Натуральные числа возникли в глубокой древности как результат счета различных предметов: людей, животных, птиц, деревьев, орудий труда и т.д. Ряд натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, …

является бесконечным и называется натуральным рядом.

Натуральные - те, которыми можно посчитать поголовье.

Целые числа – это натуральные числа и ноль:

0, 1, 2, 3, 4, 5, … .

Бред какой. Само слово "сложение", указывает на то, что нечто куда-то складывается. К примеру, складываем камни в кучу. И тогда становится понятно, что безразлично, притащим мы сначала 11 камней, а потом 6, или наоборот: сперва 6, а после 11 - куча будет точно такой же: из 17 камней.

Вычитание является действием, обратным к сложению, так как это операция нахождения одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Вычесть из одного числа (уменьшаемого) другое (вычитаемое) - значит найти такое третье число (разность), которое при сложении с вычитаемым дает уменьшаемое: 17 – 6 = 11. Здесь 17 – уменьшаемое, 6 – вычитаемое, 11 – разность.

Уносим камни из кучи. Заметим, что утащив 6, оставим в куче 11, и наоборот, утащив 11, оставим 6.

Умножение. Умножить одно число n (множимое) на другое целое число m (множитель) - значит повторить множимое n в качестве слагаемого m раз. Результат умножения называется произведением.

Одно и то же число берется много раз - умножается. К примеру, выражение 5 х 3 означает, что число 5 берется 3 раза. А 3 х 5 - что число 3 берется 5 раз.

Запись операции умножения: n x m или n ∙ m . Например, 12 x 4 = 12 + 12 + 12 + 12 = 48. Таким образом, 12 x 4 = 48 или 12 ∙ 4 = 48. Здесь 12 – множимое, 4 – множитель, 48 – произведение. Если множимое n и множитель m поменять местами, то произведение не изменится. Например, 12 · 4 = 12 + 12 + 12 + 12 = 48 и соответственно, 4 · 12 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 48. Поэтому множимое и множитель часто называются сомножителями.

Представим, что мы сложили камни не кучкой, а рядами и колоннами:

Можно, конечно, пересчитать поочередно, но мы не будем столь тупы, и просто посчитаем количество камней в одном ряду. Если смотреть спереди (снизу на картинке), видно, что в ряду 12 камней. Умножив 12 на количество рядов - 4, получим сумму: 48 штук.

Зайдя сбоку (справа на картинке) мы видим, что в каждом ряду перед нами 4 камня, зато рядов 12. Но это одна и та же группа камней. И поэтому, умножая 4 на 12, получим такой же итог: 48 камней. Теперь понятно, почему от перемены мест множителей произведение не меняется?

Деление является действием, обратным к умножению, так как это операция нахождения одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю: Разделить одно число (делимое) на другое (делитель) – значит найти такое третье число (частное), которое при умножении на делитель даёт делимое: 48 : 4 = 12. Здесь 48 – делимое, 4 – делитель, 12 – частное.

Разделив общее количество камней на их количество в одном ряду, узнаем сколько рядов.

И наоборот, разделив на количество рядов, узнаем, сколько камней в одном ряду.

Частное от деления одного целого числа на другое целое число может и не быть целым числом. Тогда это частное представляется в виде дроби. Если частное – целое число, то говорят, что эти числа делятся нацело. В противном случае мы выполняем деление с остатком. Пример: 23 не делится на 4, в этом случае мы можем записать: 23 = 5 · 4 + 3. Здесь 3 – остаток.

Представьте, что у нас 3 полных ряда камней по 12 штук, и один неполный. Этот неполный и есть остаток - 11 штук: 47 = 3 · 12 + 11. Это если смотреть снизу.

Если же сбоку, получится 47 = 11 · 4 + 3. Одиннадцать рядов по четыре камня и три в остатке.

Другой пример: нам необходимо распилить 10 метровую доску на несколько трехметровых. Отпилив три доски по три метра, увидим, что остался один метр доски - тот самый "остаток": 10 м = 3 м + 3 м + 3 м + 1 м. Или: 10 = 3*3 + 1.

Возведение в степень. Возвести число (основание степени) в целую степень (показатель степени) – значит повторить его сомножителем столько раз, каков показатель степени. Результат называется степенью. Запись возведения в степень:

3 ⁵ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243 .

Здесь 3 – основание степени, 5 – показатель степени, 243 – степень.

Вторая степень любого числа называется квадратом, третья – кубом. Первой степенью любого числа является само это число.

