El número e

Uno de los primeros artículos que se incluyeron en la sección "Historial de temas" de nuestro archivo web fue sobre la historia de π. Se trata de un artículo muy popular y ha llevado a muchos a pedir un artículo similar sobre el número e . Hay un gran contraste entre los desarrollos históricos de estos dos números y de muchas maneras a escribir una historia de la electrónica es una tarea mucho más difícil que escribir una para π. El número e es, comparado con π, un recién llegado a la escena matemática.

El número e es lo primero en la matemática de una manera muy leve. Esto fue en 1618, cuando, en un apéndice de Napier trabajo 's en logaritmos, apareció una tabla dando el logaritmo natural de varios números. Sin embargo, que se trataba de logaritmos de base e no fue reconocido desde la base a la cual se calculan los logaritmos no surgió en la forma en que se pensaba que los logaritmos aproximadamente en este momento. Aunque ahora pensamos de los logaritmos como los exponentes a la que uno debe elevar la base para obtener el número requerido, esta es una forma moderna de pensar.Volveremos a este punto más adelante en este ensayo. Esta tabla en el apéndice, aunque lleva el nombre del autor, casi seguro escrito por Oughtred . Unos años más tarde, en 1624, de nuevo un correo casi lo hizo en la literatura matemática, pero no del todo. En ese año, Briggs dio una aproximación numérica al logaritmo en base 10 de e , pero no mencionó correo propio en su trabajo.

La siguiente aparición posible de e es de nuevo dudosa. En 1647 Saint-Vincent calculó el área bajo una hipérbola rectangular. Ya sea que reconoció la conexión con los logaritmos está abierto al debate, e incluso si lo hiciera había pocas razones para que él venga a través del número de correo de forma explícita. Ciertamente por 1661 Huygens entiende la relación entre la hipérbola rectangular y el logaritmo.Se examinó explícitamente la relación entre el área bajo la hipérbola rectangular yx = 1 y el logaritmo. Por supuesto, el número de e es tal que el área bajo la hipérbola rectangular de 1 a e es igual a 1. Esta es la propiedad que hace que e la base de los logaritmos naturales, pero esto no fue entendido por los matemáticos en este momento, a pesar de que se acercaban lentamente tal entendimiento.

Huygens hizo otro avance en 1661. Definió una curva que él llama "logarítmica" pero en nuestra terminología que se referiría a ella como una curva exponencial, que tiene la forma y = ka ^x . Una vez más fuera de este viene el logaritmo en base 10 de correo , que Huygens calculó a 17 cifras decimales. Sin embargo, aparece como el cálculo de una constante en su trabajo y no se reconoce como el logaritmo de un número (por lo que una vez más se trata de una llamada cercana pero e sigue sin ser reconocido).

Seguir trabajando en logaritmos seguido que todavía no ve el número e aparece como tal, pero el trabajo contribuye al desarrollo de los logaritmos. En 1668 Nicolás Mercator publicó Logarithmotechniaque contiene la expansión en serie de log (1 + x ). En este trabajo Mercator usa el término "logaritmo natural" por primera vez para los logaritmos a la base e . El número e en sí de nuevo no se presenta como tal y de nuevo sigue siendo esquiva a la vuelta de la esquina.

Tal vez resulte sorprendente, ya que este trabajo sobre logaritmos había estado tan cerca de reconocer el número e , cuando e es primero "descubierto", no es a través de la noción de logaritmo en absoluto, sino más bien a través de un estudio del interés compuesto. En 1683 Jacob Bernoulli examinó el problema del interés compuesto y, al examinar el interés compuesto continuo, trató de encontrar el límite de (1 + ¹ / n ) ⁿ como n tiende a infinito. Usó el teorema del binomio para demostrar que el límite tenía que estar entre 2 y 3 por lo que podríamos considerar que se trata de la primera aproximación encontrado quee . Además, si aceptamos esto como una definición de correo , que es la primera vez que un número se define por un proceso limitante. Desde luego, no reconoce ninguna conexión entre su obra y la de los logaritmos.

Ya hemos mencionado que los logaritmos no fueron considerados en los primeros años de su desarrollo por tener alguna relación con los exponentes. Por supuesto que de la ecuación x = a ^t , deducimos quet = log x , donde el registro es basar una , pero esto implica una forma muy posterior de pensar. Aquí realmente estamos pensando en log como una función, mientras primeros trabajadores en logaritmos pensaban exclusivamente del registro como un número que ayudó cálculo. Puede haber sido Jacob Bernoulli quien primero entendió la forma en que la función log es la inversa de la función exponencial. Por otro lado, la primera persona a hacer la conexión entre logaritmos y exponentes puede haber sido James Gregory . En 1684, él ciertamente reconoció la conexión entre logaritmos y exponentes, pero no puede haber sido el primero.

