Conceptual, o demonstrație a efectului Hall este ușor de configurat și este ilustrată în Figura 1-1. Figura 1-1a prezintă o placă subțire de material conductiv, cum ar fi cuprul, care poartă un curent (I), în acest caz furnizat de o baterie. Se poate poziționa o pereche de sonde conectate la un voltmetru, opuse una de alta de-a lungul laturilor acestei plăci, astfel că tensiunea măsurată este zero.

Figura 1-1: efectul Hall într-o placă conductivă.

Când un câmp magnetic este aplicat pe placă astfel încât să fie în unghi drept față de curgerea curentului, așa cum se arată în Figura 1-1b, pe placă apare o tensiune mică, care poate fi măsurată prin sonde. Dacă inversați direcția (polaritatea) câmpului magnetic, polaritatea acestei tensiuni induse se va inversa. Acest fenomen se numește efect Hall, numit după Edwin Hall.

Ceea ce a făcut efectul Hall o descoperire surprinzătoare pentru timpul său (1879) este că apare în condiții de stare constantă, ceea ce înseamnă că tensiunea pe placă persistă chiar și atunci când curentul și câmpul magnetic sunt constante în timp. Când un câmp magnetic variază în timp, tensiunile sunt stabilite de mecanismul de inducție, iar inducția a fost bine înțeleasă la sfârșitul secolului al XIX-lea. Observând un impuls scurt de tensiune pe placă când un magnet a fost apropiat de ea și altul când câmpul magnetic a fost înlăturat, nu ar fi surprins un fizician din acea epocă. Comportamentul continuu al efectului Hall, cu toate acestea, a prezentat un fenomen cu adevărat nou.

În majoritatea condițiilor, tensiunea efectului Hall în metale este extrem de mică și dificil de măsurat și nu este ceva care probabil ar fi fost descoperit accidental. Observația inițială care a condus la descoperirea efectului Hall a avut loc în anii 1820, când Andre A. Ampere a descoperit că firele cu curent au suportat o forță mecanică atunci când au fost plasate într-un câmp magnetic (Figura 1-2). Întrebarea lui Hall era dacă firele sau curentul din fire au suportat forța. Hall a argumentat că, dacă forța ar acționa asupra curentului în sine, ar trebui să împrăștie curentul într-o parte a firului. În plus față de producerea unei forțe, această aglomerare a curentului ar trebui, de asemenea, să provoace o tensiune ușoară, dar măsurabilă, pe fir.

Figura 1-2: Un câmp magnetic exercită o forță mecanică
asupra unui fir care transportă curent.

Ipoteza lui Hall a fost în mod substanțial corectă; curentul care curge pe un fir într-un câmp magnet face o ușoară aglomerare pe o parte, așa cum este ilustrat în Figura 1-1 b, gradul de aglomerare fiind extrem de exagerat. Acest fenomen ar avea loc dacă curentul constă sau nu dintr-un număr mare de particule discrete, așa cum este cunoscut acum, sau dacă este un fluid continuu, așa cum se credea de obicei în timpul lui Hall.

1.1 O examinare cantitativă

În prezent există suficientă cunoaștere atât a electromagnetismului, cât și a proprietăților diferitelor materiale pentru a permite analiza și proiectarea traductoarelor magnetice practice bazate pe efectul Hall. Secțiunea anterioară a descris calitativ efectul Hall, această secțiune va încerca să furnizeze o descriere cantitativă a efectului și să se refere la teoria fundamentală a electromagnetismului.

Pentru a înțelege efectul Hall, trebuie să înțelegem cum particulele încărcate, cum ar fi electronii, se mișcă ca răspuns la câmpurile electrice și magnetice. Forța exercitată pe o particulă încărcată de un câmp electromagnetic este descrisă de:

unde F este forța rezultantă, E este câmpul electric, v este viteza sarcinii, B este câmpul magnetic și qo este mărimea sarcinii. Această relație este denumită în mod obișnuit ecuația forței Lorentz. Rețineți că, cu excepția qo, toate aceste variabile sunt cantități vectoriale, ceea ce înseamnă că ele conțin componente independente x, y și z. Această ecuație reprezintă două efecte separate: răspunsul unei sarcini la un câmp electric și răspunsul unei sarcini mobile la un câmp magnetic.

