Lezioni 2021-22

notazione bibliografia:

Huang (H) - Landau-Lifsits (LL) - Ma (M) - Sethna (S) - Note dei Prof. Falcioni e/o Vulpiani - (FV, o specificato).

Esempio notazione: H3.5 → Huang, cap 3, paragrafo 5, LL V.53→ Landau cap V par 53

Videoregistrazioni

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Introduzione al corso e ripasso nozioni termodinamica/meccanica

- Introduzione: ruolo della Meccanica Statistica

- Ripasso Termodinamica (variabili termodinamiche, trasformazioni termodinamiche,

principi della termodinamica, potenziali termodinamici e loro significato)

- Equilibrio termodinamico

- Ripasso Meccanica Classica (eq. Lagrange, eq. Hamilton, parentesi di Poisson)

- Ensemble di Gibbs

testi: H1, qualsiasi testo di termodinamica, qualsiasi testo di meccanica (e.g. Goldstein o altro)



Equilibrio e Postulato fondamentale della MS

- Ensemble di Gibbs (continua)

- Misura di equilibrio, medie in fase, medie dinamiche

- Postulato di eguale probabilita' a priori e ensemble microcanonico

testi: H3.4, S4, H6.1-6.2, note Falcioni su ipotesi ergodica



- Teorema di Liouville

- Ergodicita'

- Discussione sul concetto di equilibrio per sistemi macroscopici

testi come sopra



- Discussione sul concetto di equilibrio per sistemi macroscopici (fine discussione) (testi come sopra)

Teoria delle Probabilita' (note VF su probabilita', trattatello di Probabilita' Marinari-Parisi)

- Introduzione a Teoria della Probabilita': assiomi e concetti fondamentali

- Eventi indipendenti - Probabilita' condizionata - Legge della probabilita' completa- Bayes

- Esempi/problemi


- Variabili aleatorie, distribuzioni e densita' di probabilita' (PDF)

- distribuzione di probabilità condizionata, medie

- Marginalizzazione, Trasformazione di variabili aleatorie

- Somma di due variabili aleatorie, cambio di variabile, trasformazione lineare (anche caso

con N variabili)


- Esempi in MS (distr. particella singola, distribuzione energia)

- Esempio P(z) con z=x1+x2

- Distribuzione Binomiale - esempi


- Distribuzione di Poisson - esempi - derivazione ab initio

- Distribuzione Normale

- Momenti, momenti centrali

- funzione caratteristica e funzione generatrice dei momenti

- Caso della distribuzione normale


- Cumulanti: funzione generatrice dei cumulanti - caso Gaussiano

- Legge dei grandi numeri - Disuguaglianze di Chebyschev

- Teorema del limite centrale


- Teorema del limite centrale: condizioni sui cumulanti, applicazioni a variabili somma

- Random Walk

- Distribuzione log-normale - NO

- Distribuzioni a code larghe (Cauchy) - NO

- Approssimazione di picco

- Approssimazione di Stirling

- calcolo sfera in dimensione D - funzione gamma

testi: Note VF, trattatello di probabilita' (Marinari-Parisi)


Ensemble Microcanonico

- distribuzione microcanonica (microstati continui e/o discreti)

- definizione di entropia

- estensività e proprieta' dell'entropia, concetto di equilibrio sui sottosistemi e definizione di temperatura H6.2 (NOTA: Huang usa l'entropia definita su una shell, a lezione preferiamo usare la formulazione in cui si fissa perfettamente l'energia) - vedi anche Ma 6.1


- definizione di pressione e potenziale chimico S3.4 e H6.3

- trasformazioni quasistatiche

- regole di calcolo per valori medi e distribuzioni di osservabili date (E1_bar= <H1>)

- teorema di equipartizione H6.4


- calcolo potenziali termodinamici H6.3

- digressione su trasformata di Legendre (in video)

- digressione su Metodo Moltiplicatori di Lagrange (in video)

