faktor normalverteilung ϕ(x/µ)
= phi(x/µ) deisenroth = phi(µ/x)
ϕ(x/µ) = ϕ(µ/x)
= e^(-n*(ln(x/µ)/ln(σd))²)

faktor normalverteilung ϕ(x/µ) = phi(x/µ) deisenroth und simulation kumulatives wahrscheinlichkeitsprodukt ϕcp(x1*x2) und streufaktorprodukt σcp(ϕcp)

faktor normalverteilung phi(x/µ) = ϕ(x/µ) deisenroth und streufaktor simulation kumulative streufaktorwahrscheinlichkeit ϕc(x1*x2) 

faktor normalverteilung ϕ(x) = phi(x) = e^(-n*(ln(x/µ)/ln(σd))²)

dichte normalverteilung = ϕ'(x) = phi'(x) = abs(2n*e^(-n*(ln(x/µ)/ln(σd))²)*ln(x)/((ln(σd))^2/x) 

kumulative faktor normalverteilung ϕc(x) = phi cum (x) = 0,5*e^(-n*(ln(x/µ)/ln(σd))²) = 0,5* ϕ(x)

phi cum factor distribution deisenroth = ϕc(x/µ;σd;n) = 0,5*ϕ(x/µ;σd;n)= 0,5 * e^(-n*(ln(x/µ)/ln(σd))²) = 0,5*ϕd(x/µ;σd;n)

phi cum product factor  deisenroth = phi cum product factor (n=1) = ϕcp(σcp) ≈=1/2^0,5  (≈ 0,707) - empirisch durch monte carlo simulation ermittelt

phi cum product factor (n)  = ϕcp(σcp;n) = ϕcp(σcp)^n ≈ 0,707^n

Beispiele für ϕcp(n) = ϕcp(σcp)^n = (0,)^n = geschätztes wahrscheinlichkeitsprodukt von n stichproben für "xgeo*sd<µgeo"

ϕcp(n=1) = 0,707 = phi cum product factor deisenroth  

ϕcp(n=2) = 0,5

ϕcp(n=3) = 0,354

ϕcp(n=4) = 0,25

ϕcp(n=5) = 0,1768

ϕcp(n=6) = 0,125

ϕcp(n=7) = 0,0884

ϕcp(n=8) = 0,0625

ϕcp(n=9) = 0,04419

ϕ(n=10) = 0,03125 ≈ 3 percent (%) ≈ 3 error per hundert opportunities

ϕcp(n=20) = 0,001 ≈ 0,1 promill ≈ 1 error per thousend opportunities

ϕcp(n=30) = 31*10-6 ≈ 31 ppm ≈ 31 error per million opportunities

ϕcp(n=40) = = 1*10-6 ≈ 1 ppm ≈ 1 error per million opportunities

ϕcp(n=50) = 2,98 E-08 ≈ 30 *10^-9 ≈ 30 ppb ≈ 30 error per billion opportunities

ϕcp(n=60) = 9,3132 E-10

ϕcp(n=70) = 2,91 E-11 ≈ 0,3 * 10^-12 ≈ 0,3  ppt ≈ 0,3 error per trillion opportunities

ϕcp(σcp) = standard phi cum product factor deisenroth = ϕcp = 1/2^0,5 ≈ 0,707 = ϕcp(σcp) 

σcp(ϕcp) = standard sigma cum product factor deisenroth = σd^(±√(-ln(0,707)) = σcp = standard sigma product factor deisenroth

σ(ϕ;σd;n) = σd^±√(-ln(ϕ)/n)  = σcp(ϕ) = σ(ϕ;n) =  σ(ϕ) = σ = x/µ = sigma factor deisenroth

ϕcp(n) = phi cum factor product deisenroth = ϕcp(n) = 0,707^n

ϕ(x/µ;n;σd) = e^(-n*(ln(x/µ)/ln(σd))²) = phi factor distribution deisenroth = phi faktor deisenroth = ϕd

