Cálculo Metal

Un poder primero es el producto múltiplo de un número por sí mismo: a³ = a × a × a . Las matemáticas modernas generalizar este concepto de una manera natural: ¿Cómo es a^{- 2} para 1 / a² y a^3/5 para la quinta raíz de a³ .

Potencias con exponente naturales | Multiplicar | Exponenciación | Potencia | de base | exponente (exponente) | El control central de procesamiento | Calculadora de energía |Entero exponente | a ⁰ | a ^{- 1} | a ^{- m} | exponentes racionales | a ^1/2 | a ^{1 / q} | a ^{p / q} | a ^{- p / q} | Más reglas de cálculo | Cálculo con potencias | deletreo simplificado (ortografía potencia) | Formación de términos | Instalaciones de Práctica | denominadores hacen racional | potencias y el orden de los números reales | ayuda a la computadora |Resumen | Vistas

Potencias con exponente natural,

Somos poderes ya se reunieron a principios y en ocasiones se escriben de como a ^{- 1} de 1 / a y a^medio para la √ a usada. En este capítulo vamos a discutir lo que se trata todo esto. Al principio, nos fijamos en donde el término viene el poder.

El origen de multiplicar el espíritu de la adición

Podemos limitar la cantidad 5 veces "añadir a sí mismos", tres, para que podamos 5 + 5 + 5 forma la suma y escribir como 3 × 5 Podemos hacer esto con cualquiernúmero de make (real) y luego utilizar símbolos abstractos (letras): Si una es un número, y luego 3 a (o 3 × a ) no es más que a + a + un significado, y si no especificar el número de sumandos, escribimos n a , donde n es un número natural arbitrario ( n es = 1, 2, 3, ...). De esta manera, la idea de creado multiplicando de la idea de la adición . Para facilitar el manejo de este tipo de expresiones, se puede utilizar una regla de cálculo (identidad) hasta:

En ella es una de un número real arbitrario. m y n debe - primero - ningún naturales números ( m, n = 1, 2, 3, ...) ser. Podemos usar esta idea de la multiplicación, pero generalizar , por de m y n y reales los números de permiso. Esto nos lleva a multiplicar operación aritmética en el conjunto de los números reales, un elemento fundamental para las matemáticas Estructura.

El origen de la potenciación del espíritu de la multiplicación

La idea de la "potenciación" sigue siendo simplemente repetir el razonamiento para el caso que acabamos de demostrar que la multiplicación (y no, como antes, por laadición se supone), podemos aumentar el número 5 tres veces ", multiplicado por sí mismo "esa es la forma de producto 5 × 5 × 5, y escribo como 5 ³ . Podemos hacer esto con cualquier número de make (real) y luego utilizar símbolos abstractos (letras): Si una es un número, y luego con un ³ más que a × a × a significado, y si no lo hacemos con interés la serie de factores establece, escribimos a ⁿ (pronunciado " a gran n "), en el que n es un número natural arbitrario ( n es = 1, 2, 3, ...). De esta manera, la idea de creado exponenciación de la idea de multiplicar . Llamamos

• • a ⁿ una potencia (el " n -ésima potencia de a ", a veces se dice:" A es para el n -th potencia donde "),

  • a la de base y

  • n el exponente (o exponente ).

Esta notación no es nuevo para nosotros. Para facilitar el manejo de este tipo de expresiones, se puede utilizar una regla de cálculo (identidad) establecer que a raíz de una importancia central será:

En ella es una de un número real arbitrario. m y n debe - primero - ningún naturales números ( m, n = 1, 2, 3, ...) ser. Para demostrarlo, hay que en realidad casi nada que hacer, ya que simplemente expresa el recuento de los factores: Por ejemplo, el producto de 5 ³ (es decir, 5 × 5 × 5) 5 ⁴ (es decir, 5 × 5 × 5 × 5 ) producto de 7 veces de 5 con sí mismo, de modo 5 ⁷ , es decir, 5 ^{3 + 4} . Elegantemente esta regla combina el producto (de magnitud) con la suma (números altos). A pesar de su simplicidad, que atrae - como veremos más adelante en este capítulo - muchas consecuencias interesantes . Según el fin de calcular los valores numéricos de los poderes rápidamente, ofrecemos aquí una calculadora de energía disponible:

Dados dos números a y m , calcula a ^m . A 5 ³ para calcular, introduzca 5 en el primero y tres en el segundo (en relieve) cuadro de texto y haga clic en el signo igual! (Cualquier otra calculadora electrónica o una calculadora puede, por supuesto).

