel canonico e confronto col calcolo nel microcanonico
- particella in potenziale quadratico, <q^2>, P(q>q*)
- Fine Ising: transizione discontinua in campo, transizioni 1 e 2 ordine, classi di universalita'
- interazioni: gas imperfetto -equazione di stato - espansione del viriale
- gas perfetto relativistico LL_IV.44
Meccanica Statistica Quantistica
- Introduzione e ripasso dei concetti fondamentali della MQ
- postulato fondamentale della meccanica statistica quantistica H8.1
- matrice densita' H8.2, S7.1
- definizione e costruzione degli ensemble statistici H8.3
- Gas di particelle non interagenti - funzione d'onda Fermioni vs Bosoni
- statistica di Fermi-Dirac e Bose Einstein (derivazione) S7.3,S7.4, LL V.53 e V.54
- Equazione di stato, numero medio di particelle, energia media (in termini degli <nk> )
- statistica di Boltzmann - note VP su statistica di Boltzmann; LL IV.37 e IV.38; S7.5
- Gas di particelle libere: derivazione delle equazioni (eq stato, <N>, <E>)
- limite classico e correzioni quantistiche: fugacita' LL.56
- limite classico e correzioni quantistiche: equazione di stato LL.56
- gas perfetto fermioni e bosoni: calcolo con la densità degli stati G(eps), eq. di stato,
energia media, numero di particelle vs T e mu
- Fermioni: studio del numero medio di occupazione in funzione dell'energia al variare dei parametri (note VF su statistiche quantistiche)
- fermioni a bassa T: energia di Fermi, calcolo proprieta' termodinamiche a T=0. LLV.57,H11.1
- gas fermionico degenere, sviluppo di Sommerfield e calcolo delle proprietà
termodinamiche a bassa T LLV.57,H11.1
8 VACANZA
Lezione 31 - 10/12/2021 **
- gas fermionico degenere: calcolo di energia media e calore specufico
- teorema di Nerst e andamento del calore specifico a T-->0
- Es. prova itinere 23/1/19 parte quantistica fermionica
- Es prova itinere 23/1/19: svolgimento e conclusione
- gas bosonico degenere, andamento del potenziale chimico e del numero di
occupazione al variare di T
- gas bosonico degenere, condensazione di Bose: ruolo del livello fondamentale
- gas bosonico degenere, condensazione di Bose
- condensazione di Bose: proprieta' termodinamiche per T><Tc
su condensazione: LL V.58, S7.6.3
VEDI anche appunti Tong Cambridge sec.3.5.3 - dove si trovano anche grafici di esperimenti BEC - qui vedi anche derivazione del picco del calore specifico
https://drive.google.com/file/d/1akGLmUB6wurHEqSfetd88irOEmUt4z_r/view?usp=sharing
- analisi dell'equazione di stato a V finita, calcolo di z vs v/lambda^3, limite termodinamico
vedi H12.3 per discussione molto utile e dettagliata della condensazione di Bose
56
- Ruolo della dimensione: gas di particelle libere in d=2 e d=1, assenza della condensazione di Bose
- Esercizi
- prova itinere 23/1/19 parte quantistica bosonica
- prova itinere 23/1/19 fine
- Esercizio 11/11/2021 parte quantistica bosonica
- fine es 11/11/2021 (parte fermionica)
- oscillatore armonico quantistico
- Vibrazioni in un solido
- modello di Einstein
- modello di Debye
VACANZE NATALE -
ESERCIZI (provate sia parte classica che quantistica)
Archivio esercizi nel sito del Prof. Crisanti al seguente indirizzo
https://www2.phys.uniroma1.it/doc/crisanti/Teach/MecStat/
- es. 31/1/2018 esercizio abbastanza standard
- es.30/1/2019 standard, punto 3b: per calcolare mu, calcolate prima z dalla formula per <N> nel limite T>>1
- es 11/7/18 Nota: per calcolarsi medie che coinvolgono la variabile r occorre trovare la G(eps, r)
- 27/2/2017 Nota: per calcolarsi medie che coinvolgono la variabile sigma occorre trovare la G(eps, sigma)
provate altri esercizi e scrivetemi se ci sono problemi che volete poi discutere a lezione
- Radiazione di corpo nero LL V.63, S7.6
- Esercizio del 30/1/2019 - completo
-Esercizio del 14/5/2020 - prima parte
NOTA: la soluzione completa dell'esercizio puo' essere trovata al link sotto
SOLUZIONI COMPLETE degli esercizi assegnati per le vacanze e di alcuni discussi parzialmente a lezione