Алгебра

Рациональные числа

Отрицательные числа. Целые отрицательные числа.

Дробные отрицательные числа. Положительные числа.

Рациональные числа.

Отрицательные числа появляются, когда из меньшего числа вычитают большее, например:

10 – 15 = – 5 .

Знак «минус» перед 5 показывает, что это число отрицательное.

Было 10 рублей. Купили некую вещь за 15, одолжив 5 руб. Теперь имеем минус 5 руб., которые позже потребуется вернуть. А можно представить графически, на линейке:

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Были в точке +10, переместились на 15 пунктов влево. Оказались в точке -5.

Ряд целых отрицательных чисел бесконечен:

–1, –2, –3, – 4, –5, ...

Целые числа - это натуральные числа, целые отрицательные числа и ноль:

... , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...

Дробные отрицательные числа появляются, например, когда из меньшего дробного числа вычитают большее:

Можно также сказать, что дробные отрицательные числа появляются в результате деления целого отрицательного числа на натуральное:

Положительные числа ( целые и дробные ) в противоположность отрицательным числам ( целым и дробным )рассматриваются в арифметике.

Рациональные числа – это положительные и отрицательные числа (целые и дробные) и ноль. Более точное определение рациональных чисел, принятое в математике, следующее:

Число называется рациональным, если оно может быть представлено в виде обыкновенной несократимой дроби вида: m / n ,где m и n целые числа.

Действия с отрицательными и положительными числами

Абсолютная величина (модуль). Сложение.

Вычитание. Умножение. Деление.

Абсолютная величина ( модуль ). Для отрицательного числа – это положительное число, получаемое от перемены его знака с « – » на « + »; для положительного числа и нуля – само это число.

Грубо говоря, модуль - это "размер" числа, независимо от знака.

Для обозначения абсолютной величины (модуля) числа используются две прямые черты, внутри которых записывается это число.

П р и м е р ы : | – 5 | = 5, | 7 | = 7, | 0 | = 0.

Сложение:

1) при сложении двух чисел с одинаковыми знаками складываются

их абсолютные величины и перед суммой ставится общий знак.

П р и м е р ы :

( + 6 ) + ( + 5 ) = 11 ;

( – 6 ) + ( – 5 ) = – 11 .

2) при сложении двух чисел с разными знаками их абсолютные

величины вычитаются ( из большей меньшая ) и ставится знак

числа с большей абсолютной величиной.

П р и м е р ы :

( – 6 ) + ( + 9 ) = 3 ;

( – 6 ) + ( + 3 ) = – 3 .

Вычитание. Можно заменить вычитание двух чисел сложением, при этом уменьшаемое сохраняет свой знак, а вычитаемое берётся с обратным знаком.

П р и м е р ы :

( + 8 ) – ( + 5 ) = ( + 8 ) + ( – 5 ) = 3;

( + 8 ) – ( – 5 ) = ( + 8 ) + ( + 5 ) = 13;

( – 8 ) – ( – 5 ) = ( – 8 ) + ( + 5 ) = – 3;

( – 8 ) – ( + 5 ) = ( – 8 ) + ( – 5 ) = – 13;

Умножение. При умножении двух чисел их абсолютные величины умножаются, а произведение принимает знак « + » , если знаки сомножителей одинаковы, и знак « – » , если знаки сомножителей разные.

Полезна следующая схема (правила знаков при умножении):

+ · + = +

+ · – = –

– · + = –

– · – = +

При умножении нескольких чисел ( двух и более ) произведение имеет знак « + » , если число отрицательных сомножителей чётно, и знак « – » , если их число нечётно.

П р и м е р :

Надо просто посчитать количество сомножителей с минусом. Если их количество кратно двум, результат умножения будет положительным. Каждый добавленный отрицательный сомножитель меняет знак результата:

-1 * 1 = -1

-1 * -1 = 1

-1 * -1 *-1 = -1

-1 * -1 *-1 * 1 = -1

Деление. При делении двух чисел абсолютная величина делимого делится на абсолютную величину делителя, а частное принимает знак « + » , если знаки делимого и делителя одинаковы, и знак « – » , если знаки делимого и делителя разные.

