Nota a los visitantes: Otros sitios han copiado la información de este sitio. Este método original utiliza un solo número (0.301), que fue derivado por el Dr. Weldon Vlasak, y verá que proporciona una forma sencilla de estimar el valor de un logaritmo o decibelio.
Voy a tratar de mostrarles lo fácil logaritmos se pueden manejar y cómo es posible calcular el logaritmo de cualquier número sin una tabla de registros o una calculadora utilizando sólo un único número. Antes de salir del sitio web, por favor revise nuestra página principal para más información interesante en el campo de la ciencia. Trato de hacer que la ciencia simple de entender, como se verá. Ahora resido en Nebraska , así que utilice la página de contacto para obtener ayuda con grupos de discusión locales o escuelas o si tiene preguntas ..
En su mayor parte, los fenómenos naturales se comportan como funciones exponenciales. La palabra "exponencial" no debe asustar a nadie porque es simplemente otra forma de escribir un número. El logaritmo de un número complejo es mucho más difícil, pero vamos a hacer frente a los números reales que no son tan difíciles de entender como algunos creen. Con los conocimientos adquiridos aquí, a continuación, será capaz de cubrir cualquier rango finito de números! Más adelante veremos también cómo decibelios son una forma de definir los niveles de potencia en forma de logaritmos. Ahora ahora vamos a encontrar el primer dígito de un logaritmo, que es muy fácil de obtener:
. 1 Derivado del primer dígito del Logaritmo: Ya que generalmente contamos del uno al diez, el número 10 será el número "base" (B = 10). El registro del número 1 es cero. El registro de los 10 es el número "1", que también se puede escribir log (10) = 1. Por lo tanto log (100) = 2, log (1,000) = 3 y así sucesivamente. ¿Qué podría ser más simple?
Ahora vamos a ir en la otra dirección, donde manejamos números que son menos de uno. El registro de 0,1 es el registro (1/10) = (-1) , El registro (1/100) = (-2) , y el registro (1/1000) = (-3) . El número de la base no tiene que ser decimal (base 10), y es fácil de convertir cualquier número de la base, que es algo que vamos a hacer después.
Adición de valores logarítmicos se correlaciona con la multiplicación. El primer número del logaritmo de un número N es el número de veces que el número de la base se multiplica. He aquí algunos ejemplos: Para la base 10 se puede escribir log (10) = 1,0, log (100) = 2,0, y log (1000) = 3,0 . Acabamos de calcular tres valores de registro exacto de N para estos casos simples. De hecho, calcular el logaritmo de N fue más fácil que el proceso de multiplicación o división de un número por otro utilizando los métodos de la aritmética. Si el número de registro es 3 , es simplemente el número de decimales para N = 1000 .Para números menores que uno, los logaritmos son negativos y log (0,1) = -1, log (0,01) = -2, y log (0,001) = -3. El punto intermedio es log (1) = 0 . Los números son números enteros rara vez, y hay una manera de manejar estos números, como se verá más adelante. Por ejemplo, si N es entre 10 y 100, el registro (N) es entre 1,0 y 2,0.
Ahora vamos a hacer algunas manipulaciones usando lo que hemos aprendido hasta ahora. Cuando sumamos o restamos dos números de registro, tales como [log (10) + log (100)] = (1 +2) = 3 = número de registro. Este es el mismo resultado que se obtuvo más arriba donde log (1,000) = 3, por lo que la adición de logaritmos se correlaciona a la multiplicación de los números reales . Una vez más, no es tan difícil. Del mismo modo [log (100) - log (10)] = (2 -1) = 1, que corresponden a la división de dos números, 100/10 = 10, y log (10) = 1. En otras palabras, la adición de los números de registro equivale a la multiplicación de dos números, y la resta de dos números de registro equivale a división.