În cazul câmpului electric, o sarcină va suporta o forță în direcția câmpului, proporțională atât cu mărimea sarcinii, cât și cu intensitatea câmpului. Acest efect determină curgerea unui curent electric. Electronii dintr-un conductor sunt trași de-a lungul câmpului electric dezvoltat de diferențele de potențial (tensiune) în diferite puncte.

În cazul câmpului magnetic, o particulă încărcată nu suportă nici o forță dacă nu se mișcă. Când se mișcă, forța suportată de o particulă încărcată este o funcție de sarcina sa, direcția în care se mișcă și orientarea câmpului magnetic în care se mișcă. Rețineți că particulele cu sarcini opuse vor suporta forțe în direcții opuse; semnele tuturor variabilelor sunt semnificative. În cazul simplu în care viteza este la unghi drept cu câmpul magnetic, forța exercitată este în unghi drept atât cu viteza, cât și cu câmpul magnetic. Operatorul produs încrucișat (x) descrie exact această relație. Extinsă, forța în fiecare axă (x, y, z) este legate de componentele viteză și câmp magnetic din diferitele axe prin:

Forțele suportate de o sarcină în mișcare într-un câmp magnetic, o face să se miște pe trasee curbate, așa cum este ilustrat în Figura 1-3. În funcție de relația vitezei cu câmpul magnetic, mișcarea poate fi în modele circulare sau elicoidale.

Figura 1-3: Câmpurile magnetice determină ca particulele încărcate să se deplaseze
pe căi circulare (a) sau elicoidale (b).

În cazul purtătorilor de sarcină care se deplasează printr-un traductor Hall, viteza purtătorului de sarcină este în mod substanțial într-o singură direcție de-a lungul lungimii dispozitivului, așa cum se arată în fig 1-4, iar electrozii de detectare sunt conectați de-a lungul unei axe perpendiculare pe lățime.

Prin constrângerea vitezei purtătorului la axa x (vy = 0, vz = 0) și prin detectarea dezechilibrului sarcinii față de axa z, putem simplifica cele trei seturi de ecuații de mai sus în una singură:

ceea ce implică faptul că traductorul cu efect-Hall va fi sensibil numai la componenta y a câmpului magnetic. Acest lucru ar determina să se aștepte ca un traductor cu efect-Hall să fie sensibil la orientare, și acesta este într-adevăr cazul. Dispozitivele practice sunt sensibile la componentele câmpului magnetic de-a lungul unei singure axe și sunt în mod substanțial insensibile față de celelalte componente pe cele două axe rămase. (Vezi figura 1-4.)

Deși câmpul magnetic forțează purtătorii de sarcină pe o parte a traductorului Hall, acest proces este auto-limitativ, deoarece concentrația excesivă a purtătorilor pe o laterală și epuizarea consecventă pe cealaltă dă naștere la un câmp electric peste traductor. Acest câmp determină purtătorii să încerce să se redistribuie în mod mai uniform. De asemenea, dă naștere unei tensiuni care poate fi măsurată pe placă. Un echilibru se dezvoltă în cazul în care forța magnetică împingând purtătorii de sarcină deoparte este echilibrată prin forța electrică ce încearcă să îi împingă spre mijloc.

Figura 1-4: Traductor cu efect Hall care prezintă dimensiuni critice și axe de referință.

unde EH este câmpul electric Hall pe traductor. Rezolvarea pentru EH produce:

ceea ce înseamnă că câmpul Hall este numai funcție de viteza purtătorilor de sarcină și intensitatea câmpului magnetic. Pentru un traductor cu o lățime w dată între electrozii de detectare, câmpul electric Hall poate fi integrat peste w, presupunând că este uniform, oferindu-ne tensiunea Hall.