Por lo que sabemos de la primera vez que el número e aparece en sí mismo es en 1690. En ese año, Leibniz escribió una carta a Huygens y en esto usa la notación b para lo que hoy llamamos e . Por fin el número e tenía nombre (aunque no su presente) y se reconoció. Ahora, el lector podría preguntarse, no sin razón, ¿por qué no hemos empezado nuestro artículo sobre la historia del correo en el punto en el que hace su primera aparición. La razón es que, aunque el trabajo que hemos descrito anteriormente nunca logró identificar e , una vez que se identificó el número y luego se dieron cuenta poco a poco que este trabajo anterior es relevante. Retrospectivamente, los primeros desarrollos en el logaritmo se convirtieron en parte de la comprensión del número e .

Ya hemos mencionado los problemas que surgen del hecho de que el registro no fue pensado como una función. Sería justo decir que Johann Bernoulli comenzó el estudio del cálculo de la función exponencial en 1697 cuando publicó Principia exponentialium cálculos seu percurrentium. El trabajo consiste en el cálculo de varias series exponenciales y muchos resultados se logran con plazo al término integración.

Gran parte de nuestra notación matemática se debe a Euler que va a ser una sorpresa al descubrir que la notación e para este número se debe a él. La afirmación de que a veces se ha hecho, sin embargo, queEuler usó la letra e porque era la primera letra de su nombre es ridículo. Probablemente no es aún el caso de que el correo proviene de "exponencial", pero es posible que sólo sea el próximo vocal después de "a" y Euler ya estaba usando la notación "a" en su obra. Cualquiera sea la razón, la notación e hizo su primera aparición en una carta Euler escribió a Goldbach en 1731. Él hizo varios descubrimientos respecto a e en los años siguientes, pero no fue hasta 1748 cuando Euler publicó Introductio in analysin infinitorum , que ha dado un tratamiento completo de las ideas que rodean e . Demostró que

e = 1 + ¹ / _1! + ¹ / _2! + ¹ / _3! + ...

y que e es el límite de (1 + ¹ / _n ) ⁿ como n tiende a infinito. Euler dio una aproximación para el correo a 18 cifras decimales,

e = 2,718281828459045235

sin decir de dónde salió. Es probable que se calcula el valor de sí mismo, pero si es así no hay ninguna indicación de cómo se hizo esto. De hecho tomando unos 20 términos de 1 + ¹ / _1! + ¹ / _2! + ¹ / _3! ... + permite obtener la precisión que Euler dio. Entre otros resultados interesantes en este trabajo es la relación entre las funciones seno y coseno y la función exponencial compleja, lo cual Euler dedujo usandoMoivre fórmula 's.

Curiosamente Euler dio también la continua expansión fracción de correo y observó un patrón en la expansión. En particular, se dio

y

Euler no dio una prueba de que los patrones de vio seguir (que lo hacen), pero él sabía que si se les dio tal prueba sería probar que e es irracional. Porque, si la fracción continua para ( e - 1) / 2 siguiera el patrón mostrado en los primeros términos, 6, 10, 14, 18, ​​22, 26, ... (añadir 4 cada vez) entonces será nunca terminar así ( e - 1) / 2 (y así e ) no puede ser racional. Uno podría ver esto como el primer intento de probar que e no es racional.

La misma pasión que llevó a la gente a calcular a más y más decimales de π nunca parecía afianzarse en la misma forma por correo . Hubo quien hizo el cálculo de su expansión decimal, sin embargo, y el primero en hacerle correo a un gran número de lugares decimales fue Shanks en 1854. Vale la pena señalar que Shanks era una calculadora aún más entusiasta de la expansión decimal de π. Glaisher mostró que los primeros 137 lugares de Shanks cálculos de correo eran correctas pero encontró un error que, después de la corrección por Shanks , dio e con 205 lugares. De hecho se necesita alrededor de 120 términos de 1 + ¹ / _1! + ¹ / _2! + ¹ / _3! + ... para obtener e correcto para 200 lugares.

En 1864 Benjamin Peirce tenía su imagen tomada de pie delante de una pizarra en la que había escrito la fórmula i ^{- i} = √ ( e ^π ). En sus conferencias, decía a sus alumnos: -

Señores, no tienen la menor idea de lo que significa esta ecuación, pero podemos estar seguros de que significa algo muy importante.

La mayoría de la gente acepta Euler como el primero en probar que e es irracional. Sin duda fue Hermite quien probó que e no es un número algebraico en 1873. Sigue siendo una cuestión abierta si e ^e es algebraico, aunque por supuesto todo lo que falta es una prueba - ningún matemático podría creer seriamente que e ^e es algebraico! Por lo que sabemos, el más cercano que los matemáticos han llegado a probar esto es un resultado reciente que al menos uno de correo ^electrónico y de correo a la potencia e ² es trascendental.

Otros cálculos de las expansiones decimales seguidos. En 1884 Boorman calculó e con 346 lugares y encontró que su cálculo de acuerdo con la de Shanks en cuanto a lugar 187, pero luego se convirtió diferente. En 1887 Adams calcula el logaritmo de correo a la base 10 a 272 lugares.