Возведение в степень - это умножение числа на себя же. Сколько раз число умножается на себя, такова и степень числа. Если бы наши любимые камни лежали "квадратом", узнать их количество можно было бы просто возведя в квадрат (т.е., умножив на себя) количество камней в ряду (левый и центральный рисунки): 3^2 = 3*3 = 9, 5^2 = 5*5 = 25.

Извлечение корня является действием, обратным к возведению в степень, так как это операция нахождения основания степени по степени и её показателю. Извлечь корень n-ой степени (n – показатель корня) из числа a (подкоренное число) – значит найти третье число, n-ая степень которого равна а . Результат называется корнем. Например:

В общем, зная количество камней, уложенных квадратом (или кубом), требуется найти их количество в ряду (в одной грани).

Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня являются попарно взаимно-обратными операциями.

Именно такой "обратной" операцией проверяется, правильно ли найден корень: предполагаемый корень возводят в степень. К примеру, мы хотим найти корень числа 81. Для этого мы находим число, которое при возведении в квадрат, дает 81. Из таблицы умножения нам известно, что такое число 9 (и минус 9). Это и есть корни квадратные из 81.

Если необходимо найти корень кубический (третьей степени) из 27, подбираем число, которое при умножении на себя три раза, даст 27. Путем проб и ошибок, находим искомое: 3*3*3 = 27.

Ну и любимый ряд айтишников - степень двойки:

2^2 = 4

2^3 = 8

2^4 = 16

2^5 = 32

2^6 = 64

Соответственно, два является квадратным корнем из 4, кубическим корнем из 8, корнем четвертой степени из 16, пятой - из 32, шестой из 32 и т.д.

Порядок действий. Скобки.

Результат выполнения нескольких операций зависит, вообще говоря, от порядка действий. Например, 8 – 3 + 4 = 9. Однако, если сначала сложить 3 и 4, а затем вычесть полученную сумму из 8, то получим 1. Таким образом, для получения правильного результата должен быть установлен определённый порядок действий. Чтобы указать, в каком порядке должны выполняться действия,пользуются скобками. Если скобки отсутствуют, действия выполняются в следующем порядке:

1) возведение в степень и извлечение корня (в порядке их следования);

2) умножение и деление (в порядке их следования);

3) сложение и вычитание (в порядке их следования).

При наличии скобок сначала выполняются действия в скобках в указанном выше порядке, а затем все остальные действия вне скобок опять же с соблюдением указанного выше порядка.

П р и м е р . Вычислить выражение:

( 10 + 2 ³ · 3 ) + 4 ³ – ( 16 : 2 – 1 ) · 5 – 150 : 5 ² .

Р е ш е н и е . Сначала выполняем действия в скобках в следующем порядке:

1) вычисляем степень:

( 10 + 8 · 3 ) + 4 ³ – ( 16 : 2 – 1 ) · 5 – 150 : 25 ;

2) после этого выполняем умножение и деление в скобках:

( 10 + 24 ) + 4 ³ – ( 8 – 1 ) · 5 – 150 : 25 ;

3) теперь выполняем сложение и вычитание в скобках:

34 + 4 ³ – 7 · 5 – 150 : 25 ;

4) вычисляем степень вне скобок: 4 ³ = 64 ;

5) наконец, после оставшихся умножения 7 · 5 = 35 и деления 150 : 25 = 6 получаем:

34 + 64 - 35 – 6 = 57.

Законы сложения и умножения

Переместительный (коммутативный) закон сложения: m + n = n + m . Сумма не меняется от перестановки её слагаемых.

Сочетательный (ассоциативный) закон сложения: ( m + n ) + k = m + ( n + k ) = m + n + k . Сумма не зависит от группировки её слагаемых.

Выше рассматривали - неважно в каком именно порядке валить камни в кучу.

Переместительный (коммутативный) закон умножения: m · n = n · m . Произведение не меняется от перестановки его сомножителей.

Аналогично: неважно колонки умножать на ряды или наоборот.

Сочетательный (ассоциативный) закон умножения: ( m · n ) · k = m · ( n · k ) = m · n · k . Произведение не зависит от группировки его сомножителей.

По сути то же самое. Как при подсчете кирпичей неважно в каком порядке перемножать высоту, ширину и длину кирпичной кладки.

Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения: ( m + n ) · k = m · k + n · k . Этот закон фактически расширяет правила действий со скобками.

Этот закон рассмотрим:

В принципе, по рисунку все понятно. Мы можем сложить количество белых и черных камней в ряду 3 + 4 = 7, и умножить полученную семерку на количество камней в колонне - на 5. Получим 35. А можем по отдельности посчитать белые и черные камни: 3*5 + 4*5 = 35. О чем и говорится в вышеприведенном законе ( m + n ) · k = m · k + n · k. Применительно к нашему примеру:

( 3 + 4 ) * 5 = 3 * 5 + 4 * 5.

