שאלות מודרכות

דוגמה 1:

גוף מסתובב בתנועה מעגלית שרדיוסה r = 20 cm. גודל מהירותו הקווית קבוע וערכו v = 0.4 m/s.

א. חשב את מהירותו הזוויתית w של הגוף.

ב. חשב את זמן הסיבוב T ואת התדירות f של הגוף.

ג. חשב את התאוצה הרדיאלית של הגוף a_r.

תשובה:

א. המהירות הזוויתית מתקבלת מתוך הקשר v = w ´ r:

w = v / r = 0.4 / 0.2 = 2 rad/s

ב. זמן הסיבוב מחושב מתוך הקשר T = 2p/w:

T = 2p/w = 2p/2 = p s.

התדירות יכולה להיות מחושבת מתוך הקשר f = 1/T:

F = 1/T = 1/p H_z

ג. התאוצה הרדיאלית מחושבת מתוך הקשר a_r = w² ´ r :

a_r = w² ´ r = 2² ´ 0.2 = 0.8 m/s²

דוגמה 2:

דסקה מסתובבת סביב ציר העובר במרכזה ומאונך לה, במהירות זוויתית קבועה w.אל הדסקה צמודים שני גופים קטנים בנקודות A ו- B, במרחק r_A ו- r_B בהתאמה (ראה שרטוט).

בשרטוט הרדיוסים לא מתאימים לנתונים!

נתון: w = 0.5 rad/s , r_A = 0.1 m , r_B = 0.2 m

חשב עבור כל אחד מהגופים:

א. זמן סיבוב ותדירות.

ב. מהירות קווית.

ג. תאוצה צנטריפטלית.

ד. זווית מרכזית שיעבור כל גוף במשך דקה אחת.

ה. הדרך (אורך קשת) שיעבור כל גוף במשך דקה אחת.

תשובה:

א. תכונות זוויתיות של הדסקה ושל הגופים זהות. לכן לשני הגופים:

T = 2p/w = 2p/0.5 = 4p s

f = w/2p = 0.5/2p = 1/4p H_Z

ב. המהירות הקווית (שאיננה תכונה זוויתית) שונה לכל גוף:

V_A = w ´ r_A = 0.5 ´ 0.1 = 0.05 m/s

V_B = w ´ r_B = 0.5 ´ 0.2 = 0.1 m/s

ניתן לראות בבירור שהגוף המרוחק יותר – הוא בעל מהירות קווית גדולה יותר.

ג. תאוצה צנטריפטלית תלויה ברדיוס הסיבוב ולכן שונה לכל גוף:

a_rA = w² ´ r_A = 0.5² ´ 0.1 = 0.025 m/s²

a_rB = w² ´ r_B = 0.5² ´ 0.2 = 0.05 m/s²

ד. זווית היא, כמובן, תכונה זוויתית ולכן זהה לשני הגופים (ולדסקה):

q = q_o + wt = 0 + 0.5 ´ 60 = 30 rad

ה. הדרך (אורך קשת) היא תכונה קווית ולכן שונה לכל גוף:

S_A = V_A ´ t = 0.05 ´ 60 = 3 m

S_B = V_B ´ t = 0.1 ´ 60 = 6 m

דוגמה 3:

א. חשב את המהירות הזוויתית של מחוג השעות, מחוג הדקות ומחוג השניות בשעון אנלוגי.

ב. אורך מחוג השניות הוא 1.2 cm. חשב את התאוצה הצנטריפטלית של הקצה המרוחק של מחוג השניות.