Ahora vamos a elegir un gran número que no sea un número entero, digamos N = 16777216 . Mueva el punto decimal en el que sólo un dígito está a la izquierda del punto decimal. En este caso, el punto decimal se movió siete lugares a la izquierda . El número de decimales que nos movemos a la izquierda es la primera cifra del registro de N, que es log (N) => 7,0000 . Esta es la primera estimación del logaritmo de este número muy grande, y el Nido = 10000000 = valor estimado . El número de registro será mayor que esto, pero en realidad no es tan malo de un estimado, teniendo en cuenta la sencillez del método en este paso. Nos mudamos de la coma siete lugares a la izquierda, así que por lo tanto, el error es N / Nido = 16.777.216 / 10.000.000 = 1,6777216 , por lo que el nido / N = 0,59605 y el Nido se encuentra el 40,4% de su valor correcto N. Esto se obtiene a partir de un solo operación rápida! El valor exacto del logaritmo es log (N) = 7,224719896 = 7 + (log (1.6777216)] y, por tanto, es el error de registro (7-7,224719896) = - 0.224719896 Se trata de un error de porcentaje aún menor. en el dominio log - - sólo - 3.11% En algunos casos, esta cantidad de error puede ser lo suficientemente bajo como para ser capaz de utilizar en una gran ventaja, pero somos capaces de reducir el error de estimación adicional..
Cuando N es menor que uno , se utiliza un procedimiento similar excepto que el punto decimal se mueve hacia la derechahasta que tengamos sólo un dígito a la izquierda del punto decimal. Un movimiento de la coma decimal a la derecha es necesario que un número que es menor que uno. El registro de cualquier número finito se puede estimar simplemente moviendo el punto decimal, pero esta estimación aproximada del valor logarítmico puede no ser suficientemente precisa para diversas aplicaciones. Por lo tanto, ahora vamos a mejorar la precisión de la estimación.
2. Un binario / decimal División Método de estimación:
En el gráfico siguiente, que muestra los logaritmos de los números elegidos bien espaciados sobre una gama de 10.000:1, es útil para explicar los siguientes pasos del procedimiento. Vamos a utilizar estos valores particulares en el gráfico para obtener un logaritmo bastante exacta de cualquier número dentro de ese rango. El registro (N) se representa a continuación para los siguientes valores de N:
(A.) N = 1.414 (la raíz cuadrada de 2) ,
(B.) N = 2.828 (2 veces la raíz cuadrada de 2),
(C.) N = 5.656 (4 veces la raíz cuadrada de 2),
(D.) N = 8 (4 veces 2)
(E.) N = 10 , se aplican a cualquier década (sólo cuatro décadas se ilustran). Observe que cada el espacio entre los números es relativamente uniforme, lo que simplifica enormemente el procedimiento de estimación a través de cualquier rango!
Usando los valores anteriores, sólo es necesario que recordar un número principal con el fin de obtener una estimación precisa del logaritmo de cualquier número! Los puntos trazados en el gráfico anterior se incluyen los valores de N ha indicado anteriormente para los puntos intermedios. Por ejemplo, log (N) = log (2) = 0.301 . . Todos los valores del log ( N ) dada anteriormente son múltiplos de cualquiera de 0,301 o 0,301 / 2 = 0.1505 (0.1505 Tenga en cuenta que es el registro de la raíz cuadrada de (2) . Así, por este procedimiento, sólo tiene que recordar este número:
0.301
Para los valores N de 1, 2, 4, y 8 en el gráfico anterior, los aumentos de valor logarítmico de 0,301 en cada década [ ( 0 , 0,301, 0,602 , y 0,903 ) = 0,301 x (0, 1, 2, 3 )] . Por ejemplo, log (8) = 3 x log (2) = 3 x 0.301 = 0.903 . Ahora tenemos cuatro puntos decimales codificados en binario en cada década, y un total de 16 puntos adicionales por todo el gráfico. Además, observe que el registro de la raíz cuadrada de dos es (0.301 / 2 = 0,1505) , lo que nos permite obtener los valores intermedios entre dos puntos cualesquiera binaria de valor adyacentes en la curva de arriba . Esto no es un método exacto de interpolación, pero es bastante bueno, y que fácilmente puede hacer que sea más precisa. Nota : El último intervalo en cada década es más corto.
