Al igual que la mayoría de mis Matemáticas Pages Esta página está diseñada para ser leída por el fin, pero también se puede ir directamente a cualquier sección. El búho siempre le trae de vuelta a este punto.
Cuando contamos con los dedos que estamos utilizando los números naturales , por lo que en Primeros Años Enseñando números naturales a veces se llaman números contables. Utilizamos generalmente N reposar durante un número natural.
Los números naturales están bien si lo que desea es contar ovejas, pero si usted es el faraón de Egipto que vivió hace 4.500 años y quiere construir una pirámide de base cuadrada con una base de 185 metros y los lados del triángulo equilátero lisas primero necesitas tener Calulate la pendiente de los lados, y para ello se necesita un conjunto totalmente diferente de las matemáticas herramientas . (La respuesta es 54 grados 44 minutos si usted está interesado.) Y esta es la razón por la cual muchas personas se encuentran algunos aspectos de las matemáticas difíciles.
"Dios hizo los números naturales, todo lo demás es hecho por el hombre." Leopold Kroneker (1823 - 1891)
Todos los números que no son números naturales son sólo herramientas hombre se ha diseñado para ayudar a resolver problemas que no podía resolver sin ellos. Si se pierde de vista esto, o más triste si nunca se les enseñó esto, algunas ramas de las matemáticas pueden parecer confusas o ilógica.
Porque cuando estamos contando siempre empezamos con uno, cero no es un número natural, y los egipcios, griegos, romanos y la mayoría de las otras personas antiguas tenían ningún símbolo para él. Hay más información sobre esto en el Más sobre cero sección de esta página Web
Números naturales una vez fueron llamados números cardinales y usted todavía puede venir a través de este término.
Los números ordinales son primero, segundo, tercero, cuarto, etc, donde ponemos las cosas en orden. No hay cero: el día antes del 01 de junio es el día 31 de mayo no es la 0 ª de junio.
(Sin embargo, existe una Ley Cero de la Termodinámica , pero sólo porque alguien descubrió una de las leyes de la termodinámica y la llamó la Primera Ley, y luego otra persona descubrió otra Ley que debería haber llegado antes.)
Los enteros son números enteros, e incluyen los números negativos y el cero. Utilizamos generalmente n en reposo durante un entero.
Ejemplos de números enteros son
Cuando la señora Wilson Kingfisher clase a la swimmming piscina, si doce chicos y once chicas se meten en el agua entonces debe asegurarse de que doce niños y once niñas salen del agua, no más o menos , noaproximadamente , pero exactamente . Ella está usando números naturales. Pero una vez que dejamos de conteo y comenzar la medición que hemos entrado en el mundo de los verdaderos números.
"Fred, ¿cuál es el área del piso de esta habitación?"
Fred mira hacia arriba. Se estima que la habitación es de unos 3 m de longitud y 4 m de ancho. Él conoce a sus tablas de multiplicar de manera responde "Cerca de 12 m², Charlie." "Quiero que sea más precisa que eso, Fred."Fred sólo ha estimado el tamaño de la habitación hasta el metro más cercano. Él encuentra una regla de 100 cm y mide la habitación con ella, a los 10 cm más próximo (0,1 m). Él encuentra que es de 3,2 m por 3,9 m. Él saca su calculadora de bolsillo. "Alrededor de 12.48 m², Charlie." "Quiero que sea más precisa que eso, Fred" Fred sube las escaleras y se pone una cinta métrica. Él vuelve a medir la habitación al centímetro más cercano. Es 3,18 m por 3,93 m. "Acerca de 12.4974 m², Charlie." "Quiero que sea más precisa que eso, Fred." Hasta ahora Fred ha asumido la habitación es rectangular. Se da cuenta de que si se quiere medir el tamaño de la habitación hasta el milímetro más próximo que tiene que tener en cuenta que las esquinas pueden no ser exactamente perpendicular y las paredes no puede ser exactamente recta. "Charlie, ¿por qué es exactamente lo que quiere que más preciso que eso? " "Estoy pensando en comprar una nueva alfombra." "Doh" En el mundo real no siempre se puede ser fiable al 100% y que no siempre tienen que ser, sólo trabajamos con el nivel de precisión adecuada para la tarea. La mayoría de las veces hacemos esto sin pensar conscientemente en ello. Por ejemplo "¿Está muy lejos de la granja de plato?" "kilometros Acerca de un año y medio." "Gracias." Por otra parte, el sistema de navegación GPS en su coche contiene la electrónica que debe ser capaz de medir el tiempo que tarda una radio señal desde un satélite de 12 000 km para llegar a usted con una precisión de mejor de mil millonésima de segundo.