Tensiunea Hall este, prin urmare, o funcție liniară de:

a) viteza purtătorului de sarcină în corpul traductorului,
b) câmpul magnetic aplicat pe axa "sensibilă"
c) separarea spațială a contactelor de detectare, în unghi drept față de mișcarea purtătorului.

1.2 Efectul Hall în metale

Pentru a estima sensibilitatea unui traductor Hall, este necesar să cunoaștem viteza medie a purtătorului de sarcină. Într-un metal, electronii de conducție sunt liberi să se miște și fac asta la întâmplare din cauza energiei lor termice. Aceste "viteze termice" pot fi destul de mari pentru orice electron dat, dar pentru că mișcarea este aleatoare, mișcările electronilor individuali se mediază la o mișcare netă zero, fără a genera curent. Când un câmp electric este aplicat unui conductor, electronii "deviază" în direcția câmpului aplicat, în timp ce efectuează încă o plimbare aleatorie rapidă de la energia lor termică. Această rată medie de mișcare de la un câmp electric este cunoscută sub numele de viteză de deviație (drift velocity).

În cazul metalelor cu grad ridicat de conductivitate, viteza de deviație poate fi estimată. Primul pasul este de a calcula densitatea purtătorilor pe unitatea de volum. În cazul unui metal cum ar fi cupru, se poate presupune că fiecare atom de cupru are un electron în orbita exterioară, disponibil pentru conducerea curentului electric. Densitatea volumică a purtătorului este prin urmare produsul numărului de atomi pe unitate de greutate și greutatea specifică. Pentru cazul cuprului acest lucru poate fi calculat:

unde:
N = numărul de purtători pe centimetru cub
NA = constanta Avogadro (6,02•10²³ mol^-1)
Mm = masa molară a cuprului (63,55 g x mol^-1)
D = greutatea specifică a cuprului (grame/cm³)

Odată ce avem densitatea purtătorului, se poate estima viteza de deviație a purtătorului bazată pe curent. Unitatea de curent, amperul (A), este definită ca trecerea a 6,2 x 10¹⁸ purtători de sarcină pe secundă și este egal cu 1/qo. Considerați cazul unei bucăți de material conductiv cu o anumită arie A a secțiunii transversale dată. Viteza purtătorului va fi proporțională cu curentul, deoarece de două ori mai mult curent va împinge de două ori mai mulți purtători pe fiecare unitate de timp. Presupunând că densitatea purtătorului este constantă și că purtătorii se comportă ca un fluid incompresibil, viteza va fi invers proporțională cu secțiunea transversală, o secțiune transversală mai mare reprezentând o viteză mai mică a purtătorului. Viteza de drift a purtătorului poate fi determinată de:

unde
v = viteza purtătorului, cm/sec
I = curentul în amperi
qo = sarcina unui electron (1,60 x 10^-19 C)
N = densitatea purtătorului, purtători/cm³
A = secțiunea transversală în cm²

Un rezultat surprinzător este viteza de drift a purtătorilor în metale. În timp ce câmpul electric care determină purtătorii de sarcină să se miște se propagă printr-un conductor la aproape jumătate din viteza luminii (300 x 10⁶ m/s), purtătorii reali se deplasează de-a lungul cu mult mai relaxat ritm mediu. Pentru a obține o idee despre discrepanță, luați în considerare o bucată de sârmă de cupru de calibru ♯18 care transportă un amper. Acest gabarit de sârmă este folosit în mod obișnuit pentru lămpile electrice și alte aparate de uz casnic și are o secțiune transversală de aproximativ 0,0078 cm². O jumătate de amper este aproximativ cantitatea de curent necesară pentru a aprinde un bec de 100 wați.

Folosind densitatea purtătorului derivată anterior pentru cupru și înlocuind în ecuația anterioară dă:

Viteza de drift a purtătorului, în exemplul de mai sus, este considerabil mai lentă decât viteza luminii; de fapt, este considerabil mai lentă decât viteza medie a melcului de grădină.