Pero no hemos terminado todavía!

• • Recordemos, como más arriba hemos actuado en la motivación de la idea de multiplicar: Al principio sólo el producto de un número real (era una ) por un número natural ( n ) se define. En consecuencia, se encontraban en la regla de cálculo ( 1 ) para m y n inicialmente sólo naturales números admitidos. El siguiente paso, para m y n arbitraria reales números de permiso, es una verdadera generalización matemática que no puede ser reducida a recuento de los sumandos! Sólo cuando se está multiplicando a una operación de cálculo general, en el conjunto de los números reales.

  • Del mismo modo, hayan sido previamente admitidos como exponentes de poderes únicos números naturales. En consecuencia, son m y n en la regla de cálculo ( 2 ) para los naturales números. En las dos secciones siguientes vamos a considerar si tenemos el alcance del zoom de exponentes permisibles , pero las reglas en ( 2 se puede mantener). Somos una parte de esa pregunta y la respuesta en esta parte en capítulos posteriores y por lo tanto encontramos estructuras matemáticas interesantes y útiles aplicaciones.

Si usted está interesado sólo en las recetas acabadas, pero no por las razones, las dos secciones siguientes de salto , saltos a la última sección que tomaresumida nota y lee entonces cuando se necesita la penúltima sección, se discute en los ejemplos y consejos para cálculos prácticos se les da.

Potencias con exponentes integrales

¿Tiene algún sentido para un número real a ' - 1 veces consigo mismo para multiplicar "? A primera vista, esto puede parecer exagerado. Pero por otro lado, también se podría rechazar la idea de los números negativos, con el argumento de que "los números" provienen de "contar", y no habría ningún número negativo de las cosas -un argumento que con la simple referencia a los "números rojos" en una hoja de balance o las "temperaturas negativas" se reconocerían en el invierno. Así que vamos a tratar de la introducción de nuevas estructuras matemáticas no ser parcial y consideramos la regla ( 2 ): Si tentativamente m = 1 y n = - 1 juego, obtenemos el testimonio de a ⁰ =a ¹ a ^{- 1} . Pero lo que podría a ⁰ a ser? Para aclarar esto, utilizamos en la regla ( 2 ) m = 1 y n = 0 y obtenemos a ¹ = a ¹ a ⁰ . Pero sabemos que a ¹ = una es. Por lo tanto, si a ⁰ , con un multiplicada, de nuevo un resultado, por lo necesario

En este punto, debemos recordar que esto sólo es posible si un ≠ 0. Ahora vemos que tenemos la declaración " a es - 1 vez multiplicado por sí mismo "puede dar un sentido: el tiempo cero corresponde a multiplicar, por ( 3 ), el número 1, y un número de "negativa" de factores, obviamente, corresponde a la Divide (similar " a es cero veces a sí mismo añadidos "como 0 y" a voluntad - 1 veces a sí mismo añade "como - a puede ser interpretado). Finalmente, se deriva la regla ( 2 ) una vez más de Fijamos n = - m , donde m es puesta por número natural cualquiera ( n es decir negativo). El resultado es a ⁰ = a ^m un ^{- m} , y ( 3 ) sigue inmediatamente que a ^{- m} de la inversa de un ^m

es:

que también sólo para a ≠ 0 es posible. Este es el resultado principal de esta sección. El resultado obtenido anteriormente (4) es un caso especial de (para m = 1).Si ahora - a ser seguro ir - la regla ( 2 ) Compruebe de nuevo (ver el botón de al lado), nos encontramos con que también se cumple si los exponentes m y n son enteros cualesquiera están permitidos. . Nuestro primer intento, la gama de exponentes permisibles para ampliar ha tenido éxito y ha demostrado ser coherente lo tanto oficialmente una innovación matemática y levantar ( 3 ) y ( 5 ) a las definiciones :

Nuestro arriba calculadora de potencia conoce estas definiciones también. Pruébelo usted mismo: Calcular con su ayuda, 2 ^{- 3} (pero superior a la que antes , lo que debería salir)!