Почему-то пропущено правило: при раскрытии скобок, перед которыми стоит минус, числа, выносимые из скобок, меняют знак:

А - (В+ С) = А - В - С. В скобках мы складываем B и C, и полученную сумму вычитаем из A. Раскрыв же скобки, мы вычитаем В и С из А поочередно. 10 - (5 +3) = 10 - 5 - 3 = 2.

А - (В - С) = А - В + С. В первом случае мы вычитаем из А В, уменьшенное на С. Во втором - вычитаем из А не уменьшенное С, а затем "компенсируем" разницу прибавлением В. 10 - (5 - 3) = 10 - 5 + 3 = 8.

Меняя знак при раскрытии скобок (а равно при переносе на противоположную сторону уравнения), необходимо помнить, что отсутствие знака перед цифрой, означает наличие у нее знака "плюс", как у 5 в примерах выше и ниже. Такая ошибка часто встречается.

5 + х = 10

х = 10 - 5.

Еще об уравнениях - с картинками - на странице "словарь".

Признаки делимости

Признаки делимости на 2, 4, 8, 3, 9, 6, 5, 25, 10, 100, 1000, 11.

Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра - ноль или делится на 2. Числа, делящиеся на два, называются чётными, не делящиеся на два – нечётными.

Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 4.

Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

Признаки делимости на 3 и 9. Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра - ноль или 5.

Признак делимости на 25. Число делится на 25, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 25.

Признак делимости на 10. Число делится на 10, если его последняя цифра - ноль.

Признак делимости на 100. Число делится на 100, если две его последние цифры – нули.

Признак делимости на 1000. Число делится на 1000, если три его последние цифры – нули.

Признак делимости на 11. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Существуют признаки делимости и для некоторых других чисел, однако они более сложные и в программе средней школы не рассматриваются.

П р и м е р . Число 378015 делится на 3, так как сумма его цифр равна:

3 + 7 + 8 + 0 + 1 + 5 = 24, а это число делится на 3. Данное

число делится на 5, так как его последняя цифра 5. Наконец,

это число делится на 11, так как суммы его нечётных цифр:

3 + 8 + 1 = 12 и чётных цифр 7 + 0 + 5 = 12 равны.

Но это число не делится на 2, 4, 6, 8, 9, 10, 25, 100 и 1000, так как …

А вот эти случаи вы проверите самостоятельно!

Простые и составные числа

Все целые числа (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами. Числа, имеющие другие делители, называются составными (или сложными) числами. Простых чисел – бесконечное множество. Ниже приведены простые числа, не превосходящие 200:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Простые числа в интервале 0...100 вы можете вспомнить сами: это цифры, которых нет в таблице умножения.

Разложение на простые множители

Всякое составное число может быть единственным образом представлено в виде произведения простых множителей. Например,

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 225 = 3 · 3 · 5 · 5, 1050 = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .

Для небольших чисел это разложение легко делается на основе таблицы умножения. Для больших чисел рекомендуем пользоваться следующим способом, который рассмотрим на конкретном примере. Разложим на простые множители число 1463. Для этого воспользуемся таблицей простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Перебираем числа по этой таблице и останавливаемся на том числе, которое является делителем данного числа. В нашем примере это 7. Делим 1463 на 7 и получаем 209. Теперь повторяем процесс перебора простых чисел для 209 и останавливаемся на числе 11, которое является его делителем (см. "Признаки делимости"). Делим 209 на 11 и получаем 19, которое в соответствии с этой же таблицей является простым числом. Таким образом, имеем: 1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19, т.е. простыми делителями числа 1463 являются 7, 11 и 19. Описанный процесс можно записать следующим образом:

Делимое Делитель

----------------------------

1463 7

209 11

19 19

----------------------------

Наибольший общий делитель

Общий делитель. Наибольший общий делитель.

Общим делителем нескольких чисел называется число, которое является делителем каждого из них. Например, числа 36, 60, 42 имеют общие делители 2, 3 и 6. Среди всех общих делителей всегда есть наибольший, в данном случае это 6. Это и есть наибольший общий делитель (НОД).

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел надо:

1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 ,

2) записать степени всех простых множителей:

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2³ · 3² · 5¹,

3) выписать все общие делители (множители) этих чисел;

4) выбрать наименьшую степень каждого из них, встретившуюся во всех произведениях;

5) перемножить эти степени.

