Mouvement rectiligne

Cette leçon est traitée sous forme de problème résolu.

ENONCE : Plan incliné

Une piste rectiligne AB, de longueur L = 5,0 m, est inclinée d'un angle a = 15° sur l'horizontale.

· 1 Un mobile quasi ponctuel de masse m = 200 g est lâché de A sans vitesse initiale. Il est soumis à une force de frottement constante

. Ce mobile atteint B avec la vitesse de valeur 3,0 m / s. Calculer la norme de

. (c)

· 2 Déterminer la position, la vitesse, l'accélération du mobile à chaque instant t.

Calculer la durée du trajet AB. On donne g = 9,8 m / s². (c)

SOLUTION :

· 1 (e) Calculons la norme de la force de frottement constante .

Référentiel Galiléen : le solide Terre. On lui associe le repère orthonormé ( A, ).

Système étudié : le mobile

Le mobile est soumis à 3 forces :

- (essentiellement action gravitationnelle de la Terre sur le mobile)

- (action normale de la piste sur le mobile)

- (action tangentielle de la piste sur le mobile, due aux aspérités qui engendrent des frottements)

- Appliquons le théorème de l'énergie cinétique (revoir la leçon Énergie Cinétique) :

Dans un référentiel Galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un solide, entre deux instants t _initial et t _final, est égale à la somme des travaux des forces extérieures appliquées au solide entre ces deux instants.

Pour un solide en translation :

m V²_final - m V²_initial = W( ) + W( ) ...

Ici, ce théorème s'écrit, avec V_A = 0 m / s :

m V_B² - 0 = W( ) + W( ) + W( ) (1) .

Calculons les travaux des trois forces , , , lors du trajet AB :

· W( ) = W_{A B}( ) = . = ´ ´ cos ( , )

W( ) = ´ L ´ cos ( 180° ) = - ´ L

· W( ) = 0 J car est perpendiculaire au trajet AB.

· W( ) = + m g h = m g L sin a .

La relation (1) devient :

m V_B² - 0 = - ´ L + 0 + m g L sin a

= m ( g sin a - 0,5 V_B² / L )

= 0,20 ( 9,8 ´ sin 15° - 0,5 ´ 3² / 5,0 )

= 0,327 N (2)

· 2 (e) Déterminons la position, la vitesse et l'accélération du mobile à chaque instant t.

Appliquons le théorème du centre d'inertie (revoir la leçon Énergie Cinétique) :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

Ici, ce théorème s'écrit :

+ + = m (3)

Projetons cette relation sur les axes ( en posant Rn =

et F = )

P_x + 0 + F_x = m a_x

mg sin a - F = m. a

- mg cos a + Rn = 0

a = g sin a - F/m = 0,90 m/s² (4)

Rn = mg cos a = 1,89 N (5)

P_y + Rn_y + 0 = 0

Remarque : On sait aussi que V ² = 2a.x caractérise un mouvement rectiligne uniformément accéléré (revoir la leçon Cinématique). Cette relation donne rapidement l'accélération :

a = V ² / 2.x = V_B² / 2 x_B = 3 ² / 2 ´ 5

a = dv / dt = 0,90 m / s² (4 bis)

- Ecrivons maintenant les équation horaires du mouvement du mobile M se déplaçant de A vers B. Posons x = AM :

Origine des espaces : le point A.

Origine des temps : instant du départ de A.

Le mobile M a un mouvement rectiligne à accélération constante (revoir la leçon Cinématique) avec a = a₀ = 0,90 m/s².

Sa vitesse initiale est nulle v₀= 0 m/s.

Son abscisse initiale est nulle x₀ = 0 m

L'équation horaire donnant la position x = a₀ t² + v₀t + x₀s'écrit ici :

x = 0,45 t² (6)

En résumé :

x = 0,45 t² (6)

v = dx / dt = 0,90 t (7)

a = dv / dt = 0,90 m / s² (4)

- Appliquons la relation (7) à l'arrivée au point B :

v_B = 0,90 t_B

3 = 0,90 t_B

t_B = 3,33 s (8)

Remarque : La relation x = 0,45 t² (6), appliquée à l'arrivée au point B, donnerait également la valeur de t_B :

5 = 0,45 t_B² avec t_B > 0.

t_B = 3,33 s

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