También podemos dividir los números de una manera similar con el fin de determinar el valor de registro . La elección de N = 10 para este ejemplo, si dividimos N por dos se obtiene el número cinco. Una vez más, log (n) = 1, pero en este caso, dividimos N por dos y nos restamos el valor de registro resultante en log (N / 2) = log (5) = (1 a 0,301) = 0.699 . El valor real es 0,69897 ... Del mismo modo, log (N / 4) = log (2,5) = (0,699-0,301) = 0.398 . Esto nos da más puntos en el gráfico de arriba, si decide usarlos para una mayor precisión o el cálculo más sencillo.
Así que ahora que sabemos los valores de registro de 10, 5 y 2 , que son 1,0, 0,699 y 0,301 . El registro de 4 , por lo tanto es0.602 , y el log de 8 es 0.903. Para números menores que uno, el registro de 0,5 es -0.301 , el registro de 0.25 es -0.604 , y el registro de 0.125 es -0,903 . Todo esto a partir de sólo recordar un número (0.301) , y multiplicando estos números por múltiplos de diez, los vamos a sumar enteros. Del mismo modo, al dividir el número por diez restamos múltiplos de diez. Así, podemos determinar los valores de registro de una gama muy amplia de números en un grado razonable de precisión sin una tabla de logaritmos, una computadora o una calculadora.
Con los valores de los puntos de la curva de arriba también podemos utilizar y método de interpolación. Por ejemplo, la vamos a considerar N = log (2 x sqrt 2) = log (2.828) . Utilizando el método anterior, log (2,828 ) = log (2) + log (sqrt 2) = (0,301 + 0,1505)) = 0,4515. Esto es similar al método del párrafo anterior, donde se determinó que registro 8 = log (2 x 2 x 2) = (0.301 x 3) = 0,903 , Con el fin de obtener la estimación más cercana para el registro de cualquier número, elija los valores convenientes más cercanos el número ( N) para los que desee para encontrar el logaritmo como se muestra en el gráfico anterior.
3. Un método de interpolación simple para una mayor precisión en la estimación : en (. 2), simplemente elegimos el número más cercano en el gráfico de arriba para nuestra estimación de log (N) , y el error de registro fue -1,05%. Podemos acercarnos aún más mediante el uso de interpolación lineal. Más de un comparativamente pequeño rango de números, los logaritmos son bastante lineal, lo que hace mucho más fácil la interpolación. Recordemos que N = 16.777.216 , y para uno de los puntos más cercanos de la gráfica, que es la raíz cuadrada de dos, el número estimado es de 14,140.000 (redondeado). Si ahora observamos los puntos en la gráfica, 1.677 es aproximadamente la mitad de camino entre 1,414 y 2 , por lo que sólo se puede dividir 0.1505 (el registro de la raíz cuadrada de dos) en el medio y añadirlo a la estimación anterior, resultando en 7.1505 + 0,07525 = 7,22575 , lo que resulta en un error de sólo Error = - 0,2968% . En la mayoría de los casos en que se utilizan logaritmos en la ingeniería y la ciencia, este tipo de interpolación lineal será suficiente.
4. El logaritmo de un número binario: Ahora vamos a elegir un número de base diferente B = 2 (sistema binario), que en este caso el número de veces que el número 2 se multiplica. Para N = 16 , el número dos se multiplica cuatro veces, N = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 = 2 ^ 4 , y su base de 2 logaritmo es: log (16) = 4 . Del mismo modo, para N = raíz cuadrada de 2 = 1.4142 , el (binario) valor de registro es de 0,5 , mientras que el (decimal) Valor de registro es 0,301 para N = 2 .