Los números reales tienen una posición en una recta numérica .
¿Por verdaderos números? Vea la sección sobre números complejos - pero por favor, no sin antes haber leído la siguiente sección.
Vivimos en un mundo de casillas de verificación. Nos marque las casillas cuando llenamos un formulario o participar en una encuesta, en estos días, incluso cuando tomamos un examen! Nos gustaría poner todo ya todos en casilleros aseados; incluso nuestros pies tienen que tener un cierto número de zapato. Pero estas casillas de verificación y los casilleros y números de calzado son completamente hechas por el hombre, para nuestra propia conveniencia. El mundo real no es realmente así: nuestro pie izquierdo podría ser una talla 5.07 y nuestro pie derecho un tamaño de 4,93.
Hace dos mil años 500 años la antigua Greeeks también le gusta que todo sea agradable y ordenado y lógico. No tenían las calculadoras de bolsillo, ni siquiera los decimales, por lo que las matemáticas eran acerca de las fracciones comunes: una media, dos tercios, tres quintos, los cuatro séptimos etc
El problema era, algunos números, tales como la relación de la circunferencia de un círculo y su diámetro (ahora conocido como π) o la relación de la diagonal de un cuadrado a su lado (la raíz cuadrada de dos), no encajan en este bonito clara forma de hacer las cosas. Por ejemplo, un cuadrado es uno y dos al cuadrado es cuatro por lo que el número cuyo cuadrado es de dos (es decir, la raíz cuadrada de dos) debe estar entre uno y dos. Podemos tratar de encontrar este número por ensayo y error - esto no es fácil si sólo se puede utilizar fracciones comunes. Aquí es un comienzo.
Le invitamos a continuarla. Los antiguos griegos no tenían calculadoras así que por supuesto que no he usado uno
y tú tampoco deberías. Usted puede hacer las cosas aún más realistas usando los números del griego clásico: si no conoce estos se puede utilizar números romanos o egipcios antiguos en su lugar. Yo prefiero los números del Antiguo Egipto, creo que son más bonitas, y puedes verlos en mi antiguo Egipto Matemáticas página .
Por supuesto que no va a hacer nada mejor que los antiguos griegos: no es ninguna fracción que hace al cuadrado dos. (Recuerde que los decimales son sólo fracciones comunes en las que el denominador es siempre 10, o 100, o 1000, etc) Los antiguos griegos no les gustaba en absoluto. De hecho, fue otros dos mil años antes de que los matemáticos, finalmente llegaron a un acuerdo con la idea de que un número que no se puede expresar como una fracción común, en la forma a ÷ b donde ayb son números enteros, todavía puede ser un número real , con unaverdadera posición en una recta numérica.
Hoy en día un racional número es un número que se puede expresar exactamente como una relación (es decir, un ÷ B) y un irracional número es uno que no puede ser.
Todos los que terminan y se repiten los decimales son números racionales - estos términos se explican con más detalle más adelante en esta página. Los números irracionales son números como π y más cuadrados raíces, senos y cosenos, logaritmos, etc
Los números irracionales son números reales y tienen una verdadera posición en una recta numérica, y podemos expresarlos en cualquier grado de exactitud que nos gusta, ya sea de una o dos cifras decimales, o diez o veinte años o un millón. Es sólo que no se ajustan a las normas de los antiguos griegos se dieron por un Mundo Limpio Niza, de la misma manera que sus pies, probablemente no se ajustan a las reglas que hemos hecho para Niza Tamaños de zapatos aseados.
Es muy fácil demostrar que un número irracional es un verdadero número con una verdadera posición en una recta numérica. Considere la raíz cuadrada de 2, por ejemplo. 1.4142 ² es 1.99996 y 1.4143 ² es 2,00024, a 5 decimales.
