LOGARITMOS
La importancia de medir y calcular
En el s. XVII se acomete el estudio preciso de las leyes naturales (con las funciones) y de sus variaciones (con el Cálculo Diferencial). Pero se trataba de conceptos teóricos que debían aplicarse a medidas experimentales, sobre las que luego había que realizar cálculos laboriosos. Se ponían en evidencia dos requisitos importantes: por una parte, disponer de un sistema universal de medidas; y, por otra, mejorar la capacidad de cálculo.
Lo primero no se alcanza plenamente hasta 1792, cuando la Academia de Ciencias de París establece el Sistema Métrico Decimal, un triunfo imperecedero del racionalismo impuesto por la Revolución Francesa (ver grabado de la derecha).
Pero la mejora de los cálculos, tanto en rapidez como en precisión, era una línea de avance permanente desde el siglo XV, que había fructificado ya en el siglo XVI en un concepto decisivo:el logaritmo.
Renacimiento: tablas para los cálculos
En el Renacimiento, una pseudociencia como la Astrología contribuyó indirectamente al progreso de la Ciencia, ya que la elaboración de los horóscopos obligaba a cálculos y observaciones astronómicas (una curiosidad: el alemán Michel Stifel, importante en el desarrollo de las tablas de logaritmos, profetizó el “fín del mundo” para el 18 de octubre de 1533 a las 8:00 y fue destituido por fallar en su predicción).
Lo mismo cabe decir de la elaboración de los calendarios. O, en Arquitectura, el diseño de fortalezas teniendo en cuenta las condiciones del terreno para, con la ayuda de bastiones, ángulos, salientes, etc., protegerse de la artillería de los sitiadores; también en Navegación, etc.Todas esas necesidades planteaban problemas de Trigonometría y había que disponer de tablas trigonométricas precisas. El alemán Johaness Müller “Regiomontano” publicó en el s. XV tablas del seno de un ángulo a intervalos de 1’ y tablas de la tangente a intervalos de 1º. Pero, una vez conocidas las razones trigonométricas había que realizar cálculos complicados con ellas.
Los logaritmos se inventaron con el propósito de simplificar, en especial a los astrónomos, las engorrosas multiplicaciones, divisiones y raíces de números con muchas cifras.
El concepto de logaritmo se debe al suizo Jorst Bürgi y su nombre tiene un significado muy explicativo: logaritmo significa “número para el cálculo”. El escocés John Napier (en la foto) enseguida lo aprovechó para publicar en 1614 su obra “Mirifici logaithmorum canonis descriptio” (descripción de la maravillosa regla de los logaritmos) con las primeras tablas de logaritmos para el seno y el coseno de un ángulo a intervalos de 1’ y con siete cifras. Pero veamos cuál fue su genial idea.
La idea clave: trabajar con los exponentes de potencias es más fácil
Veámoslo, observando la tabla de las 30 primeras potencias de 2 (desde 20 hasta 229):
20 = 1 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16
25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256 29 = 512
210 = 1024 211 = 2048 212 = 4096 213 = 8192 214 = 16384 215 = 32768
216 = 65536 217 = 131072 218 = 262144
219 = 524288 220 = 1048576 221 = 2097152
222 = 4194304 223 = 8388608 224 = 16777216
225 = 33554432 226 = 67108864 227 = 134217728
228 = 268435456 229 = 536870912
Ahora calculamos:
32768 · 16384 = 215 · 214 = 215+14 = 229= 536870912
268435456 : 1048576 = 228 : 220= 228-20 = 28 = 256
5123 = (29)3 = 29·3 = 227 = 134217728
p67108864 = p226 = 226:2 = 213 = 819
U En los cálculos anteriores ha sido una gran ventaja trabajar con los exponentes de las potencias, en lugar de hacerlo con los números del principio. Gracias a ello, para hacer el producto sólo hemos tenido que hacer una suma de exponentes; para el cociente, una diferencia; etc. Pero enseguida surge una objeción: ¡Esos números están preparados!
Si los números con los que hay que operar no están entre esas potencias de 2, ¿qué se hace?. Por ejemplo: 678.314 x 15.432.099
La respuesta es que esos nuevos números, y cualesquiera otros positivos, aunque no estén en la tabla dada de potencias de 2, también pueden expresarse como potencias de 2 ... con exponentes racionales.
Por ejemplo (compruébalo con tu calculadora):
678.314 = 2 19,371594
15.432.099 = 2 23,879431
678.314 x 15.432.099 = 2 19,371594 x 2 23,879431 = 2 19,371594 + 23,879431 = 2 43,251025 = 1,0467811 x 1013
U Es momento de recordar el significado de semejantes potencias, donde el exponente es un número decimal. Tal vez te hayan extrañado, pero piensa que cualquier decimal exacto se puede poner en forma de fracción y que la potencia de exponente fraccionario es una raíz.
