SOLUCIÓN HIELO FLOTANDO
8/12/00
Tenemos un trozo de hielo flotando en el agua. Dejamos que este se deshaga. El nivel del agua, ¿subirá, bajará o se mantendrá igual?
Primero supondré que las densidades del agua y del hielo derretido son iguales (no consideraré efectos por los cambios de temperatura ni diferencias de densidad debida a sustancias disueltas) y uniformes.
Dh = densidad hielo
Da = densidad agua
Vh = volumen hielo
Vs = volumen hielo sumergido
El peso total del bloque de hielo:
P = M g
En función de volúmenes y densidades, podemos poner: (densidad = Masa / Volumen)
P = Dh* Vh * g
Según el principio de Arquímedes, todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje hacia arriba, igual al peso del volumen del fluido desalojado.
E = Vs * Da * g
El bloque de hielo encontrará su punto de equilibrio de flotación cuando el empuje sea igual a su peso.
Dh* Vh * g = Vs * Da * g
O...
Vh / Vs = Da/Dh
Es decir, la relación entre el volumen sumergido y el volumen total, es igual a la relación entre las densidades del cuerpo sumergido y el fluido. Recordar que esta ecuación sólo es válida en la suposición de que el cuerpo se mantiene en equilibrio con el fluido (no se hunde).
Por ejemplo, cuando vemos un iceberg en el agua, y teniendo en cuenta que la relación densidad hielo, densidad agua puede ser de 7 a 8 (dependerá de la compactación del hielo y la densidad del agua por temperatura y salinidad), sabemos que siete octavas partes del hielo está bajo el agua. Sólo una octava parte del hielo sobresale del agua.
La equivalencia entre la relación de densidades y volúmenes total y sumergido me parece asombrosa. Sí ya sé, es una consecuencia inmediata del principio de Arquímedes, pero muy bonita.
De la ecuación anterior podemos ver que el volumen sumergido es el producto de la relación de densidades por el volumen total.
Vs = Dh / Da * Vh
Ahora supongamos que sacamos el cuerpo el agua y dejamos que se derrita para observar el nuevo volumen total. El nivel del agua descendería por no tener el volumen sumergido.
Ahora es cuando hago la consideración que las densidades del agua y del hielo derretido son iguales, todo lo visto hasta ahora era independiente del cuerpo flotando y el fluido.
Cuando dejo derretir el hielo, se tiene que cumplir que la cantidad de masa antes y después de que se derrita sea la misma (principio de conservación de la masa, los efectos correctivos de este principio son despreciables).
La masa antes de derretirse es
M = Vh * Dh
Y después
Md = Vd * Dd
Donde Vd es el volumen hielo derretido y Dd es la densidad hielo derretido. Repito que supongo que la densidad del hielo derretido es igual a la densidad del agua, por tanto...
Md = Vd * Da
Y como Md = M
Vh * Dh = Vd * Da
Lo que buscamos es el volumen de hielo derretido
Vd = Vh * Dh / Da
Y si vas unas ecuaciones para atrás, la que está marcada, vemos que el volumen del hielo derretido, es el mismo que el del hielo sumergido.
Es decir, el nivel del agua permanece igual.
Es decir, el hielo sumergido al pasar a líquido ocupa menos sitio, y esa diferencia de volumen es exactamente, la que ocupa el hielo derretido que sobresalía. Son chorradas para la mayoría de la gente, pero para mi, es IMPRESIONANTE.
Bueno, pero esto ha salido así porque tiene truco. He hecho varias suposiciones y en la medida que se puedan aceptar, se podrá aceptar el resultado.
Revisión suposiciones:
Densidades uniformes. Esto es bastante próximo a la realidad en un vaso de cubata (nunca tomo pero es gracioso). En un iceberg, no lo es tanto, las zonas que estuvieron más profundas en el glaciar tendrán mayor densidad. Pero la densidad del flotante (en este caso un iceberg) no influye. La relación de densidad media iceberg y densidad agua, indicará la relación de volumen sumergido y volumen total.
La densidad uniforme en el fluido es bastante aproximado. Pueden haber variaciones por profundidad, temperatura y sustancias disueltas.
Por profundidad no es relevante, puesto que la densidad del agua derretida en esas condiciones de presión, tendrá la misma densidad.
En los otros dos casos tendríamos problemas para cubrir la siguiente suposición que hicimos, y la más importante.
Densidades del agua y del hielo derretido son iguales. Para esto es necesario una homegeneidad en las densidades.
El hielo está más frío que el agua. Mientras se derrite y después de derretirse puede hacer bajar la temperatura del agua. Todo cuando se enfría, se contrae, pero el agua por los famosos puentes de hidrógeno, por debajo de 4ºC comienza a expandirse.
Esto provoca que si la temperatura inicial y la final del agua es superior a 4º, su disminución de temperatura habrá provocado una disminución del volumen.
Si la temperatura inicial y final del agua es inferior a 4ºC, el agua al enfriarse más se expande y el nivel sube.
En otras condiciones no se puede decir lo que sucedería sin saber las temperaturas final e inicial. Podría aumentar o disminuir.
Otras suposiciones
Y supusimos que el sistema era adiabático.
También podríamos considerar el aumento de entropía del universo, lo que provocaría que dentro de un tiempo, no tengamos ni agua, ni hielo, ni naaaa. Y teniendo en cuenta que no encuentran la materia oscura y que falta un montón de energía, dentro de un tiempo nuestro cubito y el agua y todo eso, estará mucho más disperso y frío.
En resumiendas cuentas...
La relación de volumen sumergido y volumen total de un cuerpo que flota en un fluido, es igual a la relación de las densidades del cuerpo y el fluido.
Esto se deduce de forma sencilla del principio de Arquímedes. Si el hielo al derretirse, se transforma en agua de la misma densidad que donde flotaba, se puede comprobar que el volumen al derretirse es igual al volumen de hielo sumergido (independientemente de la densidad del hielo, siempre que flote). Por tanto el volumen permanecerá igual.
Si consideramos el cambio de temperatura del agua (esta disminuirá) tenemos que recordar que el agua reduce su densidad al reducir la temperatura hasta 4º, a partir de esta temperatura, comenzará a aumentar su densidad.
Por tanto, si la temperatura final (y por tanto la inicial) es superior a 4º, el volumen disminuirá por contracción por enfriamiento.
Mientras que si la temperatura inicial (y por tanto la final) es inferior a 4º, el volumen aumentará por dilatación (también por enfriamiento).
Si la temperatura inicial es superior a 4º y la final es inferior, no podemos determinar la variación de volumen con los datos dados.