四元数的正則幾何は、１９９０年代後半から関連する論文が出版されるようになった、リーマン面から四元数射影空間への写像についての理論です。リーマン面から複素射影空間への正則写像の理論を含むように整備されています。特別な場合として、リーマン面から共形四次元球面への共形写像の理論を含みます。リーマン面から共形四次元球面への共形写像の理論とは、一般的には（四次元）ユークリッド空間内の曲面の共形幾何の理論の一部です。少し微分幾何を知っている人は測地線のことを知っていると思いますが、これはリーマン幾何の概念です。四元数的正則幾何ではあまりでてきません。四元数的正則幾何の理論を整備するそもそもの動機は、曲面の大域的性質についての定理を構成するために、正則写像についての大域的性質についての定理を構成するときに使った議論を援用する、というものだったようです。曲面の古典理論を現代的に再整備する、可積分系との関わりを明らかにする、という方向にも研究が進んでいます。