П р и м е р . Найти НОД чисел: 168, 180 и 3024.

Р е ш е н и е . 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 2³ · 3¹ · 7¹ ,

180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2² · 3² · 5¹ ,

3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 2⁴ · 3³ · 7¹ .

Выпишем наименьшие степени общих делителей 2 и 3

и перемножим их:

НОД = 2² · 3¹ = 12 .

Даже не знаю что и сказать.

Наименьшее общее кратное

Общее кратное. Наименьшее общее кратное.

Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например, числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное 180. Но 90 и 360 – тоже их общие кратные. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК).

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел надо:

1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,

2) записать степени всех простых множителей:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 2³ · 3² · 7¹,

3) выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;

4) выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;

5) перемножить эти степени.

П р и м е р . Найти НОК чисел: 168, 180 и 3024.

Р е ш е н и е . 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 2³ · 3¹ · 7¹ ,

180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2² · 3² · 5¹ ,

3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 2⁴ · 3³ · 7¹ .

Выписываем наибольшие степени всех простых делителей

и перемножаем их:

НОК = 2⁴ · 3³ · 5¹ · 7¹ = 15120 .

Обыкновенные (простые) дроби

Обыкновенная (простая) дробь. Числитель и знаменатель дроби.

Правильная и неправильная дробь. Смешанное число.

Неполное частное. Целая и дробная часть. Обратные дроби.

Часть единицы или несколько её частей называются обыкновенной или простой дробью. Количество равных частей, на которые делится единица, называется знаменателем, а количество взятых частей – числителем. Дробь записывается в виде:

Здесь 3 – числитель, 7 – знаменатель.

Дробь - это нечто раздробленное на части. На сколько частей раздроблено это нечто, показывает знаменатель (делитель). А сколько именно таких частей - показывает числитель. Понятно, что любой предмет (или число) можно разделить на любое количество долей:

Целый круг - это 1/1 = 1. Одна доля (половина) круга 2 будет обозначаться 1/2. Круг 3 поделен на 4 части. Стало быть одна доля круга - 1/4, две доли этого же круга - 2/4, три доли - 3/4. Соответственно, беря доли круга 4, получим 1/8, 2/8, 3/8 и так далее.

Или на примере Лего:

Если числитель меньше знаменателя, то дробь меньше 1 и называется правильной дробью. Если числитель равен знаменателю, то дробь равна 1. Если числитель больше знаменателя, то дробь больше 1. В обоих последних случаях дробь называется неправильной.

Если числитель больше знаменателя, значит, имеется один (или больше) целый предмет и несколько его долей. К примеру, дробь 3/2 означает, один целый круг с верхнего рисунка и еще половинку. 1/2 - это же половинка круга? Значит 3/2 - это три половинки круга. Из двух половинок можно сложить один целый круг и еще половинка останется. То есть, 3/2 = 1 + 1/2.

Если числитель делится на знаменатель, то эта дробь равна частному от деления: 63 / 7 = 9.

Если мы возьмем 9 кругов, каждый из которых нарезан на 7 частей (секторов), в нашем распоряжении будет 63 сектора. Которые, тем не менее, остаются теми самыми 9 целыми кругами. Заметим, что дробь, по сути, показывает операцию деления верхнего числа на нижнее. Сам значок дроби / часто используют в примерах для обозначения деления вместо двоеточия: 63 : 7 = 63/7.

Если деление выполняется с остатком, то эта неправильная дробь может быть представлена смешанным числом:

Здесь 9 – неполное частное (целая часть смешанного числа), 2 – остаток (числитель дробной части), 7 – знаменатель.

В данном примере мы имеем 65 секторов, и размер каждого сектора равен 1/7 (одной седьмой доле) круга, как и в примере выше. Понятно, что из 63 секторов мы сложим 9 кругов (63 / 7 = 9), а два сектора (две седьмые доли круга) останутся лишними: 65 / 7 = 9 + 2/7.

Часто бывает необходимо решать обратную задачу – обратить смешанное число в дробь. Для этого умножаем целую часть смешанного числа на знаменатель и прибавляем числитель дробной части. Это будет числитель обыкновенной дроби, а знаменатель остаётся прежним.

Есть 8 целых кругов и 5 секторов. Каждый сектор - одна девятая доля (1/9) круга. Нам же надо привести все в единый вид. Для этого все целые круги режем на сектора такого же размера, как и имеющиеся. То есть, каждый круг делим на 9 частей. У нас получится 8 * 9 = 72 сектора. К ним прибавим те 5 секторов, что уже были: 72 + 5 = 77. Итого, у нас имеется 77 секторов, одинакового размера: 77/9.