Prin combinarea ecuațiilor (1-6) și (1-8), putem deduce o expresie care descrie sensibilitatea unui traductor Hall ca o funcție de dimensiuni transversale, curent și densitatea purtătorului:

unde d este grosimea conductorului.

Considerați cazul unui traductor format dintr-o bucată de folie de cupru, similară cu cea arătată în Figura 1-1. Presupuneți curentul de 1 amper și grosimea de 25 μm (0,001"). Pentru un câmp magnetic de 1 tesla (10.000 gauss), tensiunea Hall rezultată va fi:

Observați conversia tuturor cantităților în unități SI (metru-kilogram-secundă) pentru consistență în calcul.

Chiar și pentru cazul unui câmp magnetic puternic de 10.000 gauss, tensiunea rezultată din efectul Hall este extrem de mică. Din acest motiv, nu este uzual practic de a face traductoare cu efect-Hall cu majoritatea metalelor.

1.3 Efectul Hall în semiconductori

Din descrierea anterioară a efectului Hall în metale, se poate vedea că o îmbunătățire ar putea fi găsirea de materiale care nu au un număr mare de purtători pe unitate de volum ca metalele. Un material cu o densitate inferioară de purtător va prezenta efect Hall mai puternic pentru un anumit curent și grosime. Din fericire, materiale semiconductoare, cum ar fi siliciul, germaniul și arsenura de galiu asigură densități scăzute ale purtătorului necesare realizării de elemente traductoare practice. În cazul semiconductoarelor, densitatea purtătorului este denumită în mod obișnuit concentrația purtătorului.

Tabelul 1-1: Concentrații intrinseci ale purtătorului la 300 K [Soc185]

Așa cum se poate observa din tabelul 1-1, aceste materiale semiconductoare au concentrații ale purtătorilor care sunt ordine de mărime mai mici decât cele găsite în metale. Aceasta deoarece în metale majoritatea atomilor contribuie cu un electron de conducție, în timp ce electronii de conducție din semiconductori sunt ținuți mai strâns. Electronii într-un semiconductor devin disponibili pentru conducție doar atunci când aceștia achiziționează suficientă energie termică pentru atinge o stare de conducție; acest lucru face concentrația purtătorului puternic dependentă de temperatură.

Materialele semiconductoare, totuși, sunt rar folosite în forma lor pură, dar sunt dopate cu materiale pentru a crește în mod deliberat concentrația purtătorului la un nivel dorit. Adăugarea unei substanțe ca fosforul, care are cinci electroni în orbita exterioară (și apare în coloana V a tabelului periodic) adaugă electroni ca purtători. Acest lucru are ca rezultat ceea ce este cunoscut ca un semiconductor de tip-N. În mod similar, se poate adăuga, de asemenea, purtători de sarcină pozitivă prin doparea unui semiconductor cu materiale din coloana III (trei electroni în orbita exterioară) cum ar fi borul. În timp ce acest lucru nu înseamnă că sunt disponibili protoni liberi să poarte sarcina, adăugând un atom din coloana-III se îndepărtează un electron din cristalul semiconductor pentru a crea un "gol" care se mișcă în jur și se comportă ca și când ar fi de fapt o particulă purtătoare de sarcină. Acest tip de semiconductor este numit material de tip-P.

În scopul realizării traductoarelor Hall, există câteva avantaje pentru utilizarea materialelor semiconductoare dopate. Primul este că, din cauza concentrației mici a purtătorului intrinsec din semiconductoarele pure, cu excepția cazului în care materialele pot fi obținute cu nivele de puritate părți-pe-trilioane, materialul va fi dopat oricum - dar va fi necunoscut cu ce sau în ce măsură.

Cel de-al doilea motiv pentru dopajul materialului este acela că permite alegerea purtătorului de sarcină predominant. În metale, nu este de ales; electronii sunt implicit purtători de sarcină. Dar, la semiconductori există posibilitatea de a alege fie electroni sau goluri. Deoarece electronii tind să se deplaseze mai repede într-un anumit set de condiții decât golurile, pot fi realizate traductoare Hall mai sensibile cu ajutorul unui material de tip N în care electronii sunt purtători majoritari decât un material de tip-P în care curentul este purtat prin goluri.