. 5 Entendimiento Decibeles : Un valor de decibelios se refiere a una relación de dos números. El decibel (abreviado dB ) se definió originalmente en términos de potencia de audio, y un aumento en el nivel de potencia de un decibelio es la menor cantidad de potencia de audio que el oído humano promedio puede oír. Ahora usamos decibelios para definir los niveles de señal a través de una muy amplia gama de señales eléctricas, etc El punto de referencia más común para cero dB es un milivatio de energía. Una vez que el valor de referencia es conocido, la potencia absoluta puede ser expresada por un valor logarítmico. El decibel se define como 10 log (P2/P1) . Por lo tanto, un aumento en el poder por 10:01 es 10 log (10) = 10 x 1 = 10 dB . Yendo en la otra dirección, un aumento de 10 dB es 10 log (P2/P1) = 10 , de modo log (P2/P1) = 1,0 , que es 10 ^ 1 = 10 . Consideremos ahora un aumento de la potencia de 3 dB , en cuyo caso 10 log (P2/P1) = 3 , y por lo tanto log (P2/P1) = 0,300 , que es lo suficientemente cerca de nuestro número mágico de 0.301 para el valor logarítmico que corresponde a unaumento de 3 dB . Por lo tanto, 3 dB significa un aumento en el poder de 2:01 (que ayudará a recordar esto). El término dBmsignifica que el nivel de referencia es un milivatios , por lo que en este caso 3 dBm significa un nivel de potencia de 2 milivatios .
6. Un ejercicio simple : Para poner a prueba lo que has aprendido aquí, considere el siguiente problema:
a.) Calcular el aumento relativo en el poder por un incremento de un dB .
b.) Determinar el nivel de potencia absoluta para uno dBm.
Vea las respuestas a los ejercicios anteriores.
Vea una p montón de decibelios y Q & A .
Continuar: Ver más parcelas y respuestas .
Si encuentra alguna dificultad en el uso de los métodos descritos aquí, o si tiene sugerencias para mejorar la claridad de la presentación, por favor envíeme un correo electrónico .
Si te gusta lo que se presenta anteriormente, por favor, echa un vistazo a nuestra página principal de otros logros científicos en este sitio web. Estoy seguro de que le resultará interesante y desafiante (los rompecabezas y problemas enlaces en la página principal tiene valor en el mundo real ).
Cómo calcular el logaritmo de un número sin una calculadora?
He visto a la gente mira a log (varios dígitos) y recitar el primer par de dígitos.
Puedo conseguir el valor para valores pequeños (también conocido como el popular o fácil saber raíces), pero ¿hay una fórmula. Similar a cómo saber si un número es divisible por un número entero.
He leído este y este , pero podría alguien explicar por qué funciona?
-álgebra precalculus soft-pregunta logaritmos
El primer enlace es simplemente usando las reglas básicas de logaritmos - el registro de un producto es igual a la suma de los registros (que trabajan en base 10). Como ejemplo, tomel o g( 3025 ) = l o g( 3.025 × 103) = l o g( 3.025 ) + l o g( 103) = l o g( 3.025 ) + 3 ≈ 3,48 (Usando que l o g( 3 )es 0,48). Se eligió el poder de 10 porquel o g( 3 )se conocía. - Marcos Bennet 22 de abril '12 a las 17:06
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La idea del primer artículo es escribir cualquier número positivo x como:
x = m ⋅ 10econ m la "mantisa" entre 1 y 10 (Excluido) y e el exponente (potencia entera de 10).
De modo que log10( x ) = log10( m ) + e
Para mantener las notaciones más corto que voy a escribir log( x ) para log10( x ) en la siguiente.
La mantisa es de entre 1 y 10, y la idea es memorizar los primeros logaritmos (en este caso voy a utilizar hasta 5 dígitos, puede utilizar menos dígitos, si lo prefiere):
m123456789log( m )00.301030.477120.602060.698970.778150.845100.903090.95424
Esto parece ser mucho trabajo, pero de hecho muchos se deduce de otros valores:
log( 2n) = n log( 2 ) de modo que log( 4 ) = 2 log( 2 ) , ingrese( 8 ) = 3 registro( 2 )
más generalmente log( a ⋅ b ) = log( a ) + log( b ) de manera que la mesa se podría reescribir (usando demasiado log( 10 ) = 1):
m123456789log( m )00.30103 = log( 2 )0.47712 = log( 3 )0.60206 = 2 log( 2 )0,69897 = 1 - log( 2 )0.77815 = log( 2 ) + log( 3 )0.84510 = log( 7 )0.90309 = 3 log( 2 )0.95424 = 2 log( 3 )
La mesa puede ser reconstruido con sólo tres valores!