Potencias con exponentes racionales

Después de este éxito, con audacia vamos un paso más allá y preguntar: ¿tiene sentido, incluso los números racionales permiten como potencias? Recordamos: Un número racional es un número real que se puede escribir como cociente de dos enteros (una fracción). ¿Tiene algún sentido, un número real a "1/2 veces por sí mismo que multiplicar"? Aplicamos nuestro método probado, la regla de cálculo ( 2 ) explotar. Esta vez es la mejor opción para nuestros propósitos, m = 1/2 y n = 1/2 .Pusimos esto en ( 2 ) y obtenemos el testimonio de a ¹ = a ^1/2 × a ^1/2 ≡ ( a ^1/2 ) ² . (Se utiliza el símbolo ≡ para indicar diferentes grafías para el mismo plazo) .Desde a ¹ = a es, lo haría, si este concepto tiene algún sentido,a ^1/2 de la raíz cuadrada de a ser:

Esto es, por supuesto, sólo es posible si a ≥ 0. Este resultado es ahora quizás no tan inesperada: Si a "1/2 se multiplica a sí mismo," y luego a ^1/2" el tiempo se multiplica a lo que está bien que el total de nuevo un resultado. (Para ser precisos ahora: Nos podría en este punto a ^1/2 como - √ a punto cuyo cuadrado es también a .. 's Eso complicaría enormemente los próximos pasos, que es por eso que no consideramos que esta posibilidad adicional, la decisión de el positivo de la raíz puede ser tan justificado: queremos que la propiedad "el poder de un número positivo es positivo" también se aplica cuando los números racionales se permiten como exponentes). A continuación, un intento es a ^1/3 para dar un significado . Observamos en primer lugar que a partir de ( 2 ) una regla más general sigue: Después de multiplicar ambos lados de ( 2 ) con a ^k , donde k es un número natural, y una mayor aplicación de ( 2 )

deberá

Lo que también sólo es posible cuando a ≥ 0.

Ahora vamos al paso final para permitir que los números racionales arbitrarias como exponentes. En primer lugar, tratamos el caso de los números racionales positivos (es decir, los números como cocientes p / q se puede escribir dos números naturales), tenga en cuenta la variante de ( 8 ) con p exponentes y poner todo esto exponente igual a 1 / q . Esto resulta en el mensaje a ^{p / q} = ( a ^{1 / q} ) ^p , en donde p y q son números naturales arbitrarios, y a ^{1 / q} tal como se define por (9). a ^{p / q} Por lo tanto, la np poder-ésimo de la q -ésima raíz de a . No es difícil demostrar que la misma que la q -ésima de la raíz de la p -ésima potencia de una, de manera que el nosotros Cierre

en la que el denominador de ( 10 es dado). Hemos alcanzado nuestro objetivo. Un chequeo final (ver el botón adyacente) muestra que las reglas de cálculo ( 2 ) y ( 5 ) se encuentran también satisfechos para exponentes racionales. , por tanto, llevamos a cabo nuestra segunda nueva y hacemos ( 9 ) - ( 11 ) para las definiciones :

Nuestro arriba calculadora de potencia conoce estas definiciones también. Pruébelo usted mismo: Calcular con su ayuda 9 ^3/2 (pero superior a la que previamente , lo que debería salir)! El exponente se puede utilizar como 3/2 o 1,5 como entrada sea. No es difícil, algunas reglas más para derivar prácticas para el cálculo real.Nosotros

mencionar (sin pruebas)

En ( 12 ) - (17) son m y n números racionales arbitrarias. Por ejemplo, los medios ( 14 ) para m = 1/2, de modo que la raíz cuadrada de 1 / a es igual al recíproco de la raíz cuadrada de A es.

El siguiente paso lógico, el rango permisible un exponente para todos los verdaderos números se extiende, un capítulo posterior reservados.

Cálculo con potencias

Dado que las potencias se producen en muchos contextos, es útil para tratar con ellos de manera segura a puede.

Notación simplificado

Nuestro nuevo concepto de alimentación tiene inicialmente una consecuencia práctica: A menudo se utiliza para evitar la carta de términos de caracteres de raíz y líneas rotas. Así, por ejemplo, la Rompiendo plazo

dentro del flujo de texto más conveniente que (1 - x ² ) ^{- 1/2} representan. En lugar de no muy buena forma √ 2 para la raíz cuadrada de 2, 2 ^1/2 , en lugar de su inversa 1 / √ 2, 2 ^{- 1/2} están escritos. Fracturas y personajes de raíz están presentes sólo torpe en los sitios web, por lo que en matemáticas en línea a menudo la notación de potencia se prefiere. En un primer momento podríamos ser un poco acostumbrarse a él, pero después de algún tiempo a lo mejor son percibidos como más comprensible y más claro que una notación con caracteres de raíz y líneas rotas. Pero también tiene ventajas matemáticas a la que ahora hablamos venir.