Si trazamos una línea de números, hay un punto en él, sólo un punto, pero sigue siendo un verdadero punto, de manera que el cuadrado de cada número a la izquierda de la misma es inferior a 2 y el cuadrado de cada número a la derecha de la misma es más de 2, cualquiera que sea la escala que utilizamos para la recta numérica.
Aunque hay un montón de números irracionales, excepto las raíces cuadradas, si le hacen preguntas acerca de los números racionales e irracionales en un GCSE u otros exámenes de escolaridad los números irracionales en la pregunta casi siempre será raíces cuadradas. A continuación, sólo recuerde que a pesar de que la raíz cuadrada de un número racional puede ser irracional, el cuadrado de la raíz cuadrada de un número racional es siempre racional. Suena obvio cuando se pone de esa manera!
Hasta principios de 1970, cuando las calculadoras de bolsillo científicos comenzaron a ser fácilmente disponibles, los cálculos que implican números irracionales tales como cuadrados y otras raíces, logaritmos y funciones trigonométricas como senos y cosenos, eran tedioso y lento, por lo general implica el uso de libros de cuatro tablas matemáticas de figuras , y muy pocas personas trabajaron con ellos para una precisión superior a cuatro cifras significativas. Calculadoras científicas de hoy tienen teclas de función para π y todos los otros números irracionales, que dan los valores de a diez cifras significativas. Así que ahora incluso los escolares pueden utilizar una calculadora científica para obtener respuestas instantáneas y altamente precisas a problemas que involucran números irracionales sin necesidad de saber nada de ellos: para la mayoría de las personas que viven en el siglo 21 la diferencia entre números racionales e irracionales no tiene ninguna importancia práctica en todo. Pero si usted lo necesita, o quiere, para saber más acerca de los números irracionales, entonces hay más acerca de ellos, y la diferencia entre los números irracionales y decimales que se repiten, en una sección posterior de esta página.
Este párrafo es realmente incluye sólo para la corrección, para explicar por qué tenemos que utilizar el términonúmero real . No se preocupe si usted no puede entender cómo los números complejos pueden ser importantes, acaba de volver a leer los primeros párrafos de esta página y, a continuación, recuerde que los números complejos son sólo herramientas que algunas personas encuentran útil.
De la naturaleza muchas cosas, desde las partículas subatómicas hasta las galaxias, se mueven en trayectorias curvas. Aquí está una ecuación para una curva típica de segundo orden.
Para cada valor de x no es sólo un valor de y . Encontrar el valor de y dado el valor de x es muy simple. Pero para cada valor de Y hay dos valores de x y la búsqueda de los valores de ambos de ellos dado el valor de Y es mucho más difícil. Primero ponemos en el valor de y .
A continuación, pasamos la 5 a la derecha y cambie los lados ronda así que tenemos
3 x ² 5 x + 2 = 0
por lo que terminamos con una ecuación de la forma
Ahora bien, hay varias maneras de proceder, pero una de ellas es el uso de esta fórmula.
No olvides nunca que el hombre hizo las Reglas. Todos sabemos que el 2 × 2 hace 4 pero también hemos decidido que -2 × -2 también debe hacer 4 (4 por supuesto). Se necesita la más o menos en esta ecuación porque cada número (positivo) debe tener dos (reales) raíces cuadradas, uno positivo y otro negativo. Pero ir un paso más allá, de acuerdo con nuestro Reglamento no puede haber verdadero número, positivo o negativo, lo que multiplicado por sí mismo hace que un número negativo, es decir, la raíz cuadrada de un número negativo no puede haber unverdadero número. Llamamos a la raíz cuadrada de un número negativo de un número imaginario .
Un número complejo consta de dos partes, una parte real y una parte imaginaria. La solución a esta fórmula es compleja si b ² - 4ac es negativo.
Los números complejos son de hecho muy importante y toda una rama de las matemáticas que se les dedica. El valor de la raíz cuadrada de -1 es tan importante que se le da su propio símbolo, i . Para los físicos cuánticos i es tan importante como π es el resto de nosotros.
