Fiabilité des systèmes

reconnaitre une loi exponentielle sur du papier semi-logarithmique :

Sur le papier semi-logarithmique , les points de coordonnées ( x ; 1 - F(x) ) sont alignés sur une droite D en effet on a : 

On obtient l'équation d'une droite.

On peut lire l'espérance mathématique et en déduire le paramètre λ par lecture graphique en effet :

Le point de coordonnées ( 1/λ ; e-1 ) appartient à la courbe représentative de la fonction R , comme cette courbe est une droite dans le repère du papier semi-logarithmique, il suffit de tracer la droite d'équation Y = e-1 = 0,368 et de lire l'abscisse 1/λdu point d'intersection de cette droite avec la droite D.

Exemple : ici on a 1/λ = 40 soit λ = 0,025 

Ce papier de Weibull sert à lire graphiquement les paramètres d'une loi de Weibull dans le cas ou le paramètre est nul, En effet la fonction de répartition associée à une loi de Weibull de paramètres:

est définie par :

La dernière équation obtenue est l'équation d'une droite dans le repère rouge (O ; X ; Y ) où O est le point correspondant à X = 0 et Y = 0 soit à t = 1 et F(t) = 1 - 1/e .

Le paramètre  se lit directement à l'intersection de la droite précédente avec l'axe des abscisses puisque celui-ci est gradué en échelle logarithmique.

Le paramètre  est le coefficient directeur de la droite précédente, il suffit de tracer une droite parallèle à la précédente et de lire directement le coefficient directeur de cette droite sur l'axe d'équation X = - 1. 

Echelles utilisées sur le papier de Weibull :

abscisse haute : échelle naturelle en X

abscisse intermédiaire : échelle logarithmique ( lecture du paramètre  )

abscisse basse : échelle logarithmique ( on fait correspondre à chaque valeur de t son logarithme népérien ln t )

ordonnée gauche : on place les valeurs de F(t) en pourcentage en échelle ln ( - ln (1 - F(t) ) )

ordonnée sur l'axe X = -1 ( lecture du paramètre  ) : ce sont les valeurs ln ( - ln (1 - F(t) ) )