Здесь действуют те же правила знаков, что и при умножении:

+ : + = +

+ : – = –

– : + = –

– : – = +

Понятно почему: деление можно заменить умножением на обратное число.

П р и м е р : ( – 12 ) : ( + 4 ) = – 3

Принципиальной разницы между делением и умножением нет. Отсюда понятно, что знак результата умножения и деления нескольких чисел также будет зависеть от того четно или нечетно количество отрицательных сомножителей и делителей (делимых).

Одночлены и многочлены

Одночлен. Коэффициент. Числовой множитель. Подобные одночлены.

Степень одночлена. Сложение одночленов. Приведение подобных членов.

Вынесение за скобки. Умножение одночленов. Деление одночленов.

Многочлен. Степень многочлена. Умножение сумм и многочленов.

Раскрытие скобок.

Одночлен – это произведение двух или нескольких сомножителей, каждый из которых либо число, либо буква, либо степень буквы. Например,

3 a ²b ⁴, b d ³ , – 17 a b c

- одночлены.

Одночлен - произведение. То есть, без сложений - вычитаний.

Единственное число или единственная буква также могут считаться одночленом. Любой множитель в одночлене называется коэффициентом. Часто коэффициентом называют лишь числовой множитель.

В одночлене 3 a ²числовой множитель - тройка.

Одночлены называются подобными, если они одинаковы или отличаются лишь коэффициентами.

8 a ²и3 a ²

12 a b ⁴ и3 a b ⁴.

Поэтому, если два или несколько одночленов имеют одинаковые буквы или их степени, они также подобны.

Степень одночлена – это сумма показателей степеней всех его букв.

Сложение одночленов. Если среди суммы одночленов есть подобные, то сумма может быть приведена к более простому виду:

a x ³ y ² – 5 b ³ x ³ y ² + c ⁵ x ³ y ² = ( a – 5 b ³ + c ⁵ ) x ³ y ² .

Эта операция называется приведением подобных членов. Выполненное здесь действие называется также вынесением за скобки.

Можно рассуждать так: произведение x ³ y ²равно какому-то числу, допустим, z. Заменим в вышеприведенном уравнении x ³ y ² на z:

a x ³ y ² – 5 b ³ x ³ y ² + c ⁵ x ³ y ² = a z – 5 b ³ z + c ⁵ z.

Теперь этот z, пользуясь распределительным законом, можно вынести за скобки:

( a – 5 b ³ + c ⁵ ) z.

Теперь, заменив z обратно на x ³ y ²:

( a – 5 b ³ + c ⁵ ) x ³ y ²

^{То есть, выражением}x ³ y ^{2 мы оперируем как единым (одним) числом.}

Умножение одночленов. Произведение нескольких одночленов можно упростить, если только оно содержит степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. В этом случае показатели степеней складываются, а числовые коэффициенты перемножаются.

П р и м е р :

5 a x ³ z ⁸ ( – 7 a ³ x ³ y ² ) = – 35 a ⁴ x ⁶ y ² z ⁸ .

Здесь тоже никакой засады: независимо от скобок мы перемножаем одинаковые буквы:

5 a x ³ z ⁸ ( – 7 a ³ x ³ y ² ) = 5* (-7) *a*a ³*x ³*x ³*y ²*z ⁸ = – 35 a ⁴ x ⁶ y ² z ⁸ .

Деление одночленов. Частное двух одночленов можно упростить, если делимое и делитель имеют некоторые степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. В этом случае показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого, а числовой коэффициент делимого делится на числовой коэффициент делителя.

П р и м е р :

35 a ⁴ x ³ z ⁹ : 7 a x ² z ⁶ = 5 a ³ x z ³ .

То же самое - сокращаем (делим друг на друга) одинаковые буквы.

Многочлен - это алгебраическая сумма одночленов. Степень многочлена есть наибольшая из степеней одночленов, входящих в данный многочлен.