Al treilea motiv pentru utilizarea materialelor dopate este acela că, pentru semiconductoare pure, concentrația purtătorului este o funcție puternică de temperatură. Concentrația purtătorului care rezultă din adăugarea de dopanți este în mare parte o funcție de concentrația dopantului, care nu se va schimba cu temperatura. Utilizând o concentrație suficientă de mare de dopant, se pot obține concentrații relativ stabile ale purtătorului cu temperatura. Deoarece tensiunea Hall este funcție de concentrația purtătorului, folosirea materialelor înalt dopate conduce la un traductor mai stabil la temperatură.

În cazul traductoarelor Hall pe circuite integrate, există încă un motiv pentru folosirea siliciului dopat - în principal pentru că asta e tot ce este disponibil. Diferitele straturi de siliciu, utilizate în procesele IC obișnuite sunt dopate cu diferite nivele de materiale N și P, depinzând de funcția dorită. Straturile de siliciu pur nu sunt de obicei disponibile ca parte a proceselor standard de fabricare a IC.

1.4 Un traductor cu efect-Hall cu siliciu

Considerați un traductor Hall construit din siliciu de tip N care a fost dopat la un nivel de 3•10^-15 cm^-3. Grosimea este 25 μm și curentul este de 1 mA. Prin înlocuirea numerele relevante în ecuația 1-10, putem calcula tensiunea de ieșire pentru un câmp de 1 tesla:

Tensiunea rezultată în acest caz este de 83 mV, care este de peste 20.000 de ori mai mare decât tensiunea de semnal a traductorului de cupru descris anterior. La fel de important este faptul că curentul de polarizare este de 1/1000 din cel care a fost folosit pentru a polariza traductorul de cupru. Semnalele de ieșire de nivel-milivolt și curenții de polarizare la nivel de miliamper fac senzorii practici.

În timp ce se poate calcula sensibilitatea traductorului ca o funcție de geometrie, nivele dopare și curent de polarizare, există un detaliu pe care l-am ignorat până acum: rezistența traductorului. În timp ce este posibil să se obțină sensibilități extraordinare de la semiconductoare slab dopate pentru curent de polarizare de miliamperi, poate necesita, de asemenea, sute de volți pentru a forța acel curent să circule prin traductor. Rezistența tranductorului este funcție de conductivitate și geometrie; pentru o placă dreptunghiulară, rezistența poate fi calculată prin:

unde
R = rezistența în ohmi
σ = rezistivitatea în ohm-cm
I = lungimea în cm
w = lățimea în cm
d = grosimea în cm

În cazul metalelor, σ este o caracteristică a materialului. În cazul unui semiconductor, totuși, σ este o funcție atât de dopaj cât și de o proprietate numită mobilitatea purtătorului. Mobilitatea purtătorului este o măsură a cât de repede se mișcă purtătorii de sarcină ca răspuns la un câmp electric și variază în funcție de tipul de semiconductor, de nivelul de concentrație al dopantului, tipul purtătorului (N sau P) și temperatură.

În cazul traductorului de siliciu cu efect-Hall descris mai sus (d = 25 μm = 0,0025 cm), realizat din siliciu dopat tip-N la un nivel de 3 x 10¹⁵ cm^-3, σ = 1,7 Ω-cm la temperatura camerei. Presupunem, de asemenea, că traductorul are o lungime de 0,1 cm și o lățime de 0,05 cm. Rezistența acestui traductor este dată de:

Cu o rezistență de 1360 Ω, va lua 1,36 V pentru a forța 1 mA de curent prin dispozitiv. Aceasta are ca rezultat o disipare a puterii de 1,36 mW, o cantitate modestă de putere care poate fi obținută cu ușurință în multe sisteme electronice. Sensibilitatea și consumul de putere oferite de traductoarele cu efect Hall realizate din siliciu sau alte semiconductori le fac dispozitive practice de detectare.