La formación de términos

El conocimiento que hemos adquirido en este capítulo, sugieren que las cosas que son aparentemente tan variadas como la cuadratura que el inverso de la raíz cuadrada, y en un nivel más fundamental, tienen algo en común . La mera utilización de la notación de potencia hace que sea posible considerar estas operaciones de recogida bajo un solo punto de vista: como la formación de magnitud. Veamos un ejemplo de: ¿Puede el Plazo

simplificar? Esto demuestra la ventaja de la perspectiva unificadora: Si el término en el Forma

por escrito, por lo que sólo necesita dos veces la regla de cálculo ( 12 ) - leer de derecha a izquierda - se aplicará a él a

Con su ayuda, la simplificación de los términos puede ser "automatizado" con poderes, hasta cierto punto, similares a los números se multiplican. Después de un poco de práctica usted debería ser capaz de ver rápidamente un término dado que las transformaciones son posibles (y útil) y ya que se realizan. Numerosasoportunidades de práctica que encuentran en la colección de tareas Cálculo con potencias , la Universidad de Bayreuth en el proyecto de SMART ofrece. En particular las secciones "transformaciones temporales" → "exponente del número entero" y "Transformaciones término" → "exponente racional o real" se corresponden con el material colocado aquí. Los términos son a deformarse hasta cierto punto muy complicado, pero en todos los casos, se dan las soluciones. Entre las otras secciones de proporcionar oportunidades de ejercicio en el sentido más amplio sobre el tema

. Incluir

Hacer el denominador racional

Aunque ( 21 ) es una forma clara de escribir un término, es no siempre útiles, productos y cocientes de potencias de la misma base en una sola para reducir la potencia. Esto es especialmente cierto si usted desea continuar en cuenta esos términos. Imaginemos, por alguna razón, era necesario que Cuenta

realizar. Esta suma puede ser más fácil? Si rompes con √ expandir 2 y utiliza el hecho en el denominador, que el cuadrado de √ 2 es 2, (22) a

lo que una vez que el Resultado

resultados. El truco consistía en poner la raíz de una fracción por ampliar adecuadamente el denominador entre el numerador. Este método se llama " hacer el denominador racional "(en este caso lo que realmente debe decir:" hacer el denominador un número entero "). Con su ayuda, nosotros reconocemos que √ 2 sólo dos veces el inverso de 1 / √ 2. Si no nos hubiéramos dado cuenta, estaríamos atascados con nuestro medio camino factura y no habríamos siquiera sabía lo fácil que el resultado final (24). 's notación potencia es (22): 2 ^1/2 - 2 ^{- 1/2} . Hacer el denominador racional aquí significa regla de cálculo ( 2 ) se aplica y el 2 ^{- 1/2} como a2 ^{- 1} x 2 ^1/2 a escribir, con lo que levantando 2 ^1/2 - 2 ^{- 1} x 2 ^1/2 = ( 1 - 1/2) 2 ^1/2 = (1/2) x 2 ^1/2 = 2 ^{- 1 + 1/2} = 2 ^{- 1/2} da como resultado, lo que es lo mismo que ( 24) es. Aunque este método no es el más cómodo aquí, proporciona una agradable confirmación de la dar declaración anterior. A menudo tiene sentido, fracciones, que contiene las raíces cuadradas en el denominador para tratar de esta manera. La clave para esto es la

Identidad

para cada a > 0. Simplemente causado por la expansión de una ruptura con √ a . En este caso, un soporte para un término, siempre y cuando sus valores son 0 o negativo. Pruebe esta identidad y el argumento, que es su base, para recordar!

Poderes y el orden de los números reales

Intuitivamente estamos acostumbrados a que los números exponenciales mayor que 1 aumenta. Ejemplo: 2 ² ≡ 4> 2 . Si se permite que los exponentes racionales, pero esto no es siempre el caso. Así, por ejemplo 4 ^1/2 es igual a 2, que es menor que 4 El comportamiento de los exponentes negativos puede el sentido de la orden de los números van en contra: Así es (1/4) ^{- 1/2} = 2, es decir, mayor que 1/4. Si se tiene en cuenta estos peligros, el resultado es las relaciones de tamaño de las potencias de reglas simples. A continuación se presentan m y m ' para los números racionales:

• • Es la base de a > 1, entonces: Para m < m ' sigue a ^m < a ^{m '} .

  • Si la base es a <1, entonces: Para m < m ' de la siguiente manera a ^m > a ^{m '} .