Умножение сумм и многочленов. Произведение суммы двух или нескольких выражений на любое выражение равно сумме произведений каждого из слагаемых на это выражение:

( p+ q+ r ) a = pa+ qa+ ra - раскрытие скобок.

Вместо букв p, q, r, a может быть взято любое выражение.

Это важно усвоить - что вместо букв можно взять (подставить) любое выражение любой длины и сложности.

П р и м е р :

( x+ y+ z )( a+ b ) = x( a+ b ) + y( a+ b ) + z( a+ b ) =

= xa + xb + ya + yb + za + zb .

Произведение сумм равно сумме всех возможных произведений каждого слагаемого одной суммы на каждое слагаемое другой суммы.

Докажем:

площадь прямоугольника равна произведению сумм отрезков x + y + z и

a + b - это видно из рисунка. Но эту же площадь мы получаем просуммировав площади внутренних прямоугольников. Их площади указаны внутри них же - площадь левого верхнего равна X*A, того, что под ним - X*B и так далее. Получается точно как в формуле. Ферштейн?

Формулы сокращённого умножения

Из правил умножения сумм и многочленов легко получить следующие семь формул сокращённого умножения.

Их следует знать наизусть, так как они применяются практически во всех задачах по математике.

[1] ( a + b )² = a² + 2ab + b² ,

Тут соображения те же, что и в предыдущем примере со сложением площадей внутренних прямоугольников. Разница лишь в том, что два внутренних прямоугольника одинаковы. Их суммарная площадь и записывается как 2ab.

[2] ( a – b )² = a² – 2ab + b² ,

Здесь получается так:

Пусть a - длина стороны большого квадрата, b - часть его стороны. Вычитая из a b, получаем с, являющуюся стороной квадрата 1. Собственно, площадь квадрата 1 и будет решением формулы (a – b )².

Преобразованная же формула a² – 2ab + b² , показывает процесс нахождения этой площади, без нахождения длины c.

Первый член a² - это площадь всего большого квадрата. Из этой площади мы вычитаем площади синего и красного прямоугольников, они равны a*b, нетрудно заметить. То есть, от большого квадрата мы "отсекли" лишнее, оставив лишь искомый маленький квадрат 1. Но! Площадь квадрата 2 мы вычли два раза, так как он входит в состав как красного так и синего прямоугольников. Компенсируем это, прибавив к результату площадь квадрата 2: длина его стороны равна b, соответственно, площадь равна b². Процесс наглядно представлен на правом рисунке.

[3] ( a + b ) ( a – b ) = a² – b²,

[4] ( a + b )³ = a³ + 3a² b + 3ab² + b³ ,

[5] ( a – b )³ = a ³ – 3a² b + 3ab² – b³ ,

[6] ( a + b )( a² – ab + b² ) = a³ + b³ ,

[7] ( a – b )( a ² + ab + b² ) = a³ – b³ .

П р и м е р . Вычислить 99³, используя формулу [5] .

Р е ш е н и е : 99³ = (100 – 1)³ = 1000000 – 3 · 10000 · 1 + 3 · 100 · 1 – 1 = 970299.

Деление многочленов

Что значит разделить один многочлен P на другой Q ? Это значит найти многочлены М (частное) и N (остаток), удовлетворяющие двум требованиям:

1) имеет место равенство: MQ + N = P ;

2) степень многочлена N меньше степени многочлена Q.

Деление многочленов может быть выполнено по следующей схеме:

1) Делим первый член 16a³ делимого на первый член 4a² делителя; результат 4a является первым членом частного.

2) Умножаем полученное выражение 4a на делитель 4a² – a + 2 ; записываем результат 16a³ – 4a² + 8a под делимым (один подобный член под другим).

3) Вычитаем почленно этот результат из делимого и сносим вниз следующий по порядку член делимого 7; получаем остаток 12a²–13a + 7 .

4) Делим первый член 12a² этого выражения на первый член 4a² делителя; результат 3 – это второй член частного.

