บทที่ 4

ฟังก์ชันกำลังสอง (Quadratic function)

ฟังก์ชันกำลังสองเป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูป y = ax² + bx + c เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ a ¹ 0 ซึ่งกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง เรียกว่า พาราโบลา

1) y = 2x² + 3x – 10 เมื่อ a = 2 , b = 3 และ c = -1

2) y = x² + 1 เมื่อ a = 1 , b = 0 และ c = 1

3) y = -x² + 2x + 1 เมื่อ a = -1 , b = 2 และ c = 1

1) กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง ที่กำหนดด้วยสมการ y = ax² เมื่อ a ¹ 0

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง มีชื่อเรียกว่า พาราโบลา ซึ่งลักษณะของกราฟของฟังก์ชันขึ้นอยู่กับค่าของ a , b และ c และเมื่อ a เป็นบวกหรือลบ จะทำให้ได้กราฟเป็นเส้นโค้งหงายหรือคว่ำ และกราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่กำหนดด้วยสมการ y = ax² เมื่อ a ไม่เท่ากับ 0 เมื่อ a > 0 และชนิดคว่ำ เมื่อ a < 0

สรุป ลักษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = ax² เมื่อ a ไม่เท่ากับ 0

- เมื่อ a > 0 ได้พาราโบลาหงาย จุดต่ำสุดอยู่ที่ (0, 0)

เมื่อ a < 0 ได้พาราโบลาคว่ำ จุดสูงสุดอยู่ที่ (0, 0)

- แกนสมมาตรคือ แกน Y หรือเส้นตรง X = 0 ,

สมการแกนสมมาตรคือ X = 0

- เมื่อ a > 0 ค่าต่ำสุดคือ 0 และ เมื่อ a < 0 ค่าสูงสุดคือ 0

- | a | ยิ่งมากกราฟยิ่งแคบ

2) กราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = ax² + k เมื่อ a ไม่เท่ากับ0 และ k ไม่เท่ากับ 0

กราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = ax² + k เมื่อ aไม่เท่ากับ 0 และ k ไม่เท่ากับ 0 จะเป็นกราฟพาราโบลาที่มีจุดวกกลับหรือจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุด อยู่ที่ (0, k) และแกนสมมาตรคือ แกน Y

สรุป ลักษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = ax² + k

- ถ้า a > 0 ได้พาราโบลาหงาย จุดต่ำสุดอยู่ที่ (0, k) ค่าต่ำสุด = k

ถ้า a < 0 ได้พาราโบลาคว่ำ จุดสูงสุดอยู่ที่ (0, k) ค่าสูงสุด = k

- แกนสมมาตรคือ แกน y หรือเส้นตรง x = 0 สมการแกนสมมาตรคือ x = 0

- ถ้า k > 0 จุดวกกลับอยู่เหนือแกน X

ถ้า k < 0 จุดวกกลับอยู่ใต้แกน X

- ถ้า a, k มีเครื่องหมายเหมือนกัน กราฟไม่ตัดแกน X

ถ้า a, k มีเครื่องหมายต่างกัน กราฟจะตัดแกน X

3. กราฟของ y = a(x – h)² เมื่อ a ไม่เท่ากับ 0 และ h > 0

3.1) กราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)² เมื่อ a ไม่เท่ากับ 0 และ h ไม่เท่ากับ 0 จะเป็นกราฟพาราโบลาที่มีจุดวกกลับหรือจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดอยู่ที่ (h, 0) และแกนสมมาตรคือเส้นตรง x = h

3.2) กราฟของ y = a(x – h)² เมื่อ a ไม่เท่ากับ0 และ h < 0

ถ้า h < 0 จะได้สมการใหม่เป็น y = a(x – (-h))²

= a(x + h)²

สรุป ลักษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)²

- ถ้า a > 0 ได้พาราโบลาหงาย จุดต่ำสุดอยู่ที่ (h, 0) ค่าต่ำสุด = 0

ถ้า a < 0 ได้พาราโบลาคว่ำ จุดสูงสุดอยู่ที่ (h, 0) ค่าสูงสุด = 0

• แกนสมมาตรคือ เส้นตรง x = h สมการแกนสมมาตรคือ x = h

- h > 0 แกนสมมาตรอยู่ทางซ้ายของแกน Y

h < 0 แกนสมมาตรอยู่ทางขวาของแกน Y

4. กราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่กำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)² + k เมื่อ aไม่เท่ากับ0 , hไม่เท่ากับ0

และ k ไม่เท่ากับ 0 จะเป็นพาราโบลาที่มีจุดวกกลับหรือจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดอยู่ที่ (h, k) และมีแกนสมมาตรคือ เส้นตรง x = h

สรุป ลักษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)² + k

- เมื่อ a > 0 ได้พาราโบลาหงาย จุดต่ำสุดอยู่ที่ (h, k) ค่าต่ำสุด = k

เมื่อ a < 0 ได้พาราโบลาคว่ำ จุดสูงสุดอยู่ที่ (h, k) ค่าสูงสุด = k

- ถ้า k > 0 จุดวกกลับอยู่เหนือแกน X

ถ้า k < 0 จุดวกกลับอยู่ใต้แกน X

- แกนสมมาตร คือ เส้นตรง x = h สมการแกนสมมาตรคือ x = h

- ถ้า h > 0 แกนสมมาตรอยู่ทางซ้ายมือของแกน Y

ถ้า h < 0 แกนสมมาตรอยู่ทางขวามือของแกน Y

- ถ้า a และ k มีเครื่องหมายเหมือนกันกราฟไม่ตัดแกน X

ถ้า a และ k มีเครื่องหมายต่างกันกราฟตัดแกน X

5. กราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = ax² + bx + c เมื่อ a ไม่เท่ากับ 0 การเขียนกราฟควรจัดสมการให้อยู่ในรูป y = a(x – h)² + k จะทำให้เขียนกราฟได้ง่ายขึ้น

จากสมการ y = ax² + bx + c สามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูป y = a(x – h)² + k ได้โดยใช้ความรู้เรื่องกำลังสองสมบูรณ์

ตัวอย่าง จงหาจุดวกกลับของกราฟของฟังก์ชัน y = 2x² + 4x – 16

วิธีทำ จาก y = 2x² + 4x – 16

= 2(x² + 2x – 8)

= 2{(x² + 2x + 1) – 8 – 1}

= 2{(x + 1)² – 9}

= 2(x + 1)² – 18

จะได้ h = -1 , k = -18

ดังนั้น จุดวกกลับคือ (-1, -18)

นักเรียนสามารถศึกษาได้ตามคลิปวิดิโอด้านล่างนี้