Introduction

Nous étudierons dans ce chapitre en premier lieu l’oscillateur harmonique solide-ressort horizontale, nous introduirons donc la force de rappel du ressort et nous découvrirons l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique et sa solution.L’oscillateur solide-ressort vertical sera ensuite abordé : tout d’abord, ce sera l’occasion de retrouver l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique, puis nous introduirons des frottements fluides pour voir le comportement du système. Enfin, nous aborderons un oscillateur à deux dimensions, le pendule simple. Cela permettra l’introduction de la base de projection polaire.

Système Masse-ressort horizontal sans frottement

Soit un point M de masse m accroché à l’extrémité d’un ressort horizontal sans masse. Le point M se déplace sans frottement sur le plan horizontal. A t=0 , on écarte ce point de sa position d’équilibre d’une grandeur Xm puis on le lâche sans vitesse initiale. Le référentiel lié au plan horizontal sur lequel se déplace le point M, est le référentiel terrestre considéré comme galiléen. On prendra une base cartésienne à une dimension: un axe (O,x) horizontal permettra de repérer le point M. Quel est son mouvement, quels sont ses caractéristiques ? 

Obtention de l’équation différentielle par la 2ème Loi de Newton:

Solution de l’équation différentielle : 

L’équation différentielle précédente s’écrit généralement de la manière suivante: 

Allure de la solution:

Système Masse-ressort vertical sans frottement:

Soit un point M de masse m accroché à l’extrémité d’un ressort vertical sans masse. A t=0, on écarte ce point de sa position d’équilibre d’une grandeur Xm puis on le lâche sans vitesse initiale. Quel est son mouvement, quels sont ses caractéristiques? 

Pendule simple:

Lorsque l’on a à faire à un mouvement de rotation autour d’un axe fixe, par exemple lorsque le solide en mouvement peut être repéré facilement par un angle ; l’utilisation de la base polaire (2D) est judicieuse. 

Rotation autour d’un axe fixe  ⇒ utilisation de la base polaire 

Base mobile 2D définie par deux vecteurs:

Liens entre la base polaire et la base cartésienne à deux dimensions :

Position, vitesse, accélération en base polaire :

Deuxième loi de Newton :

Équation différentielle du mouvement :

Solution de l'équation différentielle du mouvement :