Su directora ha leído en alguna parte que los médicos están preocupados por la cantidad de estudiantes de la escuela están llevando alrededor en sus mochilas, y decide llevar a cabo un profesor survey.Your pide a todos a contar y escribir todo lo que hay en tu mochila.
Su lista empieza
1 teléfono inteligente
1 calculadora
1 medio comer barra de chocolate
1 envoltura de la barra de chocolate que comía el jueves
1 diccionario francés
3 lápices
1 lápiz negro
8 cartuchos negro (no en una caja)
4 rojo rotuladores
1 cuaderno de matemáticas
etc
Lo que su lista no no incluye es
0 diccionario español
Usted no está estudiando español así que naturalmente no tiene un diccionario español - sólo enumera las cosas que están en la bolsa, no las cosas que son no . Así que si usted se acaba de hacer una lista que no es necesario un cero.
Desde los primeros días del hombre ha contado en decenas. (¿Por qué? Porque tenemos diez dedos! Esto está más plenamente discutido en la página de Bases .) La mayoría de los sistemas de escritura antiguos tenían símbolos separados para las unidades, decenas, centenas, etc Hoy en día muchas personas están familiarizadas con los números romanos (I, X, C, M, etc), pero en realidad los números romanos no son típicos de estos primeros sistemas porque tenían símbolos para los cinco primeros, años cincuenta, etc, así, y también podían escribir cuatro como IV, noventa como XC, etc Así que en lo que sigue He utilizado numerales egipcios, en parte porque son más típicas, en parte porque prefiero la historia de Egipto a la historia de Roma y en parte porque creo que son más bonitas.
(Si alguna vez me has conocido usted sabrá que a veces puedo ir tan largo como la mitad de una hora sin mencionar una sola vez el Antiguo Egipto.)
Para las unidades de los antiguos egipcios usaban un trazo vertical, para las decenas del jeroglífico por un hueso del talón, por los cientos el jeroglífico lazo, y para los miles El jeroglífico para una flor de loto. La mayoría de la gente, tanto antiguas como modernas, siempre han escrito los miles, luego cientos, a continuación, las decenas y las unidades de pasada, pero los egipcios hicieron al revés, con las unidades de primera. También se les permitió agruparlos para darles un aspecto más bonito. Así quinientos treinta y siete sería
Creo que esto se ve muy bonita, pero, por supuesto, se tarda mucho tiempo para escribir. Pero los egipcios, y todo el Pueblo Antiguo, lograron muy bien.
No es necesario un símbolo para el cero: quinientos siete se escribiría exactamente de la misma manera, pero perdiendo los huesos del talón y el cierre de la brecha.
Nuestros números de actualidad ( números ) se inició en la India hace unos mil años. De allí pasaron a Arabia y de allí a Europa, donde fueron llamados números arábigos , para distinguirlos de los números romanos que todavía se estaban utilizando en toda Europa en la Edad Media, y desde Europa se extendieron al resto del planeta.
En números arábigos si quieres tres unidades de no repetir el símbolo de unidades tres veces que tiene un símbolo diferente para cada número del uno al nueve, por lo que necesita nueve símbolos diferentes. Hoy nos resulta difícil entender cómo es grande un paso que era: "¿Has oído? Han cambiado la forma de hacer las sumas! Todo el mundo tiene que aprender nueve símbolos nuevos! "Pero usted puede utilizar los mismos símbolos para las decenas y cientos, así que quinientos treinta y siete es 537, la escritura de los cientos, luego las decenas y las unidades de pasada. Esto es mucho más fácil y más rápido - una vez que han aprendido los símbolos del curso.Los niños pequeños aprenden siendo sus números mirando un cuadro grande que contiene una oveja, dos vacas, tres perros, etc
Pero, ¿cómo se escribe quinientos siete? No podemos escribir 57, tenemos que saber que el cinco es el número de centenas no el número de las decenas. La solución fue utilizar un marcador de lugar para marcar el lugar donde las decenas habrían sido si hubiera habido alguna, y se acordó que el símbolo de este lugar marcador debe ser 0, cero. Así quinientos siete fue escrito 507. Así que cero originalmente no era un número, sólo era el símbolo usado para marcar el lugar donde las decenas serían si hubiera alguna.