Обратные дроби – это две дроби, произведение которых равно 1. Например, 3 / 7 и 7 / 3 ; 15 / 1 и 1 / 15 и т.д.

А это вообще интересная вещь. Лучше говорить не об обратных дробях, а об обратный числах - дробь же, по сути - число, пусть не обязательно целое. Обратные числа - это такие числа, при умножении которых друг на друга получается единица. К примеру, 2 * 0,5 = 1. Или 100 * 0,01 = 1. Самое забавное - каким бы не было число (при условии, что оно больше единицы), его обратное число будет лежать в интервале от нуля до единицы. То есть, любое число имеет "зеркальное" отображение - антипод в этом маленьком промежутке. Проверьте сами. Напрашивающйся вывод: вместо умножения на число, можно разделить на его обратное число и наоборот, вместо деления, умножить на его антипод. Само же умножение дробей разберем ниже.

Действия с обыкновенными дробями

Расширение дроби. Сокращение дроби. Сравнение дробей.

Приведение к общему знаменателю. Сложение и вычитание дробей.

Умножение дробей. Деление дробей.

Расширение дроби. Значение дроби не меняется, если умножить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля. Это преобразование называется расширением дроби. Например,

Как уже упоминалось, дробь - это по сути операция деления числителя на знаменатель. И результат деления равен какому-то конкретному числу. Умножив это число на любое другое (на 7 в первом примере), а потом разделив на ту же семерку, мы, разумеется, получим исходное число, на что и указывает знак равенства между исходной и полученной дробью. Х * 7 :7 = Х.

Или можно рассуждать графически, взяв наши любимые круги:

От того, что мы нашинкуем круг на более мелкие сектора, общая доля круга не изменится. Каждый сектор станет меньше, зато таких секторов станет во столько же раз больше.

Сокращение дроби. Значение дроби не меняется, если разделить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля. Это преобразование называется сокращением дроби. Например,

В принципе, это та же операция, что и нарисованная выше, только выполненная в обратную сторону - сектора укрупняются (объединяются), зато их количество уменьшается во столько же раз: 8/12 = 2/3.

Сравнение дробей. Из двух дробей с одинаковыми числителями та больше, знаменатель которой меньше:

Обратившись к кругам, поймем почему: одна пятая часть больше одной седьмой. Соответственно, три пятые больше трех седьмых:

Еще нагляднее пример с палкой, поделенной на равные части:

сразу видно, что чем больше знаменатель (при одинаковом числителе), тем меньше дробь. Если 1/2 это половина палки, то 1/4 - одна четверть палки. Видно, что четверть меньше половины.

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та больше, числитель которой больше:

Тут вообще вопросов возникать не должно: сектора одинаковые. Поэтому три сектора больше двух, а пять меньше семи (какого бы размера не были сектора).

Ну или на примере палки (смотрим нижнюю): понятно, что одна четверть палки (1/4) меньше, чем две четверти (2/4) - два отрезка палки больше чем один. Еще больше - три отрезка той же самой палки (3/4), разделенной на четыре части. Ну а 4/4 этой палки составляют целую палку, то есть равно единице. Получается, что дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна 1:

2/2 =1, и 3/3 = 1, и 4/4 = 1 и т.д.

Для сравнения дробей, у которых числители и знаменатели различны, необходимо расширить их, чтобы привести к общему знаменателю.

П р и м е р . Сравнить две дроби:

Использованное здесь преобразование называется приведением дробей к общему знаменателю.

Представьте две коробки. В одной осталось две дольки пиццы, изначально разрезанной на три части. Во второй - семь долек другой пиццы, разделенной на 10 частей. Чтобы понять, где еды больше, надо сделать так, чтобы дольки были одинаковыми - нарезать на одинаковые сектора, иначе сравнивать проблематично.

Каждую дольку первой пиццы нашинкуем на 10 частей - получатся сектора размером 1/30 круга. Каждую долю второй разрежем на три части. Получится сектора точно такого же размера. Теперь можно сравнивать. В первой коробке оказалось 2 * 10 = 20 секторов, в второй 7 * 3 = 21 сектор. Понятно, что 21 сектор больше, чем 20 такого же размера. Напомню, сектора обеих пицц одинаковые - 1/30 круга.

На примере палки:

Чтобы сравнить длину одной доли (или нескольких долей) верхней и нижней палок, мы каждую долю верхней палки делим пополам. То есть, приводим ее в такой же вид, как и нижняя. После этого сравнивать легко: длинны долей одинаковы.