- Gas perfetto: calcolo di entropia, temperatura ed equazione di stato H6.5

- Entropia di mixing e Paradosso di Gibbs H6.6

- formula di Sachur-Tetrode H6.6



- esempi microcanonico: oscillatori armonici - sistema a due livelli H-problema 6.2, articolo

- regole di calcolo per valori medi e distribuzioni di osservabili date



- statistica per classificazione, entropia a energia e altre osservabili fissate - Ma 6.5

- caratterizzazione del microcanonico nello spazio delle fasi: densita' di probabilita' di coordinate e momenti. S3.2

Ensemble Canonico

- derivazione dal microcanonico (sistema a contatto con bagno termico)

- funzione di partizione ed energia libera di Helmholtz

- regole di calcolo per le quantità termodinamiche H7.1-7.2

- stati dominanti e equivalenza canonico - microcanonico H7.2


- regole di classificazione per ensemble canonico (conteggio configurazioni con peso dipendente dall'energia) - Ma 7.2

- fluttuazioni dell'energia e relazione di fluttuazione-dissipazione

- Gas perfetto: calcolo nel canonico e confronto col calcolo nel microcanonico

- Sistemi con particelle indipendenti - formule grandezze termodinamiche



- distribuzioni di particella singola, densita' degli stati

- Distribruzioni spaziali

- Distribuzione di Maxwell-Boltzmann S6.2, L3.29




- numero medio di particelle in singolo stato (statistica di MB)

- relazione barometrica - calcolo della Pressione


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- compito 8/11/19: calcolo entropia, limiti, calcolo G(eps), calcolo P(eps), Uso della Binomiale



- comp. 31/1/2018 (parte classica): calcolo densita' degli stati (uso theta function); calcolo pressione su superficie interna, densita' degli stati

- compito del 27/4/2017→ H(q,p,sigma) presenza di variabili discrete nel microstato



Ensemble Gran Canonico

- Derivazione della distribuzione gran canonica

- potenziale chimico, fugacità e funzione di gran-partizione H7.3

- gran potenziale

- distribuzione di probabilità del numero di particelle

- fluttuazioni di densità' e relazione di fluttuazione-dissipazione H7.4

- equivalenza tra gli ensemble H7.5,H7.6


- gas perfetto nel gran canonico

- relazione tra fugacita' e densita', comportamento del potenziale chimico

- regole di calcolo per conteggio microstati nel Gran Canonico - Ma 7.2



- Regole a Pressione Costante

- Come regolare il potenziale chimico - ruolo della riserva di particelle e della concentrazione

- esempio bio: modello MWC di regolazione dei motori flagellari in un batterio


- Problemi con interazioni

- interazioni: il modello di Ising, soluzione di campo medio, transizione di fase, esponenti critici


  • Lezione - 19/11/2021 NON FATTA

- problema del 24/2/2014 → calcolo energia media, cv, pressione sup esterna, numero

medio particelle che soddisfano condizione data

- comp 11/9/2014 - comp. 4/2/2014

→ energia media/calore specifico/densita' di energia totale e cinetica

- compito del 10/12/2018 → P(epsk), P(eps_v), P(eps,epsv) (osservabili NON scorrelate)

- Oscillatori armonici: calcolo nel canonico e confronto col calcolo nel microcanonico

- particella in potenziale quadratico, <q^2>, P(q>q*)




- Fine Ising: transizione discontinua in campo, transizioni 1 e 2 ordine, classi di universalita'

- interazioni: gas imperfetto -equazione di stato - espansione del viriale

- gas perfetto relativistico LL_IV.44




Meccanica Statistica Quantistica

- Introduzione e ripasso dei concetti fondamentali della MQ

- postulato fondamentale della meccanica statistica quantistica H8.1

- matrice densita' H8.2, S7.1

- definizione e costruzione degli ensemble statistici H8.3


- Gas di particelle non interagenti - funzione d'onda Fermioni vs Bosoni

- statistica di Fermi-Dirac e Bose Einstein (derivazione) S7.3,S7.4, LL V.53 e V.54