תשובה:

א. מחוג השעות מבצע סיבוב שלם במשך 12 שעות. כלומר, זמן הסיבוב של המחוג הוא:

T = 12 ´ 60 ´ 60 s = 43,200 s

מכאן נקבל:

w = 2p/T = 2p/43,200 = 1.454 ´10^-4 rad/s

מחוג הדקות מבצע סיבוב שלם במשך שעה אחת. כלומר, זמן הסיבוב של המחוג הוא:

T = 60 ´ 60 s = 3,600 s

מכאן נקבל:

w = 2p/T = 2p/3,600 = 1.745 ´10^-3 rad/s

מחוג השניות מבצע סיבוב שלם במשך דקה אחת. כלומר, זמן הסיבוב של המחוג הוא:

T = 60 s

מכאן נקבל:

w = 2p/T = 2p/60 = 0.1047 rad/s

ב. את התאוצה הרדיאלית נקבל מתוך: a_r = w² ´ r

a_r = 0.1047² ´ 0.012 = 1.257 m/s²

דוגמה 4:

מוטי, שהוא סטודנט מבריק, נקלע לקזינו בטיולו בחו"ל. מוטי ניגש לשולחן הרולטה ואורו עיניו. הוא מדד את הזמן שעבר כאשר הכדור ברולטה ביצע 5 הקפות שלמות: 6 שניות בדיוק. לאחר מכן הוא שלף מכיסו מכשיר דופלר וגילה כי המהירות הרגעית הקווית של הכדור היא 1.52 m/s. מוטי גם בירר שמסת הכדור היא 50 gr.

חשב את קוטר מעגל התנועה של הכדור, את התאוצה הצנטריפטלית ואת שקול הכוחות הצנטריפטליים.

זמן הסיבוב של הכדור הוא: T = 6 / 5 = 1.2 s.

מכאן: w = 2p/T = 2p/1.2 = 5.236 rad/s.

מתוך הקשר: V = w ´ r נקבל:

r = V/w = 1.52/5.236 = 0.2903 m

והקוטר הוא

D = 2 ´ r = 2 ´ 0.2903 = 0.5806 m

התאוצה הצנטריפטלית היא:

a_r = w² ´ r = 5.236² ´ 0.2903 = 7.959 m/s²

שקול הכוחות הרדיאליים הוא:

SF_r = m ´ a_r = 0.05 ´ 7.959 = 0.3979 N

דוגמה 5 (לשאלה המשלבת תנועה סיבובית ותנועה קווית):

גלגלת (לא אידיאלית) בעלת מסה M ורדיוס R, מחוברת לקיר בציר חסר חיכוך. סביב הגלגלת כרוך חוט (ברדיוס R) ואל החוט מחובר גוף בעל מסה m (ראה שרטוט). משחררים את המערכת ממנוחה.

נתון: M = 1 kg , R = 0.1 m , m = 2 kg.

א. חשב את תאוצת הגוף ואת התאוצה הזוויתית של הגלגלת.

ב. מה תהיה מהירות הגוף לאחר שניה אחת?

ג. מה תהיה המהירות הזוויתית של הגלגלת לאחר שנייה אחת?

בידוד הגוף ורישום חוק שני (קווי) של ניוטון נותן: mg – T = ma

בידוד הגלגלת ורישום חוק שני (זוויתי) לגלגלת נותן: (Mg והכוח שהציר מפעיל על הגלגלת לא מבצעים מומנט, כי מרחק הכוח מהציר הוא אפס)

St = I ´ a

T ´ R = ½ ´ M ´ R² ´ a

בין a ל- a קיים הקשר:

a = R ´ a

מהמשוואה הראשונה נקבל:

T = mg - ma

ומהמשוואה השלישית:

a = a / R

נציב במשוואה השנייה את T ואת a ונקבל:

(mg - ma) ´ R = ½ ´ M ´ R² ´ a / R

ולכן:

a = mg / (m + ½M) = 20 / 2.5 = 8 m/s²

וכך:

a = a / R = 8 / 0.1 = 80 rad / s²

מהירות הגוף לאחר שנייה אחת:

v = a ´ t = 8 ´ 1 = 8 m/s

מהירותה הזוויתית של הגלגלת לאחר שנייה אחת:

w = a ´ t = 80 rad/s