Los matemáticos de hoy han decidido que el cero es un verdadero número (pero no un natural de número) - esto es esencial para que tanto las matemáticas modernas - pero es un número muy especial y muchas de las reglas de las matemáticas no son aplicables a la misma, por ejemplo, usted no se les permite dividir por cero. Pero todavía es útil recordar cómo empezó de cero, sobre todo cuando se está redondeando números con muchos ceros. Esto se discute más en la página de redondeo.
Hoy en día la gente utiliza cero como un número cuando están haciendo sumas o introducir datos en un ordenador, pero la mayor parte del resto de las veces no lo hacen. Por ejemplo, la clase ha estado en una visita a un santuario de aves y todo lo que han mantenido un recuento de la cantidad de cada tipo de aves que has visto. De vuelta a la escuela de su maestro está pidiendo cuántos tipos de aves cada estudiante ha visto.
Peter, ¿cuántos gorriones viste? Once Mississippi
Samantha, ¿cuántos pinzones viste? Seventeen Mississippi
Christopher, el número de tordos viste? Cinco señorita .
Ella le pregunta cuántos pájaros carpinteros que viste. Ni siquiera has escrito pájaros carpinteros en su hoja de registro. ¿Va a responder "Miss Zero" (una respuesta numérica) o "Yo no vi ningún pájaros carpinteros en absoluto la señorita" (una respuesta no numérico)?
Por supuesto, usted no puede entrar "No vi a los pájaros carpinteros en absoluto la señorita" en un ordenador, pero eso es otra historia ...
Algunos matemáticos modernos han escrito que las matemáticas antiguas griegas y romanas y egipcias y otros fue severamente restringido por la falta de un cero, pero esto revela una total ignorancia de los verdaderos logros, en la navegación, la astronomía, en la administración, en la construcción, y en casi cualquier otro campo, de la mayoría de las civilizaciones antiguas. Es posible que lo mismo decir "Los constructores de las pirámides fueron severamente obstaculizados por la falta de helicópteros de doble rotor", pero nunca ha oído hablar de un diseñador helicóptero decir que .
Si estamos dividiendo 1 por 7 podemos poner el cálculo fuera así.
7 en 1 da 0 resto 1, por lo que llevan 1 en la siguiente columna. 7 en 10 va 1 resto 3, por lo que llevar a 3 en la siguiente columna. 7 en 30 va 4 resto 2 así llevar a 2 en la siguiente columna. 7 en 20 va 2 resto 6 de modo llevar a 6 en la siguiente columna, y así sucesivamente.
Si en algún momento se va exactamente en el resto es cero y el decimal termina en esta etapa. Sin embargo, si hay un resto continúa el decimal. Si estamos dividiendo por 7 el resto debe ser uno de 1, 2, 3, 4, 5 o 6 - si es 7 o más que hemos cometido un error .... Esto significa que después de un máximo de seis etapas debemos obtener un resto que hemos tenido antes, por lo que el patrón se repetirá y tenemos un recurrente decimal - la secuencia cuando se divide por 7 es los seis números 142857 142857 142857 etc Del mismo modo, si estamos dividiendo por 17 el resto debe ser un número en el rango de 1 a 16 inclusive así que el patrón se repetirá después de dieciséis dígitos. Por tanto, cualquier fracción común se puede convertir en una terminación o decimal recurrente.
En la práctica, 7 y 17 son en gran medida la excepción (por eso he elegido); para la mayoría de los números decimales o termina la secuencia se repite antes de que el número máximo de dígitos que se alcanza, por ejemplo, si estamos dividiendo por 3 ó 6 ó 9 la secuencia es sólo un dígito de longitud, por 11 que es de dos dígitos, por 27 que es de tres dígitos, por 101 es de 4 dígitos, por 41 que es de 5 dígitos, por 7 o 13 es 6 dígitos. Si estamos dividiendo por 17 la secuencia no repetir cada 16 dígitos, a pesar de que su calculadora no puede mostrar a todos ellos al mismo tiempo, por lo que es necesario utilizar las teclas de desplazamiento.