Por m o m ' ser elegidos como 0 ó 1, seguido de los más en la práctica de las propiedades necesarias:

También es útil usar las reglas para el cálculo de poderes en estos asuntos:

Compararse con los mismos poderes de exponente, pero con diferentes bases, por lo que se puede hacer referencia a las siguientes reglas (que se pueden derivar de lo anterior, por cierto) Sostener: Para 0 < a < b sostiene: Si m > 0, se deduce a ^m < b ^m , es m <0, se deduce que a ^m > b ^m .

La computadora ayuda

Todas las calculadoras científicas y muchos programas de computadora en el equipo se pueden calcular potencias, como sus exponentes arbitraria números decimales se pueden introducir.

• • En la calculadora de presentarse a la cuadratura y la formación de la tercera potencia a menudo teclas propias. El para el cálculo de un poder general de x ^Ynombres y combinaciones de teclas competentes no están estandarizados.

  • Si usted es un programa de ordenador en ordenador utilización, debe ser informado de antemano sobre las instrucciones para el cálculo de los poderes -que a veces cuelgan en el lenguaje de programación subyacente herramienta subyacente.

    • La matemáticas mini-ordenador en línea y JavaCalc han sido especialmente programados para la notación conveniente con el símbolo ^ aceptar: A 2 ^0,4 para calcular, introduzca 2 ^ 0.4 a.

    • Para la raíz cuadrada de la función JavaScript es sqrt disponible.

    • Ejemplo : sqrt (2) por la raíz cuadrada de 2

    • Atribuciones generales también se puede utilizar la función JavaScript pow se puede calcular.

    • Ejemplo: pow (2,0.4) para 2 ^0.4 .

  • Además, algunas otras herramientas electrónicas (tales como las matemáticas Plotter Función en línea ) permiten el símbolo ^ como una entrada de usuario válido para calcular la potencia. Pero Precaución : En las herramientas informáticas que fueron diseñados no específicamente para este propósito, este símbolo también puede tener otros significados (por ejemplo, el "bit a bit XOR" en JavaScript).

El símbolo ^ también se utiliza a menudo en el flujo de texto de los documentos electrónicos como notación de potencias (es un decir "alto" como una abreviatura de la palabra: x ^ y "representa x hasta y "), sobre todo cuando no hay posibilidad símbolos en superíndice.

Resumen y perspectivas

En esta última sección, resumimos las definiciones que definen la importancia de las potencias con exponentes racionales, juntos y daremos algunos puntos de vista sobre los temas de la tarde Capítulo.

Resumen

El segundo y tercer párrafos de este capítulo potencias un ^x se define para el caso de que el exponente x es cualquier número racional (que es un número real que se puede escribir como un cociente de dos números enteros). En resumen, son nuestras definiciones :

Aquí es un es un número real (la base):

Por lo tanto, la potencia es una ^x para cada racionales x definidos. Las definiciones se eligieron de manera que la regla de cálculo ( 2 ), que es una declaración bastante trivial para los exponentes naturales, sigue siendo aplicable. Usted en un sentido forma la estructura central de este capítulo. Podríamos haber elegido el lema "Donde tú vayas, si la regla ( 2 ) también se toma en serio para exponentes racionales "pueden proporcionar. Como consecuencia de las definiciones anteriores se aplicanIdentidades ( 12 ) - ( 17 ).

Vistas

Ya hemos aprendido de magnitud anteriormente, han adoptado este término aquí exactamente y fuertemente generalizada y él y sus estructuras relacionadas en capítulos posteriores seguirá desarrollando y analizar con más detalle:

• • El exponente es fijo y la función de una potencia de la base, es decir, la regla de asignación

    • x → x ^m

  • de fijo m se considera, entonces hablamos de una función de potencia . Propiedades y gráficos de estas funciones para exponentes enteros m ya hemos estudiado en la primera función de capítulo.

  • La definición de potencia puede ser utilizado para cualquier exponente real de ser extendido. Esto se hará en un capítulo posterior.

  • También hay otro concepto importante se introduce: Si la base fija y la dependencia de un exponente de poder, es decir, la regla de asignación

    • x → una ^x

  • correcciones para un considerado> 0, nos hablan de una función exponencial . Dichas funciones se utilizan para describir los procesos de crecimiento y de desintegración y son la razón de la definición de la logaritmo .

  • Los gráficos y otras características de las funciones eléctricas se discuten en la segunda función de capítulo.

  • Finalmente potencias pueden con números complejos se pueden definir como un exponente.

El motor de todos estos acontecimientos - como fue el caso ya en este capítulo - la regla de cálculo simple ( 2 ) ser.