- Equazione di stato, numero medio di particelle, energia media (in termini degli <nk> )



- statistica di Boltzmann - note VP su statistica di Boltzmann; LL IV.37 e IV.38; S7.5

- Gas di particelle libere: derivazione delle equazioni (eq stato, <N>, <E>)

- limite classico e correzioni quantistiche: fugacita' LL.56


- limite classico e correzioni quantistiche: equazione di stato LL.56

- gas perfetto fermioni e bosoni: calcolo con la densità degli stati G(eps), eq. di stato,

energia media, numero di particelle vs T e mu

- Fermioni: studio del numero medio di occupazione in funzione dell'energia al variare dei parametri (note VF su statistiche quantistiche)



- fermioni a bassa T: energia di Fermi, calcolo proprieta' termodinamiche a T=0. LLV.57,H11.1



- gas fermionico degenere, sviluppo di Sommerfield e calcolo delle proprietà

termodinamiche a bassa T LLV.57,H11.1


8 VACANZA

- gas fermionico degenere: calcolo di energia media e calore specufico

- teorema di Nerst e andamento del calore specifico a T-->0

- Es. prova itinere 23/1/19 parte quantistica fermionica



- Es prova itinere 23/1/19: svolgimento e conclusione

- gas bosonico degenere, andamento del potenziale chimico e del numero di

occupazione al variare di T

- gas bosonico degenere, condensazione di Bose: ruolo del livello fondamentale


- gas bosonico degenere, condensazione di Bose

- condensazione di Bose: proprieta' termodinamiche per T><Tc

su condensazione: LL V.58, S7.6.3

VEDI anche appunti Tong Cambridge sec.3.5.3 - dove si trovano anche grafici di esperimenti BEC - qui vedi anche derivazione del picco del calore specifico

https://drive.google.com/file/d/1akGLmUB6wurHEqSfetd88irOEmUt4z_r/view?usp=sharing

- analisi dell'equazione di stato a V finita, calcolo di z vs v/lambda^3, limite termodinamico

vedi H12.3 per discussione molto utile e dettagliata della condensazione di Bose

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- Ruolo della dimensione: gas di particelle libere in d=2 e d=1, assenza della condensazione di Bose

- Esercizi

- prova itinere 23/1/19 parte quantistica bosonica



- prova itinere 23/1/19 fine

- Esercizio 11/11/2021 parte quantistica bosonica



- fine es 11/11/2021 (parte fermionica)

- oscillatore armonico quantistico

- Vibrazioni in un solido

- modello di Einstein

- modello di Debye



VACANZE NATALE -

ESERCIZI (provate sia parte classica che quantistica)

Archivio esercizi nel sito del Prof. Crisanti al seguente indirizzo

https://www2.phys.uniroma1.it/doc/crisanti/Teach/MecStat/

- es. 31/1/2018 esercizio abbastanza standard

- es.30/1/2019 standard, punto 3b: per calcolare mu, calcolate prima z dalla formula per <N> nel limite T>>1

- es 11/7/18 Nota: per calcolarsi medie che coinvolgono la variabile r occorre trovare la G(eps, r)

- 27/2/2017 Nota: per calcolarsi medie che coinvolgono la variabile sigma occorre trovare la G(eps, sigma)

provate altri esercizi e scrivetemi se ci sono problemi che volete poi discutere a lezione



- Radiazione di corpo nero LL V.63, S7.6



- Esercizio del 30/1/2019 - completo


-Esercizio del 14/5/2020 - prima parte

NOTA: la soluzione completa dell'esercizio puo' essere trovata al link sotto


SOLUZIONI COMPLETE degli esercizi assegnati per le vacanze e di alcuni discussi parzialmente a lezione