σ(ϕ;n;σd) = x/µ= σd^±√(-ln(ϕ)/n) = sigma factor normal distribution deisenroth = sigma faktor normalverteilung deisenroth 

ϕc = 0,5*ϕd = cumulative probability factor = phi cum factor deisenroth = kumulierter Wahrscheinlichkeitsfaktor deisenroth

σc(ϕ) = σd^(±√(-ln(2*ϕ))= cumulative scattering factor = sigma-cum-factor = kumulierter sigma Streufaktor deisenroth

ϕcp(σcp) = standard phi cum product factor deisenroth = ϕcp = 1/2^0,5 ≈ 0,707

ϕcp(n) = ϕcpn = phi cum factor product = kumuliertes Wahrscheinlichkeitsprodukt deisenroth ≈ 0,707^n (empirisch durch monte carlo simulation ermittelt)

ϕcp(xgeo*sd<µgeo) = (0,707)n = phi-cum-product for xgeo,n*sdn< µ = kumuliertes Wahrscheinlichkeitsprodukt für xn*sdn<µ 

σcp(ϕcp;σd) = σd^(±√(-ln(ϕcp)) = sigma cum product factor deisenroth = sigma kum produkt faktor deisenroth (monte carlo simulation)

σcp(ϕcp;σd) = σd^(±√(-ln(0,707))  = sigma cum product factor deisenroth = sigma kum produkt faktor deisenroth (monte carlo simulation)

xgeo*sd±1  ≈ µgeo*σn(n) = estimated scattering factor limit deisenroth = geschätzter intervall faktor grenze deisenroth 

σn(ϕ;σd±1;n) = σd^(±√(-ln(ϕ)/n)) = true sigma factor confidence interval deisenroth = wahres sigma faktor intervall deisenroth

σn(sdn;xn ) ≈xgeo*sdn±1 =  estimated sigma-factor confidence interval deisenroth = geschätzter sigma faktor intervall deisenroth

standard scattering probability limit factor normal distribution function sigma zeta phi deisenroth = σ(ϕ;n) = σd^±ζ(ϕ;n) = σd^(±√(-ln(ϕ)/n)) = x(ϕ;n)/µ

σ = x/µ = sigma factor deisenroth

sigma factor = x/µ = σ(x/µ;ϕ;n;σd) = sigma factor deisenroth = σd^±√(-ln(ϕ)/n) 

zeta = ζ(ϕ;n) = zeta deisenroth = ±√(-ln(ϕ)/n) = ζd(ϕ;n) 

phi = ϕ(x/µ;n;σd) = phi factor deisenroth = e^(-n*(ln(x/µ)/ln(σd))²) = ϕd(x/µ;n;σd)

σd = e^(2*ln(µari/µgeo))^0,5
= wahrer standardstreufaktor sigma deisenroth
= wahrer standardfaktor  deisenroth
= true standard sigma factor deisenroth
= true standard sigma factor deisenroth

σcp = e^(2*ln(xari/xgeo))^0,5
= geschätzter standardstreufaktor sigma deisenroth
= estimated standard scattering factor sigma deisenroth
= estimated standard sigma factor  deisenroth

µari = wahrer arithmetischer mittelwert = true arithmetic mean
µgeo = wahrer geometrischer mittelwert = true geometric meanx

xari = geschätzter arithmetischer mittelwert = estimated arithmetic mean
xgeo = geschätzter geometrischer mittelwert = estimated geometric mean

streufaktor = x/µ = streufaktor(x/µ) = µ streufaktor = x streufaktor = σ(x/µ)  = σ(µ/x) = sigma factor deisenroth = sigma faktor deisenroth

 σ(x/µ) = σd^±√(-ln(ϕ)/n) 

standardfaktor sigma deisenroth = σd = standard factor sigma deisenroth

(= aus µari und µgeo ermittelter standardfaktor sigma deisenroth = grenzfaktor = standardgrenzfaktor = normalfaktor = standardnormalfaktor = standardnormalgrenzfaktor = standardstreufaktor= baisis faktor = basisfaktor = standardbasisfaktor = standard wahrscheinlichkeitsfaktor basis = wahrscheinlichkeitsbasis = wahrscheinlichkeitsbasisfaktor)

