Módulo 3 - EDP e Fourier

EDP

Oi, pessoal!
Esta parte se refere às Equações Diferenciais Parciais, que são facilmente encontradas em problemas da Física, Engenharia e em diversas outras áreas do conhecimento. Acredito que 1 ou 2 semanas são suficientes para este tópico.

Equações diferenciais parciais - Vamos falar aqui das equações diferenciais parciais, também conhecidas como EDP. Há muitos problemas na Física e Engenharia que estão relacionados a este tipo de equação. Vamos à 2 aulas sobre o assunto:

parte 1: https://www.youtube.com/watch?v=0uaGKk-bVkk

parte 2: https://www.youtube.com/watch?v=akBemZqpNvA

Disponibilizo aqui a aula do professor Othon Winter que também traz alguns exemplos que podem ser úteis para fixar o conteúdo:

https://www.youtube.com/watch?v=qOcCi8EGReY

E agora 2 exemplos bem famosos que utilizam estas ferramentas:

Equação do calor: https://www.youtube.com/watch?v=SDhOIHEVwV4

Equação da onda: https://www.youtube.com/watch?v=7ZJec68yiGg

Integrais Complexas

Antes de começarmos com as transformadas de Fourier, vamos primeiro aprender um pouco sobre integrais de números complexos, uma importante ferramenta matemática. Acredito que 3 semanas neste tópico sejam suficientes.

Quem achar necessidade, relembrar números complexos, recomendo o texto dos professores Jorge Aragona e Oswaldo R. B. de Oliveira do IME/UESP disponível no final desta página ou no link abaixo:

https://www.ime.usp.br/~oliveira/ComplexosCap1.pdf.

No link abaixo também há uma aula de revisão sobre números complexos - Números Complexos (IFMA):

https://www.youtube.com/watch?v=dKddTTz7oAM

Este link abaixo também pode ser útil:

https://wikiciencias.casadasciencias.org/wiki/index.php/Ra%C3%ADzes_de_n%C3%BAmeros_complexos

Para quem viu faz muito tempo, é legal relembrar uma importante relação entre senos e cossenos e os números complexos, vista em exponenciais complexas na fórmula de Euler:

https://www.youtube.com/watch?v=Chjjpn5aKR4

Uma observação importante é que como estamos usando diversas fontes para estudar os tópicos, diferentes notações poderão ser usadas. Como por exemplo a usada para número complexo. Há livros e professores que usam j e outros que usam i. Então fiquem atentos!

Agora o básico sobre integração de números complexos, que basicamente é o mesmo para os números reais... apesar de parecer simples, não deixem de ver porque há informações importantes quando formos estudar o Teorema de Cauchy:

https://www.youtube.com/watch?v=hZr8S13donc

https://www.youtube.com/watch?v=iOaHVqWmNok

https://www.youtube.com/watch?v=rSLJBsrbgZ8

https://www.youtube.com/watch?v=GbVyYyGfmZE

Neste link há também uma aula sobre o tema de integrais complexas, para quem ainda tiver alguma dúvida sobre o Cálculo Diferencial Complexo (IFMA):

https://www.youtube.com/watch?v=yAWAQYMLLMs

Antes de apresentar a Teoria de Cauchy, pra quem ainda não entendeu ou não lembra, veja este vídeo sobre as Desigualdades Triangular e Cauchy-Schwarz:

https://www.youtube.com/watch?v=YFWjdqunhYU

Agora sim, o Teoria de Cauchy, Singularidades e Resíduos (aulas do IFMA):

https://www.youtube.com/watch?v=wNwAoyIYnaQ

https://www.youtube.com/watch?v=pLIefDBboLQ

https://www.youtube.com/watch?v=8Rc6YPqc4N4

Aqui tem mais uma aula para quem ainda tem dúvidas sobre a fórmula integral de Cauchy (FGA/UnB):

https://www.youtube.com/watch?v=r22Sghwn4E8

Transformada de Fourier

Agora vamos começar a estudar as Transformadas de Fourier. Acredito que 3 semanas neste tópico sejam suficientes.

Assim, vamos deixar o prazo para entrega da lista-avaliação deste módulo para 03/12.

Contudo, até para dar uma visão geral, vamos primeiro vamos lembrar das Séries de Fourier (https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Fourier) com estes vídeos abaixo:

Introdução às Séries e Integral de Fourier (Noção Geral):

https://www.youtube.com/watch?v=n5luJNrV-2I

https://www.youtube.com/watch?v=L2iJkTitz0k

Agora sim, vamos à introdução à Transformada de Fourier (UFABC):

https://www.youtube.com/watch?v=hNl8ywcqSpE

https://www.youtube.com/watch?v=Zx2HK-iMeKo

https://www.youtube.com/watch?v=KNNPkaTCMM8

E alguns exercícios como exemplos:

https://www.youtube.com/watch?v=gc0Q7jowAfI

https://www.youtube.com/watch?v=Br-xxxvzZw4

Agora algumas propriedades das Transformadas de Fourier (UFABC):

https://www.youtube.com/watch?v=5z9ZrSz2Oz8