Сложение и вычитание дробей. Если знаменатели дробей одинаковы, то для того, чтобы сложить дроби, надо сложить их числители, а для того, чтобы вычесть дроби, надо вычесть их числители (в том же порядке). Полученная сумма или разность будет числителем результата; знаменатель останется тем же.

Складываем или вычитаем одинаковые доли-сектора - все элементарно:

2/5 + 2/5 = 4/5.

3/8 + 4/8 = 7/8.

Если знаменатели дробей различны, необходимо сначала привести дроби к общему знаменателю.

Как это сделать, разбирали на примере пиццы и палки. Но не обязательно каждый раз умножать одну дробь на знаменатель второй дроби, как в том примере:

2/3 * 10/10 = 20/30 и 7/10 * 3/3 = 21/30.

Достаточно найти число, которое делится на оба знаменателя. Иначе говоря, привести дроби к единому знаменателю. Это означает, что в результате, у обеих дробей должны оказаться одинаковые знаменатели. Только в этом случае мы сможем сравнивать, складывать или вычитать одинаковые дроби - "сектора".

К примеру, чтобы сравнить 2/3 и 3/6, мы умножаем первую дробь на 2/2:

2/3 * 2/2 = 4/6. Заметим, что такое преобразование не изменило изначальную дробь, так как фактически мы умножили ее на единицу (2/2 = 1). Изменился только вид. Теперь можно полученную дробь 4/6 сравнить с 3/6. Понятно, что первая больше. Или можем сложить их: 4/6 + 3/6 = 7/6. В полученной дроби числитель больше знаменателя (дробь "неправильная"). Можем преобразовать ее в правильную:

7/6 = 6/6 + 1/6 = 1 + 1/6. Итог: одна целая, одна шестая.

Другие примеры нахождения общего знаменателя:

4/8 + 3/6. Наименьший общий множитель для обоих знаменателей (для 8 и 6) - это 24, так как именно 24 делится и на 8 и на 6. Значит, необходимо сделать так, чтобы знаменателями обеих дробей стало число 24. Для этого первую дробь умножаем на 3/3, вторую - на 4/4:

4/8 * 3/3 + 3/6 * 4/4 = 12/24 + 9/24 = 21/24.

2/3 + 4/6 = 2/3 + 2/3 = 4/3.

В этом примере мы не умножаем, а сокращаем вторую дробь (см. выше) - делим числитель и знаменатель на одну и ту же цифру, на 2. То есть, делим дробь на 2/2, по сути, делим ее на единицу. Но дробь от этого не меняется, меняется только ее вид.

При сложении смешанных чисел их целые и дробные части складываются отдельно.

Целые круги можно сложить отдельно, доли, приведя к общему знаменателю, отдельно. Иногда при этом из долей складываются дополнительные целые круги - если их сумма больше единицы.

При вычитании смешанных чисел мы рекомендуем сначала преобразовать их к виду неправильных дробей, затем вычесть из одной другую, а после этого вновь привести результат, если требуется, к виду смешанного числа.

П р и м е р .

Умножение дробей. Умножить некоторое число на дробь означает умножить его на числитель и разделить произведение на знаменатель.

Мы помним: дробь - это деление. Поэтому, выражение ниже, можно записать в виде: (2 :7) * (5 : 9).

Следовательно, мы имеем общее правило умножения дробей: для перемножения дробей необходимо перемножить отдельно их числители и знаменатели и разделить первое произведение на второе.

П р и м е р .

Деление дробей. Для того, чтобы разделить некоторое число на дробь, необходимо умножить это число на обратную дробь. Это правило вытекает из определения деления (см. раздел "Арифметические операции").

..а также из написанного выше об обратных числах. То есть, вместо деления умножаем на "перевернутую" дробь.

П р и м е р .

Десятичные дроби

Десятичная дробь. Целая часть. Десятичная точка.

Десятичные знаки. Свойства десятичных дробей.

Периодическая десятичная дробь. Период.

Десятичная дробь есть результат деления единицы на десять, сто, тысячу и т.д. частей.

Это точно такая же дробь как и разобранные выше, но со знаменателем, кратным 10: 1/10, 1/100, 1/1000 и т.д.

Эти дроби очень удобны для вычислений, так как они основаны на той же позиционной системе, на которой построены счёт и запись целых чисел. Благодаря этому запись и правила действий с десятичными дробями фактически те же, что и для целых чисел. При записи десятичных дробей нет необходимости отмечать знаменатель, это определяется местом, которое занимает соответствующая цифра. Сначала пишется целая часть числа, затем справа ставится десятичная точка. Первая цифра после десятичной точки означает число десятых, вторая – число сотых, третья – число тысячных и т.д. Цифры, расположенные после десятичной точки, называются десятичными знаками.