Los factores primos de 10 son 2 y 5. Cuando estamos haciendo una división cada vez que tenemos un acarreo introducimos otro cero, es decir, estamos haciendo un número divisible por 10, por lo que podemos ver que si estamos dividiendo por un número cuyos únicos factores primos son 2 y 5 ( por ejemplo, 16, o 25, o 40) la división siempre finalmente terminará. Pero si estamos dividiendo por un número con cualquier factor primo distinto de 2 o 5 (por ejemplo, 3, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 17, etc) que se repetirá.
Cuando estamos escribiendo o impresión de decimales que se repiten se muestra la secuencia de números, poniendo los puntos sobre el primer y último número en él. En algunas calculadoras se puede optar por mostrar los decimales que se repiten en este camino.
Tenga especial cuidado con decimales se repite cuando se utiliza la calculadora en modo matemático. Por ejemplo, si usted no nota el punto cuando lo haces 205 ÷ 9 se podría pensar que la respuesta es 22,7, pero, por supuesto, con un decimal que es 22,8.
En la siguiente sección que he escrito decimales en forma 0.653 653 653 etc en lugar de utilizar la convención normal de puntos más de los números que comienzan y terminan la secuencia que se repite se repite, porque creo que esto hace que sea más fácil de entender.
Convertir un decimal recurrente a una fracción propia es bastante sencillo. Si el decimal periódico se compone de un solo número de repetición, por ejemplo 0.6666666 etc, primero lo multiplicamos por 10
10 × 0,66666666 = 6,66666666 etc etc (Ecuación A)
1 × 0,66666666 = 0,66666666, etc, etc (Ecuación B)
La parte después del punto decimal es la misma en ambas ecuaciones, por lo que resta de la ecuación B Ecuación A
9 × 0,66666666 etc = 6
Así, etc 0.66666666 = 6/9 o 2/3
Si el decimal periódico tiene una secuencia repetitiva de dos dígitos, por ejemplo 0,45 45 45 45 etc, nos dedicamos a realizar el mismo procedimiento, excepto que se multiplica por 100 en lugar de 10 en la Ecuación A manera terminamos con
0,45 45 45 45 etc = 45/99 o 5/11
Del mismo modo para una secuencia de tres dígitos que se repiten multiplicamos por 1000 así
0.259 259 259 etc = 259/999 o 27/7
Cada decimales recurrentes se puede convertir en una fracción apropiada de la misma manera, por lo que cada decimales recurrentes es un número racional. Pero si el decimal original, por ejemplo, el valor decimal que se repite de 13/17 de la secuencia recurrente tendría dieciséis dígitos para que hubiera 16 nueves en la parte inferior de la fracción antes de empezar a simplificarlo. Pero si su calculadora le permite ingresar decimales que hace todo el trabajo por usted recurrentes - esto se explica en esta página . Pero recuerde que la conversión de un número decimal periódico en una fracción común puede estar en el papel sin calculadora.
Si utiliza la tecla HECHO en tu calculadora para encontrar los factores primos de 9, 99, 999, 9999, 99999 y 999999 se puede ver cómo descubrí que, por ejemplo, dividiendo por 101 produce una secuencia que se repite de 4 números: soy no es realmente tan inteligente como yo pretendo ...
Hay una cuestión en relación con los decimales que algunas personas tienen dificultad con el recurrente. 1 ÷ 9 = 0,111111111 etc para 9 × (1 ÷ 9) = 0.9999999 etc, pero 9 ÷ 9 = 1, de modo que se repiten 0.9 = 1, no aproximadamente, pero exactamente .
Por lo anterior, si tenemos una cuerda y medimos su longitud como 3 metros al metro más cercano, la mayoría de la gente puede ver que la longitud mínima de la cuerda es de 2,5 m, porque si fuera inferior a 2,5 m nos redondeamos hacia abajo a 2 m. La cuerda podría ser 3.49 m porque si lo medimos como 3,5 m queremos redondear hasta 4 m.Pero podría ser 3.499 m o 3,4999 m de hecho o de 3,49 m recurrentes. Así la longitud de la cuerda es en el rango de 2,5 m a 3,5 m, ambos inclusive.
π y más cuadrado y otras raíces, funciones trigonométricas como senos y cosenos y logaritmos son números irracionales.