σd = e^(2*ln(µari/µgeo))^0,5 

 (σd≠1; bei σd = 1 keine streuung! )

standardfaktor sigma deisenroth = sd 

(= aus xgeo und xari geschätzter standardfaktor sigma deisenroth = grenzfaktor = standardgrenzfaktor = normalfaktor = standardnormalfaktor = standardnormalgrenzfaktor = standardstreufaktor = baisis faktor = basisfaktor = standardbasisfaktor = standardwahrscheinlichkeitsfaktor basis = wahrscheinlichkeitsbasis = wahrscheinlichkeitsbasisfaktor)

sd =  e^((2*ln(xari/xgeo)))^0,5 = geschätzter standardstreufaktor sigma deisenroth

wahrer arithmetischer mittelwert = µari

µari = µgeo*e^(0,5*ln(σd)^2)

wahrer geometrischer mittelwert = µ oder µgeo

µgeo = µari/e^(0,5*ln(σd)^2)

geschätzter geometrischer mittelwert = xgeo 

xgeo(xi;n) = e^(1/n*((ln(x1)+ln(x2)+.....+ln(xn))) 

mittelwertstreufaktor = xgeo/µ = σxgeo

σxgeo = (x1 * x2 *...xn)^(1/n)/µ = xgeo/µ

mittelwertstreufaktorprodukt = σmax 

σmax = (x1* x2*...xn)/µ^n= xgeo^n/µ^n

geschätzter  arithmetischer mittelwert = xari 

xari(xi;n) = 1/n*(x1+x2+ ....+xn)

berechnung von xgeo aus sd und xari aus sd 

xgeo(sd;xari) = xari/e^(0,5*ln(sd)^2)

xari(sd;xgeo) = xgeo*e^(0,5*ln(sd)^2)

wahrscheinlichkeitsfaktor  phi(x/µ;sigma;n) deisenroth = ϕ(x/µ;σd;n) = ϕ

ϕ(x/µ;σd;n) = e^(-n*(ln(x/µ)/ln(σd))²)

kumulativer wahrscheinlichkeitsfaktor =phi cum (x/µ;sigma;n) deisenroth = ϕc(x/µ;σd;n) = ϕc = 0,5 * ϕ(x/µ;σd;n) 

ϕc(x/µ;σd;n) = 0,5 *e^(-n*(ln(x/µ)/ln(σd))²) = ϕc

kumulatives wahrscheinlichkeitsfaktorprodukt = phi cum product (x/µ;sigma;n) deisenroth = ϕcp(x/µ;σd;n) = ϕcp = (ϕc)^n = (0,5 * ϕ(x/µ;σd;n) )^n

ϕcp(x/µ;σd;n) = (0,5 *e^(-n*(ln(x/µ)/ln(σd))²))^n = (ϕc)^n = (0,5*ϕ)^n

kumulatives wahrscheinlichkeitsprodukt = phi cum product (x/µ;sigma;n) deisenroth = ϕcp(x/µ;σ;n) = ϕcp = (ϕc)^n = (0,5 * ϕ(x/µ;σd;n) )^n

ϕcp(x/µ;σ;n) = (0,5 *e^(-n*(ln(x/µ)/ln(σd))²))^n = (ϕc)^n = (0,5*ϕ)^n

vertrauensgrenzfaktor sigma(phi;n) deisenroth = σ(ϕ;n)

σ(ϕ;n) = σd^±√(-ln(ϕ)/n) = xgeo(ϕ;n)/µ

xgeo vertrauensgrenze deisenroth = xgeo(ϕ;µ;σ;n) = xgeo(phi;my;sigma;n)

xgeo(ϕ;µ;σd;n) = µ∗σ^±√(-ln(ϕ)/n)