Ejemplos: 2 0,5 = 2 1/2 = p 2 7 0,2 = 7 1/5 = 5p 7 3 2,357 = 3 2357 / 1000 = 1000p32357
U Volvamos al ejemplo de las potencias de 2. Es sorprendente pensar que cualquier número se pueda expresar como potencia de 2. ¿Y como potencias de otra base positiva?... ¡También se puede!.
Por ejemplo:
5 se puede expresar como potencia de base 10: 5 = 10 0,69897
se dice que el logaritmo de 5 en base 10 es 0,69897 y se expresa así: log 10 5 = 0,69897
5 se puede expresar como potencia de base 2: 5 = 2 2,3219281
se dice que el logaritmo de 5 en base 2 es 2,3219281 y se expresa así: log 2 5 = 2,3219281
5 se puede expresar como potencia de base 3: 5 = 3 ?
calcular ese exponente será calcular el logaritmo de 5 en base 3 .
De todo lo anterior, obtenemos una propiedad y una definición importantes:
Propiedad: Si a es un número positivo distinto de 1, cualquier número real positivo N se puede expresar como potencia de a con un exponente racional x . N = a x
Esta forma de escribir un número N se dice que es su notación potencial o logarítmica.
Definición: El logaritmo en base a de un número N es el exponente al que hay que elevar la base a para que dé dicho número.
N = a x < === > x = log a N
De todas las bases posibles, para los logaritmos se usa preferentemente la base 10. Así, los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos decimales y se representan sin necesidad de escribir la base.
log x = log 10 x
Los cálculos con las tablas de logaritmos
A partir de la publicación de las tablas de logaritmos, la forma práctica de proceder ante cálculos complicados era ésta: Si había que calcular, por ejemplo, 5p 45.876.112
Primero se buscaba en las tablas: log 45.876.112 = 7,6615866
Entonces: 5p 45.876.112 = 5p 10 7,6615866 = 10 7,6615866 / 5 = 10 1,5323173
Y ya sólo faltaba conocer esa potencia, lo cual también se obtiene en las tablas de logaritmos: se le llamaba antilogaritmo.
10 1,5323173 = 34,065699 (comprueba en tu calculadora que , 5p 45.876.112 = 34,065699)
Hallar el logaritmo consiste en hallar el exponente de la potencia, conocido el resultado. Hallar el antilogaritmo era el proceso inverso: conocido el resultado, hallar el exponente de la potencia.
Los logaritmos en la calculadora
En particular, podemos obtener logaritmos decimales en la calculadora, con la tecla log
Para conocer logaritmos en cualquier otra base, basta aplicar esta fórmula de conversión:
log a x = log x / log a
Aproximación de logaritmos entre dos enteros
Aproximando un número con potencias, por defecto y por exceso, se puede aproximar su logaritmo. Por ejemplo:
Si buscamos log 2 13 : 8 < 13 < 16 à 2 3 < 13 < 2 4 à 3 < log 2 13< 4
Si buscamos log 0,010 : 0,010 < 0,057 < 0,100 à 10 -2 < 0,057 < 10 -1 à -2 < log 0,057< -1
Propiedades de los logaritmos
Como consecuencias de la definición de logaritmo:
Las cuatro últimas propiedades encierran la utilidad de los logaritmos: trabajando con exponentes, el producto se convierte en suma; el cociente, en diferencia; la potencia, en producto; y la raíz en cociente.
Todas las operaciones se transforman en otra más sencilla.
Logaritmos neperianos
Si se adoptó la base de logaritmos decimal fue por analogía con nuestro sistema de numeración, basado en los dedos de las manos. Pero, después de estudiar diversos fenómenos de crecimiento y decrecimiento en la Naturaleza (por ejemplo: aumento de una población de bacterias, desintegración radiactiva, etc.), se observó que una y otra vez aparecían las potencias de un número irracional al que se llamó el “ número e ”:
Para estudiar esos fenómenos son muy útiles los logaritmos cuya base es el número e , llamados logaritmos neperianos en honor de John Neper. Se representan así: ln x = log e x .
Aplicaciones de los logaritmos
Los logaritmos hoy ya no son necesarios para hacer grandes cálculos; gracias a la microelectrónica es posible hacerlos de forma instantánea con la calculadora o el ordenador. Sin embargo, durante siglos de uso, los logaritmos dejaron su huella en las Matemáticas y aún hoy es necesario que los conozcas; pero ahora ya no para calcular, sino para utilizarlos como concepto asociado a muchas situaciones. En particular, son útiles las escalas logarítmicas (entre ellas, la Escala de Richter).