SoluciónPeriódico9
x,99999....9999....
SOLUCIÓN
23/12/00
¿Existe algún número entre 1,99999...9999... (es decir uno coma 9 periodo) y dos?
Esta duda me surgió en clase de álgebra de primero de física cuando hablaba de topología de la recta real, o más sencillo, de los intervalos abiertos y cerrados. [0,2] representa el intervalo cerrado entre 0 y 2 incluidos ambos, es decir todos los números entre 0 y 2 ambos incluidos o el conjunto
{ 0 <= x <= 2} siendo x real.
[0,2) representa el intervalo entre 0 y 2, incluyendo el 0 pero no el 2. La duda que me planteé es... ¿No es un intervalo equivalente a [0, 1'p9] ? No tiene que serlo, pero no es evidente. Otro teorema dice por ahí, que entre dos números reales cualesquiera, existen... no adelantemos acontecimientos...
Como casi siempre existe más de una solución.
Cálculo diferencial.
O análisis matemático. Esta es la rama que se encarga de los infinitésimos y los infinitos. En esta rama están los límites, derivadas, integrales, ecuaciones diferenciales...
Vamos a construir una serie que converja a 0,p9. Léase cero coma nueve periodo (no es fácil poner el sombrero). El caso es equivalente a 1,p9.
Primero veamos esta sucesión:
1.
Estos son sus primeros valores
2.
Parece que esta sucesión nos da el enésimo decimal de 0,p9
Es evidente que la suma de los infinitos términos de esta sucesión, será 0,p9. Los matemáticos lo escriben así:
3.
En realidad le ponen un sombrero, pero ya dije que no me resulta fácil, así que pondré 0'p9.
A esto los matemáticos le llaman serie. ¿Cómo se puede sumar algo que tiene infinitos sumandos? Veremos una de las formas que se pueden aplicar, no te emociones porque no sirve para todas las series. Hace mucho que no sumo series, a ver como sale.
Lo primero es comprobar que tiene sentido intentar sumar la serie (los matemáticos dicen "comprobar que la serie converge"). Aunque en este caso y como excepción estoy poniendo un montón de fórmulas, no voy a ser riguroso (como de costumbre). Este punto es vital, y la suma de series no convergentes, ha desconcertado durante mucho tiempo a los matemáticos (hasta que llegaron Leibnitz y Newton).
Obviamente hemos construido la serie para que nos dé un número concreto, luego la serie converge a este número. Existen varias formas de demostrar la convergencia de las series, pero al no ser sencillas e intuitivas, no las mostraré (al menos en este problema), el objetivo en este caso es otro.
A sumar se ha dicho...
4.
Como todos los sumandos están multiplicados por 9, podemos sacar factor común. El siguiente paso ha sido sacar el primer elemento de la serie del símbolo de suma, ahora la suma va desde n=2 hasta infinito y le sumamos a parte el valor para n=1. Es lo mismo ¿no?
5.
Reordenamos un poco los términos.
Ahora vamos a fijarnos en la segunda parte de la ecuación.
6.
Multiplicamos y dividimos por 10, introducimos el 10 en el sumando de la serie. Reajustamos un poco y eso es lo que nos queda.
Esto es mucho más evidente si definimos la sucesión de forma recursiva, sería algo así:
f(n) = f(n-1)*1/10; f(1) = 1/10.
De esta forma se ve fácilmente que si sacas el primer término de la serie, la has multiplicado por diez; por tanto al dividir la serie sin el primer término por 10, tenemos la serie completa.
Reemplazamos el lado derecho de la ecuación 5 con el resultado de la ecuación 6 y tenemos...
7.
Reordenando un poco llegamos a:
8.
Multiplicamos por 9 en ambos lados:
9.
Fíjate que el lado derecho es exactamente la serie como la definimos inicialmente, así que podemos poner:
Ordenando un poco y sumando tenemos:
Y claramente...
Luego 0,9999...99999... es 1
Son el mismo número.
0,p9 = 1
Álgebra
Quizá sea una idea más sencilla la analítica, era muy evidente que el número convergía a 0,p9 , pero sabemos que los números periódicos son algebraicos. Así que vamos a intentar construir este número con operaciones algebraicas a ver que pasa. Buscamos primero el número 0.p1
1/9 = 0.11111....1111... = 0.p1
Si multiplicamos 0'p1 por 9 tendremos, obviamente 0'p9, multiplico cada dígito por 9 y no me llevo nada.
0,p1 · 9 = 0,p9
Ya tenemos el número buscado 0'p9. Recapitulemos y veamos que hemos echo para conseguirlo. Dividimos 1 por 9 y después lo multiplicamos por 9, eso en mi pueblo es 1.
(1/9) * 9 = 1
¿Joder, así si que es fácil, ¿porqué te enrollas con el tema analítico?
Una excusa para ver algo de series y como las cosas se pueden atacar desde diferentes sitios. La solución fácil solo la verán los valientes.
¿Existe el número x'p9?
¿Cuántos ángeles caben en la cabeza de un alfiler?
Sintácticamente es correcto escribir 0'p9 pero es una estupidez, mejor pongamos 1
Recuerdo cuando se lo comenté a los compañeros de clase, que me dijeron muchas cosas en diferentes direcciones, pero no llegaron a descubrir lo que pasaba.
Recuerdo que uno me dijo que 1'p9 tendía a 2 pero nunca se hacía 2. Los números no tienden a nada, son lo que son. Pueden tender o converger las series, las funciones, las sucesiones ante el cambio de su variable en una dirección específica.