µ vertrauensgrenze deisenroth = µ(ϕ;xgeo;σd;n) = µ(phi;x;sigma;n)

µ(ϕ;xgeo;σd;n) = xgeo∗σd^±√(-ln(ϕ)/n)

intervallfaktor sigma(phi;n) deisenroth = σ(ϕ;n)

σ(ϕ;n) = σd^±√(-ln(ϕ)/n) = xgeo(ϕ;n;σd)/µ

vertrauensintervallfaktor sigma(phi;n) deisenroth = σ(ϕ;n)

σ(ϕ;n) = σd^±√(-ln(ϕ)/n) = xgeo(ϕ;n;σd)/µ

xgeo vertrauensintervall deisenroth = xgeo(ϕ;µ;σd;n) = xgeo(phi;my;sigma;n)

xgeo(ϕ;µ;σd;n) = µ∗σd^±√(-ln(ϕ)/n)

µ vertrauensintervall deisenroth = µ(ϕ;xgeo;σd;n) = µ(phi;xgeo;sigma;n)

µ(ϕ;xgeo;σd;n) = xgeo∗σd^±√(-ln(ϕ)/n)

wahrscheinlichkeitsfaktor sigma(phi;n) deisenroth = σ(ϕ;n)

σ(ϕ;n) = σd^±√(-ln(ϕ)/n) = x(ϕ;n)/µ

x(ϕ;n) = µ∗σd^±√(-ln(ϕ)/n)

wahrscheinlichkeitsfaktor x(phi,sigma,my,n) deisenroth

x(ϕ;σ;µ;n) = µ∗σd^±√(-ln(ϕ)/n)

wahrscheinlichkeitsfaktor x(zeta,sigma,my) deisenroth

x(ζ;σ;µ) = µ∗σd^±ζ

wahrscheinlichkeitsfaktor x(zeta,sigma,phi;my;n) deisenroth

x(ζ;σ;ϕ;µ) = µ∗σd^±ζ(ϕ)

wahrscheinlichkeitsfaktor x(zeta,sigma,my,n) deisenroth

x(ζ;σ;µ;n) = µ∗σd^(±ζ/√n)

wahrscheinlichkeitsexponent zeta deisenroth = ζ

ζ = ±√(-ln(ϕ)) = ln(x/µ)/ln(σd)

wahrscheinlichkeitsexponent zeta(phi) deisenroth = ζ(ϕ)

ζ(ϕ) = ±√(-ln(ϕ)) = ln(x/µ)/ln(σd) = probability exponent zeta(phi) deisenroth

wahrscheinlichkeitsexponent zeta(phi;n) deisenroth = ζ(ϕ;n)

ζ(ϕ;n) = ±√(-ln(ϕ)/n) = ln(x/µ)/ln(σd)/√n= probability exponent zeta(phi;n) deisenroth

wahrscheinlichkeitsexponent zeta(x/µ;sigma) deisenroth = ζ(x/µ;σd)

ζ(x/µ;σd) = ln(x/µ)/ln(σd) = ±√(-ln(ϕ)) = probability exponent zeta(x/µ;sigma) deisenroth

wahrscheinlichkeitsexponent zeta(x/µ;sigma;n) deisenroth = ζ(x/µ;σd;n)

ζ(x/µ;σ;n) = ln(x/µ)/ln(σd)/√n = ±√(-ln(ϕ)/n) = probability exponent zeta(x/µ;sigma;n) deisenroth

wahrscheinlichkeitsfaktor phi(zeta) deisenroth = ϕ(ζ)

ϕ(ζ) = e^-(ζ^2)

wahrscheinlichkeitsfaktor phi(zeta,n) deisenroth = ϕ(ζ;n)

ϕ(ζ;n) = e^-(ζ^2/n) = e^-(ζ^2/n )

wahrscheinlichkeitsfaktor phi(n) deisenroth = ϕ(n)

ϕ(n) = ϕ^(-1/n) = ϕ^n

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