Fibonacci number

Fibonacci number - каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, …

Иногда число 0 не рассматривается как член последовательности.

\! F_{-n} = (-1)^{n+1}F_n

Легко заметить, что .

В природе

- Филлотаксис (листорасположение) у растений описывается последовательностью Фибоначчи. Семена подсолнуха, сосновые шишки, лепестки цветков, ячейки ананаса также располагаются согласно последовательности Фибоначчи

- Длины фаланг пальцев человека относятся примерно как числа Фибоначчи

Golden ratio -

F_n

Формула Бине выражает в явном виде значение как функцию от n:

F_n = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}} = \frac{\varphi^n - (-\varphi )^{-n}}{\varphi - (-\varphi )^{-1}} = \frac{\varphi^n - (-\varphi )^{-n}}{2\varphi - 1},
\varphi=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}
\varphi\,\!
(-\varphi )^{-1}=1-\varphi\,\!
x^2-x-1=0\,\!

где — золотое сечение. При этом и являются корнями характеристического уравнения .

Из формулы Бине следует, что для всех

\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}\,
F_n = \left\lfloor\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}\right\rceil
F_n\sim \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}
n\geqslant 0
F_n
n\to\infty

, есть ближайшее к целое число, то есть . В частности, при справедлива асимптотика .

Формула Бине может быть аналитически продолжена следующим образом:

F_z = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \varphi^z - \frac{\cos{\pi z}}{\varphi^z} \right).
F_{z+2} = F_{z+1} + F_z

При этом соотношение выполняется для любого комплексного числа z.

Другая ссылка