Embedded Files
Cette leçon est traitée sous forme de problème résolu.
RAPPEL
Dans la base de Frénet : (revoir la leçon Cinématique)
ENONCE : PARTICULE GLISSANT SUR UNE SPHÈRE
Une particule de masse m se met à glisser, sans frottement, à partir du sommet A d'une sphère immobile de rayon R.
· 1 Représenter et calculer, en fonction de R, g et q, la vitesse
de la particule au point M. Cette vitesse reste-t-elle constante ? (c)
· 2 Représenter la force
de la particule au point M.
Référentiel Galiléen : le solide Terre.
Système étudié : la particule.
Forces extérieures appliquées sur la particule :
- Poids : essentiellement attraction de la Terre sur la particule
- Force de contact : action de la sphère sur la particule
Appliquons le théorème de l'énergie cinétique (revoir la leçon Énergie Cinétique) :
Dans un référentiel Galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un solide, entre deux instants t initial et t final, est égale à la somme des travaux des forces extérieures appliquées au solide entre ces deux instants.
Pour un solide en translation :
m.V²final - m.V²initial = W( ) + W( ) + ...
Ici, ce théorème se traduit par :
m V² - 0 = W ( ) + W ( ) (1)
Calculons les travaux des deux forces extérieures appliquées au mobile entre les points A et M :
W ( ) = m g h = m g R ( 1 - cos q ) (revoir le schéma ci-dessus)
W ( ) = 0 Joule car la force reste perpendiculaire à la trajectoire (en l'absence de frottement)
Portons dans (1) :
m V² - 0 = m g R ( 1 - cos q ) + 0
On en déduit :
V² = 2 g R ( 1 - cos q ) (2)
Lorsque le mobile glisse à partir de A :
- l'angle q augmente en partant de 0
- cos q diminue en partant de 1
- V² = 2 g R ( 1 - cos q ) augmente en partant de 0.
La vitesse augmente lorsque le mobile descend.
· 2 (e) Calculons la valeur de force exercée par la sphère sur le mobile.
- Appliquons le théorème du centre d'inertie (revoir la leçon Énergie Cinétique):
Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :
Ici, on écrit :
+ m = m (3)
- Projetons cette relation sur la normale de Frénet en se rappelant que :
On pose F = et g =
Base de Frénet
+ m = m
0 + m g cos ( 90° - q ) = m (4)
- F + m g cos q = m (5)
Portons V² = 2 g R ( 1 - cos q ) (2) dans (5) - F + m g cos q = m
On obtient :
- F + m g cos q = m 2 g ( 1 - cos q )
F = m g ( 3 cos q - 2 ) (6)
- Lorsque le mobile glisse à partir de A :
- l'angle q augmente en partant de 0
- cos q diminue en partant de 1
- F = m g ( 3 cos q - 2 ) diminue en partant de F = m g.
La force F exercée par la sphère sur le mobile diminue lorsque le mobile descend.
· 3 (e) Calculons numériquement l'angle q1 pour lequel la particule quitte la sphère.
Lorsque le mobile quitte la sphère, l'action de la sphère sur ce mobile s'annule.
La relation (6) s'écrit alors :
0 = m ( 3 cos q1 - 2 ).
On en déduit :
cos q1 = 2 / 3 soit :
q1 = 48,2° = 0,841 rad (7)
Cette valeur q1 = 48,2° pour laquelle le mobile quitte la sphère est indépendante de la masse m du mobile et du rayon R de la sphère immobile.
Remarque : Le mobile exerce sur la sphère une force égale et opposée à . Cette sphère doit donc être maintenue afin de rester immobile par rapport à la Terre.
Page updated
Google Sites
Report abuse