П р и м е р .

Одно из преимуществ десятичных дробей – они легко приводятся к виду обыкновенных: число после десятичной точки (в нашем случае 5047) – это числитель; знаменатель же равен n–ой степени 10, где n - количество десятичных знаков (в нашем случае n = 4):

Если десятичная дробь не содержит целой части, то перед десятичной точкой ставится ноль:

Свойства десятичных дробей.

1. Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули:

13.6 =13.6000.

2. Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные

в конце десятичной дроби:

0.00123000 = 0.00123 .

Внимание! Нельзя удалять нули, расположенные не в конце десятичной дроби!

Эти свойства позволяют быстро умножать и делить десятичные дроби на 10, 100, 1000 и т.д.

Периодическая десятичная дробь содержит бесконечно повторяющуюся группу цифр, называемую периодом. Период записывается в скобках. Например, 0.12345123451234512345… = 0.(12345).

П р и м е р . Если разделить 47 на 11, то получим 4.27272727… = 4.(27).

Действия с десятичными дробями

Сложение и вычитание десятичных дробей.

Умножение десятичных дробей.

Деление десятичных дробей.

Сложение и вычитание десятичных дробей. Эти операции выполняются так же, как и сложение и вычитание целых чисел. Необходимо только записать соответствующие десятичные знаки один под другим.

Записывать следует таким образом, чтобы цифры одинакового разряда оказались друг под другом - единицы под единицами, десятки под десятками и т.д.

П р и м е р .

Умножение десятичных дробей. На первом этапе перемножаем десятичные дроби как целые числа, не принимая во внимание десятичную точку. Затем применяется следующее правило: количество десятичных знаков в произведении равно сумме десятичных знаков во всех сомножителях.

Замечание: до простановки десятичной точки в произведении нельзя отбрасывать нули в конце!

П р и м е р .

Сумма чисел десятичных знаков в сомножителях равна: 3 + 4 = 7. Сумма цифр в произведении равна 6. Поэтому необходимо добавить один ноль слева: 0197056 и проставить перед ним десятичную точку: 0.0197056.

Деление десятичных дробей

Деление десятичной дроби на целое число

Если делимое меньше делителя,

то есть, результат меньше единицы,

записываем ноль в целой части частного и ставим после него десятичную точку. Затем, не принимая во внимание десятичную точку делимого, присоединяем к его целой части следующую цифру дробной части и опять сравниваем полученную целую часть делимого с делителем. Если новое число опять меньше делителя, ставим ещё один ноль после десятичной точки в частном и присоединяем к целой части делимого следующую цифру его дробной части. Этот процесс повторяем до тех пор, пока полученное делимое не станет больше делителя. После этого деление выполняется, как для целых чисел. Если делимое больше делителя или равно ему, сначала делим его целую часть, записываем результат деления в частном и ставим десятичную точку. После этого деление продолжается, как в случае целых чисел.

П р и м е р . Разделить 1.328 на 64.

Р е ш е н и е :

Деление одной десятичной дроби на другую.

Сначала переносим десятичные точки в делимом и делителе на число десятичных знаков в делителе, то есть делаем делитель целым числом.

Увеличиваем и делимое и делитель в одинаковое количество раз до тех пор, пока в делителе не останется знаков правее запятой. В приведенном ниже примере, умножаем на 10 000, просто двигая запятую на 4 положения.

Теперь выполняем деление, как в предыдущем случае.

П р и м е р . Разделить 0.04569 на 0.0006.

Р е ш е н и е. Переносим десятичные точки на 4 позиции вправо и делим 456.9 на 6:

Перенос точки и в делимом и в делителе на одинаковое число разрядов (в любую сторону) означает, что результат будет таким же, как и до переноса. Мы просто умножаем делимое и делитель на одно и то же число. А значит, умножаем, на единицу:

х/у = х*1000/у*1000 = х /у * 1000/1000 = х/у*1 = х/у. Или:

х/у = х*0,001/у*0,001 = х /у * 0,001/0,001 = х/у*1 = х/у.

Обращение десятичной дроби в обыкновенную и обратно

Для того, чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, надо в качестве числителя взять число, стоящее после десятичной точки, а в качестве знаменателя взять n-ую степень десяти ( здесь n – количество десятичных знаков ). Отличная от нуля целая часть сохраняется в обыкновенной дроби; нулевая целая часть опускается. Например:

В общем, в числитель пишем все цифры после запятой, в знаменатель - ближайшее к нему сверху "круглое" число, такое, в котором нулей столько же, сколько цифр оказалось в числителе. То есть, пишем единицу и столько же нулей, сколько цифр наверху.