Hay muchas maneras diferentes de expresar π y no tienen el mismo aspecto en todos, pero aquí es la más sencilla y la que hace que los números irracionales más fáciles de entender.
por lo que nunca se repite, ya sea o termina y no se puede expresar en la forma a ÷ b.
Todos los números irracionales toman la forma de una serie infinita convergente como este. Cómo matemáticos finalmente llegado a esta serie es bastante fascinante y se explica en la mayoría de los libros sobre la historia de las matemáticas y en varios sitios de Internet - intente una búsqueda en "Valor de la pi" o, más interesante, "La raíz cuadrada de 2" -, pero la matemática es muy avanzado y si se puede seguir es probable que no esté leyendo esta página (excepto tal vez como crítico - por favor enviarme un correo mí con sus comentarios).
Esta es la serie más simple para la raíz cuadrada de 2 - como para π hay otros y todos se ven muy diferentes.
Aquí está el diagrama de dispersión obtenida mediante el cálculo del valor de esta serie para diferentes números de términos (empezando por el segundo término).
Este diagrama de dispersión explica con más claridad que las palabras puede el significado de la serie infinita convergente . A medida que aumentamos el número de términos utilizado los valores se acercan cada vez más cerca. Pero si utiliza un centenar de términos que siempre hay algún listillo que dirá "es una mierda para ti, que he usado un millar". Alguien calcula la raíz cuadrada de dos a un millón de lugares de decimales, entonces alguien más viene con cinco millones. Aquí es de cinco millones de lugares de decimales si usted está interesado ...
Por supuesto, algunas personas realmente necesitan el valor de la raíz cuadrada de 2 a cinco millones de decimales, para la mayoría de la gente las diez cifras significativas dadas por su calculadora científica de bolsillo son suficientes, por la raíz cuadrada de 2, y también para todos los demás irracional números.
La verdadera naturaleza de los números irracionales como convergente serie infinita no se entendió hasta el siglo 19, pero los intentos para encontrar aproximaciones de los valores de π, se había hecho raíces cuadradas y funciones trigonométricas durante miles de años antes de esa fecha. Hace cuatro mil quinientos años, un faraón llamado Snefru, que era el rey de Egipto desde 2575 hasta 2551 (BCE por supuesto!) Fue el primer faraón de construir una verdadera pirámide, con una base cuadrada y lados del triángulo equilátero lisas. Podemos usar la trigonometría para mostrar que la pendiente de los lados debe ser de 54 grados 44 minutos: la pendiente de los lados de la pirámide era de 54 grados 27 minutos, menos de la mitad de un grado fuera! Intenta simplementedibujando un ángulo esta precisión, entonces se puede imaginar la construcción de una pirámide con una base de 185 metros esta precisión de los bloques de piedra, utilizando únicamente las herramientas y los materiales que estaban disponibles hace 4500 años!
Los valores de senos y otros números irracionales se han necesitado por los arquitectos, navegantes y astrónomos y muchas otras personas durante miles de años, pero pocas de estas personas nunca han sido lo suficientemente buenos matemáticos, o más importante aún podían permitirse el tiempo, para producir su propio valores. En lugar de un pequeño número de matemáticos hizo los cálculos y publicó sus resultados en tablas matemáticas . Las tablas publicadas primeras se remontan dos mil años, y las mesas estaban todavía la forma estándar de hacer cálculos con números irracionales hasta la introducción de la calculadora científica en la década de 1970. Por lo general, esto es, dar valores a cuatro cifras significativas, se utilizaron 4 tablas figura,. Mirando hacia arriba los valores consignados en los cuadros era tedioso y consume mucho tiempo, y en la escuela sólo los estudiantes más capaces fueron entrenados en su uso. Hoy, sin embargo cualquiera puede hacer en unos pocos segundos un cálculo que hace cuarenta años habría tomado varios minutos y fue más allá de un 80% de la población - y al 10 en lugar de 4 figura la precisión.
La serie de π dado anteriormente es tal vez la más simple de todas las series infinitas convergentes de entender pero converge muy lentamente - probarlo por ti mismo. Así que no es una de las series realmente utilizada para el cálculo de π.