5) Умножаем этот второй член частного 3 на делитель 4a² – a + 2 и вновь записываем результат 12a² – 3a + 6 под делимым (один подобный член под другим).

6) Вычитаем почленно полученный результат из предыдущего остатка и получаем второй остаток: – 10a + 1. Его степень меньше степени делителя, поэтому деление заканчивается.

В результате получили частное 4a + 3 и остаток –10 a + 1.

Деление многочлена на линейный двучлен

Линейный двучлен. Теорема Безу.

Линейный двучлен есть многочлен первой степени: a x + b. Если разделить многочлен, содержащий букву x , на линейный двучлен x – b, где b – некоторое число (положительное или отрицательное), то остаток будет только многочленом нулевойстепени (см. параграф "Деление многочленов"), т.е. некоторым числом N , которое можно определить, не находя частного. Более точно, это число равно значению многочлена, получаемому при x = b. Это свойство вытекает из теоремы Безу: многочлен a₀ x^m+ a₁ x^m^-1+ a₂ x^m^-2 + …+ a_m делится на двучлен x – b с остатком N = a₀ b^m + a₁ b^m^-1+ a₂ b^m^-2 + …+ a_m.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В соответствии с определением операции деления многочленов имеем:

a₀ x^m + a₁ x^m-¹ + a₂ x^m-² + …+ a_m = ( x – b ) Q + N ,

где Q – некоторый многочлен, N – некоторое число.

Подставим x = b , тогда слагаемое ( x – b ) Q обращается в нуль, и мы получаем:

a₀ b^m + a₁ b^m^-1 + a₂ b^m^-2 + …+ a_m = N .

З а м е ч а н и е . При N = 0 число b является корнем уравнения:

a₀ x^m + a₁ x^m^-1 + a₂ x^m^-2 + …+ a_m = 0 .

Теорема доказана.

Делимость двучленов

Cледствием теоремы Безу являются следующие признаки делимости двучленов:

П р и м е р ы : ( x² – a² ) : ( x – a ) = x + a ;

( x³ – a³ ) : ( x – a ) = x² + a x+ a² ;

( x⁵ – a⁵ ) : ( x – a ) = x⁴ + a x³ + a² x² + a³ x + a⁴ .

Разложение многочленов на множители

В общем случае разложение многочленов на множители не всегда возможно. Но существует несколько случаев, когда это выполнимо.

Если все члены многочлена содержат в качестве сомножителя одно и то же выражение, то его можно вынести за скобки (см.раздел "Одночлены и многочлены").

Иногда, группируя члены многочлена в скобки, можно найти общее выражение внутри скобок, это выражение можно вынести в качестве общего множителя за скобки, а после этого другое общее выражение окажется внутри всех скобок. Тогда его следует также вынести за скобки и многочлен будет разложен на множители.

П р и м е р : ax+ bx+ ay+ by = ( ax+ bx ) + ( ay + by ) =

= x( a + b ) + y ( a + b ) = ( x + y ) ( a + b ) .

Иногда включение новых взаимно уничтожающихся членов помогает разложить многочлен на множители.

П р и м е р : y² – b² = y² + yb – yb – b² = ( y² + yb ) – ( yb + b² ) =

= y ( y + b ) – b ( y + b ) = ( y + b ) ( y – b ) .

Использование формул сокращённого умножения.

Алгебраические дроби

Алгебраическая дробь. Сокращение дробей.

Сложение и вычитание дробей. Умножение и деление дробей.

Алгебраическая дробь – это выражение вида A / B, где A и B могут быть числом, одночленом, многочленом. Как и в арифметике, A называется числителем, B – знаменателем. Арифметическая дробь является частным случаем алгебраической.

Сокращение дробей

П р и м е р :

Сложение и вычитание дробей

Для сложения или вычитания двух или нескольких дробей, необходимо выполнить те же самые действия, что и в арифметике.

П р и м е р :

Умножение и деление дробей

Умножение и деление алгебраических дробей ничем не отличаются от тех же действий в арифметике. Сокращение дроби можно выполнить как до, так и после умножения числителей и знаменателей.

П р и м е р :