Для того, чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, надо разделить числитель на знаменатель в соответствии с правилами деления.

П р и м е р . Обратить 5 / 8 в десятичную дробь.

Р е ш е н и е . Деля 5 на 8, получаем 0.625.

В большинстве случаев этот процесс может продолжаться бесконечно. Тогда невозможно точно обратить обыкновенную дробь в десятичную. Но на практике это никогда и не требуется. Деление прерывается, если представляющие интерес десятичные знаки уже получены.

П р и м е р . Обратить 1 / 3 в десятичную дробь.

Р е ш е н и е . Деление 1 на 3 будет бесконечным: 1:3 = 0.3333… .

Мы помним, как это записать, да? 0,(3). Читается: ноль целых и три в периоде.

Проценты

Процент – это сотая часть единицы.

Точнее, сотая доля чего-либо. Чего угодно.

Запись 1% означает 0.01. Существует три основных типа задач на проценты:

Р е ш е н и е : 10000 · 6 : 100 = 600 руб.

Для ясности, я записал бы выражение иначе: 10000 : 100 · 6 = 600. Первым действием - делением, мы определяем сколько "весит" один процент: 10000 : 100 = 100. Один процент - 100 руб. Вторым действием умножаем этот процент на 6. 100 · 6 = 600.

Р е ш е н и е : 1500 : 7.5 · 100 = 20000 руб.

Делением 1500 на 7,5 выясняется размер одного процента - 200 руб. Затем, один процент умножается на сто.

Р е ш е н и е : 36000 : 40000 · 100 = 90% .

Это выражение является упрощенным вариантом длинного пути: 40 000 : 100 = 40 (это один процент). Затем 36 000 делится на "вес" одного процента - на 40:

36 000 : 40 = 90 %.

Т.е., 36 000 : (40 000 : 100) = 36 000 : 40 000· 100 = 90% .

Отношение и пропорция. Пропорциональность

Отношение. Пропорция. Основное свойство пропорции.

Пропорциональные величины. Коэффициент пропорциональности.

Отношение – это частное от деления одного числа на другое.

Пропорция – это равенство двух отношений. Например,

12 : 20 = 3 : 5; a : b = c : d .

Крайние члены пропорции: 12 и 5 в первой пропорции; a и d – во второй.

Средние члены пропорции: 20 и 3 в первой пропорции; b и с – во второй.

Основное свойство пропорции: Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних

членов.

Логика простая. Ведь что означает равенство двух отношений (соотношений)? Это означает, что результат деления 12/20 равен результату деления 3/5. Или - что 12 во столько же раз меньше 20, во сколько раз 3 меньше 5. А раз так, перекрестно умножая 12 на 5 и 20 на 3, мы получаем равенство.

Можно доказать иначе. Так как выражение A/B = C/D суть уравнение (уравновешенные весы), мы можем с обеими половинами уравнения проделывать любые одинаковые операции, не нарушая равенство. Допустим, сначала умножим обе половины на D:

A*D/B = C*D/D. Сократим справа D:

A*D/B = C. Теперь обе половины уравнения (равенства) умножим на B:

A*D*B/B = C*B. Сокращая слева B, получим:

A*D* = C*B. Что и требовалось доказать.

Еще один путь рассуждений. Так как A/B = C/D, значит, обе половины уравнения (оба результата деления) равны одному и тому же числу: A/B = X, и C/D = X. Отсюда следует, что приведя обе половины уравнения к общему знаменателю, мы получим одинаковую дробь и слева и справа. А раз дроби одинаковы, одинаковы и их числители и знаменатели. Ясно, что перемножая их перекрестно, мы получим равенство. Проверим:

12/20 = 3/5. Умножим числитель и знаменатель правой дроби на 4:

12/20 = 3*4/4*4 = 12/20. Ожидаемо, да? 12/20 = 12/20. Перемножим перекрестно числители и знаменатели (или внешние члены с внутренними как в верхнем правиле - не суть):

12*20 = 20*12.

Доказано, что для выражения a : b = c : d произведение крайних членов равно произведению её средних членов? Вполне. Поиск доказательств ценен сам по себе для развития логического мышления.

Две взаимно зависимых величины называются пропорциональными, если отношение их величин сохраняется неизменным.

Это постоянное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности.

Это тот самый X, которому равен результат пропорции - результат деления.