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La cinématique est la discipline de la mécanique qui étudie le mouvement des corps, en faisant abstraction des causes du mouvement (celles-ci sont généralement modélisées par des forces et des moments). Elle utilise la géométrie analytique.
1- VITESSE ET ACCÉLÉRATION DANS UN REPÈRE CARTÉSIEN
· Position - vitesse - accélération
- Vecteur position :
= x + y
- Vecteur vitesse :
- Vecteur accélération :
· Nature du mouvement
-
> 0 mouvement accéléré
-
< 0 mouvement retardé
-
= 0 mouvement uniforme
2- VITESSE ET ACCÉLÉRATION DANS LA BASE DE FRENET
· Base de Frenet
Cette base est constituée de deux vecteurs et .
Le vecteur unitaire est tangent à la trajectoire, au point M où se trouve le mobile. Ce vecteur est orienté arbitrairement (pas nécessairement dans le sens du mouvement).
Le vecteur unitaire est normal à la trajectoire. Il est orienté vers l'intérieur de la courbe.
· Vitesse et accélération
= v
est tangent à la trajectoire
est dirigé vers l'intérieur de la trajectoire
aT = est la valeur de l'accélération tangentielle mesurée sur l'axe . Elle peut être positive, négative ou nulle.
aN = est la valeur de l'accélération normale mesurée sur l'axe . Elle peut être positive ou nulle.
· Exemple :
3- MOUVEMENT RECTILIGNE À VITESSE CONSTANTE
· Position : x = vo t + xo
( xo et vo sont des constantes )
On l'obtient en dérivant x par rapport à t.
· Vitesse : v = vo.
· Accélération : a = o.
On l'obtient en dérivant v par rapport à t.
4- MOUVEMENT RECTILIGNE A ACCELERATION CONSTANTE
· Equations horaires.
Equations complètes
Equations simplifiées
v = a 0 t + v 0
a = a 0
v = a 0 t
a = a 0
xo, vo et ao sont des constantes
· Préciser les conditions qui permettent d’utiliser les équations simplifiées
· Théorème 1 : v2² – v1² = 2 a ( x2 – x1 ). Cette relation caractérise un mouvement rectiligne à accélération constante.
· Théorème 2 : Lors d’un mouvement rectiligne uniformément varié les espaces parcourus pendant des intervalles de temps successifs égaux à q forment une progression arithmétique de raison r = a q ²
5- MOUVEMENT RECTILIGNE SINUSOÏDAL x = A sin ( w t + j )
· Position :
La position du mobile ponctuel est donnée par l'équation horaire x = A sin ( w t + j )
- A est l'amplitude.
- La phase à l'instant t est ( w t + j ). La phase à la date t = 0 est j .
- La pulsation est w
- La période est T = 2 p / w .
- La fréquence est N = 1 / T.
· Vitesse :
v = A w cos ( w t + j ). On l'obtient en dérivant x par rapport à t.
· Accélération :
a = - A w2 sin ( w t + j ). On l'obtient en dérivant v par rapport à t.
a = - w2 x
Remarque : L'amplitude A et la phase j se déterminent souvent en exprimant x et v à l'instant t = 0.
Théorème : La relation équivaut à x = A sin ( w t + j ) (voir le problème 1-A).
6- MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME (à vitesse constante)
On repère la position de M :
- par l'angle q = ( , )
- ou par l'abscisse curviligne s = = R q ( q en radian )
s = = R q
s = vo t + so
v = ds / dt = v o
a T = o et a N = v ² / R
q = ( , )
q = w o t + q o
d q / dt = w = w o
d² q / dt² = 0
Dans le repère de Frénet :
= v o et = (v o² / R)
Rappel
Dans un mouvement circulaire uniforme :
- La vitesse est tangente au cercle avec v = R w .
- L’accélération est centripète avec a = R w ².
(La vitesse est constante en norme mais pas en direction, il y a donc accélération).
- La période est T = 2 p / w .
- La fréquence est N = 1 / T.
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