Voy a añadir también la muy útilln( 10 ) ≈ 2.3026 y es inverso multiplicativo log( e ) ≈ 0.43429 ≈ 12.3026.
Ahora deja que suponga que desea calcular (como en el artículo)log( 29012 ) = log( 2,9012 ⋅ 104) = log( 2.9012 ) + 4 log( 10 ) = 4 + log( 2.9012 )
En primera aproximación podemos utilizar log( 2.9012 ) ≈ log( 3 ) ≈ 0.477 deducir que log( 29012 ) ≈ 4 + 0,477 ≈ 4.477.
Podemos conseguir más precisión con una interpolación lineal pero voy a preferir utilizar el clásico ln( 1 + x ) ≈ x aplicado de esta manera:
log( 1 + x ) ≈ log( e ) ⋅ x ≈ 0,4343 ⋅ x
tenemos 2.9012 ≈ 3 ⋅ 0.9671 ≈ 3 ⋅ ( 1 - 0.0329 ) de modo que
log( 2.9012 ) ≈ log( 3 ) + log( 1 - 0.0329 ) ≈ 0.033 ⋅ 0,434 ≈ 0.47712 - 0.0143 ≈ 0.4628
y lo conseguimos log( 29012 ) ≈ 4.4628 no muy lejos de la exacta 4.4625776 ⋯
Es importante comprender que la tabla de logaritmos permite también el cálculo inverso que consiste en calcular 10x.
¡Por supuesto 10log( 2 )= 2 de manera que, por ejemplo, 100.3 será sólo un poco más pequeño que 2.
Para una precisión adicional y para x « 1 vamos a escribir lo útil 10x= ex ln( 10 )≈ 1 + ln( 10 ) x o
10x≈ 1 + 2,3026 ⋅ x
Para computar 10x descomponer x en su parte entera yo y parte fraccionaria F entonces 10i + f= 10yo⋅ 10F : La mantisa de este resultado 10F se encontraron con la mesa y yo Por supuesto, será el exponente.
Después de que todas las aplicaciones pueden seguir: compute unb para cualquier real positivo un y real b uso log( unb) = b log( un ) de modo que
unb= 10b log( un )
Cálculo de la n-Th raíz de un real positivo será sólo un caso especial de la anterior: .b = 1n
Ejemplo no está lejos de de manera que por lo que la respuesta es claramente un poco más de .1212----√5 12001200 = 3 ⋅ 4 ⋅ 100
log( 1212 ) ≈ log( 3 ) + log( 4 ) + 2
log( 1212 )5≈ 2 + 0.47712 + 0.602065≈ 0.615844
0,61584 = 0,60206 + 0,01378 y desde de modo que un resultado aproximado será que es: , mientras que el resultado exacto es .100.01378≈ 1 + 2,3 ⋅ 0,013 ≈ 1,034 ⋅ 1,03
1212----√5≈ 4,124.1371429 ⋯
Muchos métodos se pueden utilizar para conseguir más precisión:
observar que con 1212 = 12 ⋅ 101101 = 100 ⋅ 1,01
componer diferentes (+ -) valores exactos de los logaritmos para obtener valores cercano al buscado
memorizar demasiado y así sucesivamente (usted debe casi 'reconocer' ... y no tendrá que memorizar )log( 1.1 ) ≈ 0.041393 , registro( 1,2 ) = log( 3 ⋅ 410) ≈ 0.07918log( 1,01 ) = 0,004321log( 1.001 )
⋯
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