Примеры решения задач

Использование компьютерных вычислительных систем Mathcad и др. для решения задач по физической химии

С.Н. Трухан, А.И. Лысиков, А.Г. Грибовский

Новосибирский Государственный Университет, Факультет Естественных Наук, Кафедра Физической Химии

Электронное учебное пособие разработано в рамках реализации Программы развития Национальный Исследовательский Университет НГУ (НИУ-НГУ)

2011 г.

Базовые примеры: mathcad.gorodok.net

Введение

В настоящее время современные компьютерные вычислительные системы позволяют решать довольно сложные расчетные задачи за короткое время, предоставляя наглядные и простые для освоения методы.

Одной из таких систем является Mathcad, основным преимуществом которой является интерфейс максимально приближенный к естественному, т.е. запись выражений очень похожа на ту, которую мы обычно делаем на бумаге. При этом в Mathcad реализованы практически все основные вычислительные возможности университетского курса высшей математики, в том числе численные методы для решения систем нелинейных алгебраических и дифференциальных уравнений. Mathcad позволяет легко получать численные решения таких задач, которые не имеют аналитических решений. Благодаря его простым графическим средствам и прозрачным интерактивным элементам можно легко проводить исследования этих решений в зависимости от исходных параметров, что существенно облегчает понимание учебного материала.

Предполагается, что читатель имеет начальные навыки работы в современных системах компьютерной математики. Если нет, то этому вопросу посвящено масса литературы и интернет ресурсов. В данном пособии мы не будем на этом останавливаться.

Пособие состоит из двух частей: 1. Примеры решения типовых вычислительных задач. 2. Решения задач по физической химии. Каждый пример представляет собой своего рода «заготовку», которая легко может быть модифицирована и дополнена для решения других аналогичных задач. Некоторые задачи представляет собой, по сути, математические модели классических физико-химических процессов и позволяют студентам проводить их численное исследование.

Часть 1. Примеры решения типовых вычислительных задач (mathcad.gorodok.net)

• Система уравнений

• Решение системы уравнений в зависимости от параметра

• Вычисление значений функции и построение графика

• Примеры символьных вычислений

• Система дифференциальных уравнений

° дополнение с символьным вычислением Якобиана, используемого в функциях для жестких систем

° дополнение с аналитическим решением в пакете Mathematica

• Построение фазовых траекторий решений системы дифференциальных уравнений на примере аттрактора Лоренца (Lorenz, 1963)

• Решение системы ДУ в зависимости от параметра и начальной концентрации

• Поиск особых точек решения системы ДУ в зависимости от параметра

• Нахождение стационарных решений и собственных значений системы дифференциальных уравнений в символьном виде

• Построение 3D (surface & contour) графика функции z=f(x,y)

• Построение функции f(θ,φ) в сферических координатах

Часть 2. Решения задач по химической кинетике и термодинамике

1. Расчет термодинамических параметров в зависимости от температуры (COCl2_CO_Cl2.xmcdz)

Задание функций, построение графиков, аналитическое и численное решения уравнения

2. Расчет равновесных концентраций ионов в водном растворе кислоты в зависимости от ее концентрации (pH&IonConc_AcOH.xmcdz, pH&IonConc_AcOH.nb)

Решение системы уравнений в зависимости от параметра

3. Расчет кинетики реакции A _k2↔^k1 B →^k3 C ((A k1k2 B, B k3 C).xmcdz, (A k1k2 B, B k3 C).nb)

Численное и аналитическое решение системы дифференциальных уравнений

Поиск особых точек решения системы ДУ в зависимости от параметра

4. Расчет кинетики реакции с сильно различающимися значениями констант скоростей A →^k1 B →^k2 C, B + C →^k3 A + C, k₁ = 0.04, k₂ = 3•10⁷, k₃ = 10⁴ Робертсон (1966) (Robertson (stiff).xmcdz)

– Численное решение жесткой системы дифференциальных уравнений

– получение в символьном виде выражений для якобиана и собственных значений системы дифференциальных уравнений

5. Расчет кинетики реакции A →^k1 B _k3↔^k2 C, A + C →^k4 D в зависимости от [B]₀ и k₄ ((A k1 B, B k2k3C, A C k4 D) DiffSysPar.xmcdz)

– Решение системы ДУ в зависимости от параметра и начальной концентрации

6. Колебательная реакция Лотки-Вольтера (1925-1926) (Lotka Volterra (A const, A X k0 2X, X Y k1 2Y, X k2 D, Y k3 E).xmcdz)

– Построение фазовой траектории и портрета решения, определение стационарных состояний, собственных значений системы ДУ и частоты колебаний.

7. Химические колебания. Брюсселятор (Brusselator (Prigogine Lefevr 1968) dimless.xmcdz)